2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质与推论课件新人教B版必修2

(2)我们把不同在任何一个平面内的直线叫异面直线． (3)画法：画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不平行 又不相交的特点，即不共面的特点，通常采用平面衬托法， 以加强直观性，常见的画法如图．
1．下列命题正确的是( ) ①一条直线和一个点确定一个平面；
②两条相交直线确定一个平面；
③两条平行直线确定一个平面；
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1．在空间内，可以确定一个平面的条件是( ) A．两两相交的三条直线 B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交 C．三个点 D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点 答案：D
2．如果直线 a⊂平面 α，直线 b⊂平面 α，M∈a，N∈b，且 M∈l， N∈l，那么( )
A．l⊂α
B．l⊄α
C．l∩α＝M
D．l∩α＝N
解析：选 A．因为 M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α， 所以 M∈α，N∈α． 而 M，N 确定直线 l， 根据基本性质 1 可知，l⊂α．故选 A．
3．假设一块木板斜立在地面上，当用一根木棒在后面撑住时， 能使板面固定，这个道理是________． 答案：过直线和直线外一点有且只有一个平面 4．对于结论“若 a⊂α 且 a∩b＝P，则 P∈α”，用文字语言 可以叙述为__________． 答案：若直线 a 与直线 b 相交于一点 P 且直线 a 在平面 α 内， 则点 P 一定在平面 α 内
符号语言
α，β 不重合， 若 A∈α， A∈β， 则_α_∩___β_＝__l _且__A__∈__l
2．平面基本性质的推论 推论 1：经过一条直线和直线外的一点，___有__且__只__有__一__个__平 面． 推论 2：经过两条__相__交___直线，有且只有一个平面． 推论 3：经过两条__平__行___直线，有且只有一个平面． 3．共面与异面直线 (1)空间中的几个点或几条直线，如果都在同一个平面内，我 们就说它们___共__面__．如果两条直线共面，那么它们__平__行___ 或者__相__交___．
1．不共线的三点能确定一个平面，解答时首先分析所给的元 素是否具有确定唯一平面的条件，再进行计算或推理． 2．平面的基本性质 3 是确定两个平面交线的基础，解答时关 键是寻找两个相交平面的公共点，这些点都在这两个平面的 交线上，据此可得相应结论． 3．共面与异面是直线的两种位置关系，解答时会用符号语言 与图形语言表示位置关系，能按照定义说明两条直线共面还 是异面，对于异面直线，要学会从理论上进行说明．
由推论 3 可知直线 b 与 c 确定一个平面，设为 β，同理可知 l⊂β． 因为平面 α 和平面 β 都包含直线 b 与 l，且 l∩b＝B， 所以由推论 2 可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 所以平面 α 与平面 β 重合，所以直线 a、b、c 和 l 共面．
多点共线问题 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O1 是上底面 A1B1C1D1 的对角线的交点，长方体体对角线 A1C 交截面 B1D1A 于点 P．求证：O1，P，A 三点在同一直线上．
与 CE 相交于点 P，进而证明 P∈直线 AD．
已知三个平面 α，β，γ 两两相交于三条直线， 即 α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线 a 和 b 不平行，求证： a，b，c 三条直线相交于同一点．
证明：因为 α∩γ＝b，β∩γ＝a， 所以 a⊂γ，b⊂γ．又由于直线 a 和 b 不平行，所以 a，b 必相 交． 设 a∩b＝P，如图，则 P∈a，P∈b． 因为 a⊂β，b⊂α，所以 P∈β，P∈α． 又 α∩β＝c，所以 P∈c，即交线 c 经过点 P． 所以 a，b，c 三条直线相交于同一点．
证明：因为直线 EF∩直线 GH＝P， 所以 P ∈直线 EF， 而 EF⊂平面 ABD，
所以 P∈平面 ABD．
同理，P∈平面 CBD， 即点 P 是平面 ABD 和平面 CBD 的公共点． 显然，点 B、D 也是平面 ABD 和平面 CBD 的公共点， 由基本性质 3 知， 点 B、D、P 都在平面 ABD 和平面 CBD 的交线上，即点 B、 D、P 在同一条直线上．
质 个平面内．这时就说， 1 直线__在__平__面__内___或
平面___经__过__直线
符号语言
若 A∈l，B∈l，A∈α， B∈α，则___l⊂__α____
文字语言 经过不在同一条直 基 线上的三点， 本 __有__且__只___有__一个平 性 面，简称为不共线的 质 三点__确__定___一个平 2面
多线共点问题 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 AB 中 点，F 为 AA1 的中点，求证：
(1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
【证明】 (1)分别连接 EF，A1B，D1C．
因为 E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点，
所以 EF∥═12A1B．
图形语言
符号语言
若 A，B，C 三点不 共线，则有且只有一 个平面 α，使 A__∈__α_，__B_∈__α__，__C_∈__α
文字语言
如果不重合的两个
基
平面
本 性
__有__一__个__公__共___点__，
那么它们_有__且__只__有__
质
一条过这个点的
3 _公__共__直__线__
图形语言
法二：(辅助平面法) 因为 l1∩l2＝A，所以 l1，l2 确定一个平面 α． 因为 l2∩l3＝B，所以 l2，l3 确定一个平面 β． 因为 A∈l2，l2⊂α，所以 A∈α． 因为 A∈l2，l2⊂β，所以 A∈β． 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β． 所以不共线的三个点 A，B，C 既在平面 α 内，又在平面 β 内． 所以平面 α 和 β 重合，即直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
证明点共线问题常用方法 (1)先找出两个平面，再证明这三个点都是这两个平面的公共 点，从而根据基本性质 3 判定他们都在交线上． (2)选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．
1．已知 E、F、G、H 分别是 空间四边形 ABCD(四条线段首尾相接，且连 接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫 空间四边形)各边 AB、AD、CB、CD 上的点， 且直线 EF 和 GH 交于点 P，如图，求证：点 B、D、P 在同 一条直线上．
1．如果一条直线上有两点在同一平面内，那么这条直线就在 这个平面内，解答时抓住直线上的两个点与平面的关系． 2．证明多点共线通常利用基本性质 3，即两相交平面交线的 唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面 的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他 点也在其上．
3．证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线 的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上， 此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该 交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线 共点．
2．如图所示，在正方体 AC1 中，E，F 分别为 BC，CC1 的中 点，P，Q 分别为 AB，C1D1 的中点．求证：P，Q，E，F 四 点共面．
证明：如图所示，连接 BC1，
因为 E，F 分别为 BC，CC1 的中点， P，Q 分别为 AB，C1D1 的中点， 所以 EF∥BC1，BC1∥PQ． 所以 EF∥PQ． 所以 E，F，P，Q 四点共面．
所以 P∈平面 AA1D1D． 又 CE⊂平面 ABCD，P∈EC，所以 P∈平面 ABCD．
即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点，而平面 ABCD∩ 平面 AA1D1D＝AD，所以 P∈AD， 所以 CE，D1F，DA 三线共点．
立体几何是以平面几何为基础的，平面几何中的一些结论在 立体几何中也适用，有些立体几何问题可转化为平面几何问 题来解决，本例充分利用平面中两线的位置关系，直线 D1F
4．两条直线无公共点是否一定平行呢？ 解：不一定．在空间中，两条直线无公共点，则这两条直线 可能平行，也可能异面．
共面问题 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．
求证：直线 l1，l2，l3 在同一平面内． 证明：法一：(纳入平面法) 因为 l1∩l2＝A，所以 l1 和 l2 确定一个平面 α． 因为 l2∩l3＝B，所以 B∈l2． 又因为 l2⊂α，所以 B∈α．同理可证 C∈α． 又因为 B∈l3，C∈l3，所以 l3⊂α． 所以直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
④四个点确定一个平面．
A．①③
B．②③
C．③④
D．②③④
答案：B
2．用符号语言表示下列语句，并画成图形． (1)直线 l 经过平面 α 内两点 A、B； (2)直线 l 在平面 α 外，且过平面 α 内一点 P； (3)直线 l 在平面 α 内，又在平面 β 内； (4)直线 l 是平面 α 与 β 的交线，平面 α 内有一条直线 m 与 l 平行．
求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直 线相交，那么这四条直线共面．
已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．
求证：直线 a、b、c 和 l 源自面．证明：如图．因为 a∥b， 由推论 3 可知直线 a 与 b 确定一个平面，设为 α． 因为 l∩a＝A，l∩b＝B，所以 A∈a，B∈b． 则 A∈α，B∈α．而 A∈l，B∈l， 所以由基本性质 1 可知 l⊂α． 因为 b∥c，
第一章 立体几何初步
1．2 点、线、面之间的位置关系
1．2．1 平面的基本性质与推论
第一章 立体几何初步
1．了解异面直线的概念． 2．理解平面的基本性 质． 3．会证共点、共线、共面问题．
1．平面的基本性质
文字语言
图形语言
如果一条直线上的 基 __两__点___在一个平面
本 内，那么这条直线上 性 的__所__有__点___都在这
【证明】 连接 AC(如图所示)． 因为 A1C 交截面 B1D1A 于点 P， A1C⊂平面 ACC1A1， 所以 P∈平面 B1D1A， 且 P∈平面 ACC1A1． 又因为平面 B1D1A∩平面 ACC1A1＝AO1， 所以 P∈AO1(基本性质 3)， 所以 O1，P，A 三点在同一直线上．
又因为 A1D1∥═B1C1∥═BC， 所以四边形 A1D1CB 是平行四边形， 所以 A1B∥CD1， 从而 EF∥CD1． 所以 EF 与 CD1 确定一个平面， 所以 E，C，D1，F 四点共面．
(2)如图所示， 因为 EF∥═12CD1， 所以延长直线 D1F 和 CE 必相交，设 D1F∩CE＝P． 因为 D1F⊂平面 AA1D1D，P∈D1F，
解：(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l． (2)l⊄α，P∈l，P∈α．
(3)l⊂α，l⊂β． (4)α∩β＝l，m⊂α，m∥l．
3．判断下列图形是否是平面图形？为什么？ (1)三角形； (2)平行四边形； (3)任意四边形．
解：(1)是．因为不在同一直线上的三点确定一个平面． (2)是．因为两条平行直线确定一个平面． (3)不一定是．因为它可以是空间四边形．
(1)解决线共面问题的基本方法是：先由两个推论确定出平面， 然后再证明其余的线也在该平面内；或由一部分线确定一个 平面，由另一部分线确定另一个平面，再证明这两个平面重 合． (2)在解决某些数学问题时，需根据问题的具体情况进行逻辑 划分，即分类讨论．点、线、面的位置关系有可能较为复杂， 需对所有情形逐一讨论．在进行分类讨论时，需做到不重不 漏．理解题意，依据公理，合理分类，分清各种位置的可能 性，然后分别予以解决．