2007届广东省高州一中高三级数学(理科)模拟试题

2007届广东省高州一中高三级数学（理科）模拟试题
一、选择题（每小题5分，共40分）
1、函数f (x)＝│sinx ＋cosx │的最小正周期是（ ） A.
2
π
B. π
C. 2π
D. 4π 2、如果直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切（a ，b ，c ≠0）则以│a │，│b │， │c │的数量为边长的三角形必是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.三种情况都可能
3、α、β是不重合两平面，l 、m 是两条不重合直线，α∥β的一个充分不必要条件是（ ） A. l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β B. l ⊂α，m ⊂β且l ∥m C. l ⊥α，m ⊥β且l ∥m D. l ∥α，m ∥β且l ∥m
4、{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列错误的是（ ） A. d ＞0 B. a 7＝0
C. S 9＜S 5
D. S 6与S 7均为S n 的最大值
5、已知向量i ＝（1，0），j ＝（0，1）则与向量2i ＋j 垂直的向量为（ ） A. 2i －j B. i －2j C. i ＋2j
D. i －j
6、如右图所示的5×5正方形表格中尚有20个空格，若在每一个空格中填入一个正整数，使得每一行和每一列都成等差数列，则字母a 所代表的正整数是（ ） A.16 B.17 C.18 D.19
7、椭圆mx 2＋y 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，AB 的中点的横坐标为－1，则m ＝（ ）
A. －3
B. －1
C. －2
D. 0
8、已知函数f (x)＝│x 2―2ax ―b │，x ∈R ，给出四个命题：①f (x)必是偶函数 ②若f (0)＝f (2)，则f (x)的图象关于直线x ＝1对称 ③若a 2＋b ≤0，则f (x)在[),a +∞上是增函数 ④若a 2＋b ≥0，f (x)的最小值为0，其中正确的命题是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
a 15
12
12
二、填空题（每小题5分，共30分）
9、已知集合M ＝{x │y 2＝3－x}，P ＝{x │y 2＝2（x ＋3）}，则M ∩P ＝ 。

10、若sin 31
2
3
x π⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，则cos2x －cosx ＝ 。

11、三棱锥P －ABC 被平行于底面ABC 的平面α所截，截面为△A 1B 1C 1，已知PA 1：A 1A
＝1：2，则△A 1B 1C 1与△ABC 的面积比为 。

12、已知函数f (x)＝2007lg
2007x x -+，若f (a)＝1
3
，则f (－a)＝ 。

13、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （x ∈R ）的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y
6
－4
－6
－6
－4
6
则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0解集为 。

14、符号[x]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数{x}＝x －[x]，
则下列命题正确的是 （填上正确的序号即可） ⑴函数的定义域为R ；⑵方程{x}＝
1
2
有无数解； ⑶函数{x}是周期函数；⑷函数{x}是增函数。

三、解答题
15、（本题满分12分）10根签中，有3根彩签，若甲先抽一签，然后由乙再抽一签，求下
列事件的概率；⑴甲中彩；⑵甲、乙都中彩；⑶乙中彩。

16、（本题满分12分）已知f (x)＝23sin cos 366a x x a ππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++++-
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
⑴设3sin cos 66x x t ππ⎛⎫⎛⎫
+++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求t 的取值范围； ⑵若a ＞0时，f (x) ＜0恒成立，试求a 的取值范围。

17、（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AC ＝6，其余各棱长为2，
⑴平面ABD 与平面BCD 是否垂直，证明你的结论； ⑵求二面角A ―CD ―B 的正切值。

18、（本题满分14分）{a n }是等差数列，设f n (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n 是正偶数，且已知f n (1)＝n 2，f n (－1)＝n
C A
D
B
⑴求数列{a n }的通项公式；⑵试比较f n 12⎛⎫ ⎪
⎝⎭
与2的大小。

19、（本题满分14分）如图已知F 1、F 2为椭圆2
212x y +=的两焦点，M 是椭圆上一点，延长F 1M 到N ，P 是NF 2上一点，且满足222F N F P = ，2MP F N
＝0，点N 的轨迹方程为
E 。

⑴求曲线E 的方程；
⑵过F 1的直线l 交椭圆于G ，交曲线E 于H ，（G 、H 都在x 轴的上方），若112F H FG =
，
求直线l 的方程；
20、（本题满分14分）已知f (x)是定义在实数集R 上的增函数，设F(x)＝f (x)―f (a ―x)。

M
F 1
F 2
P
N
y
O
x
⑴求证：F (x)在R 上是增函数； ⑵求F 2a ⎛⎫
⎪⎝⎭的值，并证明y ＝F (x)的图象关于点,02a ⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称； ⑶若对任意x 、y ∈R ，满足F （x ＋y ）＋F （x －y ）＝2F(x)F(y)，求证对任意x ∈R ，总有F （x ＋a ）＝－F(x)。

高三第二次模拟试数学试题（理科）参考答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 B B C
A
B
B
C
B
二、填空题：
9、{x │－3＜x ＜3} 10、－
49 11、19 12、－13
13、{x │x ＜－2或x ＞3} 14、⑴⑵⑶
下面各题由《题题通》中演变而来：
8：P 24（综合） 9：P 2（5题） 11：P 31（13题） 12：P 19（9题） 三、计算题
15、解：记A ＝{甲中彩} B ＝{乙中彩} C ＝{甲、乙都中彩} 则l ＝A 、B …………1分 ⑴P(A)＝
3
10
…………4分 ⑵P(C)＝P （AB ）＝310·29＝1
15
…………7分
⑶P(B)＝P （AB ＋AB ）＝P （AB ）＋P （AB ） …………10分 ＝
115＋710×39＝310
…………12分
16、解：⑴t ＝3sin 6x π⎛⎫+
⎪⎝⎭＋cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝312sin sin 2
626x x ππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+++⎢
⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ …………1分 ＝2sin 6
6x π
π⎛⎫++
⎪⎝⎭
＝2sin 3x π⎛⎫
+
⎪⎝⎭
…………3分 ∵,33x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
∴
20,33x π
π⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
…………4分 ∴t 的取值范围是[0，2] …………5分 ⑵由⑴知：a ＞0时，f (x) ＜0恒成立可转化为：
a ＞0，t ∈[0，2]时，a 2＋at －3＜0恒成立 ① …………7分
设g (t)＝at ＋a 2－3 （a ＞0，t ∈[0，2]）
由①知a ＞0，t ∈[0，2]时，g (t) ＜0恒成立 …………9分 ∴g (2) ＜0 即：a 2＋2a －3＜0
⇒－3＜a ＜1 …………11分
结合a ＞0得：
a 的取值范围是（0，1） …………12分
17、解：⑴平面ABD 与平面BCD 垂直 …………1分
下面证明
取BD 中点O ，连结AO ，CO
由已知得BO ＝DO ＝1，AO ＝CO ＝3
AO ⊥BD ，CO ⊥BD ∴∠AOC 为二面角A ―BD ―C 的平面角 ……5分 由AO 2＋CO 2＝AC 2＝6 ∴∠AOC ＝90°
故平面ABD 与平面BCD 垂直 …………7分
⑵由⑴易知AO ⊥面BCD 作OE ⊥CD 于E ，连结AE 则AE ⊥CD
∴∠AEO 为二面角A ―CD ―B 的平面角 …………12分
在Rt △COD 中，易求得OE ＝32 ∴在Rt △AOE 中，tan ＜AEO ＝AO
OE
＝2 故所求的正切值为
3
2
…………14分
18、⑴设{a n }的公差为d
∵n 为正偶数，f (1)＝n 2，f (－1)＝n
∴f n (1)＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋
()
12
n n -d ＝n 2 ① ………2分 f n (－1)＝－a 1＋a 2―…―a n-1＋a n ＝
2
n
d ＝n ② ………4分 由②⇒d ＝2
把d ＝2，n ＝2代入①得a 1＝1
∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1 （n ∈N +） …………6分 ⑵由已知得：
f n 12⎛⎫
⎪⎝⎭
＝231
12311111122222n n
n n a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
③ ……7分
C
A
D
B O
E
∴231
1
121111111122222222n n n n n n n f a a a a a -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
④
由⑴知a 1＝1，a k －a k-1＝2，a n ＝2n －1
∴③—④得：()231
11111112212222222n n n f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
…9分
＝()1
2
1
111221
122112
212
n n n -+⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎛⎫
⎝⎭
⎝⎭⎝+-- ⎪
⎝⎭
-
＝()1
1
111121222n n n -+⎛⎫
⎛⎫
+--- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
∴12n f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝()13232n
n ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
（n 为正偶数） …………11分
∵n 为正偶数 ∴12n f ⎛⎫
⎪⎝⎭
是关于n ∈N +的正偶数的增函数。

当n ＝2时，215
224
f ⎛⎫
=
< ⎪⎝⎭
…………12分 当n ＝4时，4137
2216f ⎛⎫=
>
⎪⎝⎭ …………13分 故：当n ＝2时，122n f ⎛⎫<
⎪⎝⎭
当n ≥4时，122n f ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
（n 为正偶数） …………14分
19、解：⑴由已知得F 1（－1，0） …………1分
∵222F N F P = ，2MP F N
＝0
∴MP 为线段NF 2的垂直平分线 ……2分 ∴│MN │＝│MF 2│ …………3分 由椭圆的定义知：│MF 1│＋│MF 2│＝22
∴│NF 1│＝│MN │＋│MF 1│＝│MF 2│＋│MF 1│＝22 设N （x ，y ），则（x ＋1）2＋y 2＝8 …………6分
显然M 为椭圆左、右端点时不满足2MP F N
＝0
∴曲线E 的方程为（x ＋1）2＋y 2＝8 （y ≠0） …………7分 ⑵由⑴知│F 1H │＝22 …………8分
∵1F H ＝21FG
∴G 为线段F 1H 的中点 …………9分 ∴│F 1G │＝
1
2
│F 1H │＝2 ∴G 点的轨迹是以F 1（－1，0）为圆心，2为半径的圆的x 轴上半部分 ∴G 点轨迹方程是（x ＋1）2＋y 2＝2 （y ＞0） …………11分
又∵G 在椭圆上：2
22
x y +＝1 由()()2
22212022
x y y x y ⎧++=>⎪⎨+=⎪⎩ 解得
1
x y =⎧⎨=⎩ ∴G （0，1） …………13分 ∴所求的直线方程为：y ＝x ＋1 …………14分
20、⑴证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2
则F (x 1)－F (x 2)＝[f (x 1)－f (a －x 1)]－[f (x 2) －f (a －x 2)]
＝[f (x 1)－f (x 2)] ＋[f (a －x 2) －f (a －x 1)] …………2分 ∵f (x)在R 上是增函数
∴f(x 1)－f (x 2) ＜0
由(x 1) ＜f (x 2) 知：a ―x 2＜a ―x 1 ∴f (a －x 2) ＜f (a －x 1)
∴F(x 1) －F (x 2) ＜0 即F (x 1) ＜F (x 2)
∴F (x)在R 上是增函数 …………5分
⑵由已知得：F 2a ⎛⎫
⎪⎝⎭＝f (a)―f 2a a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭＝0 …………6分
设P （x ，y ）为F (x)的图象上任意点 则P （x ，y ）关于点,02a ⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称点P ′为（a ―x ，―y ） …………7分 ∵F （a －x ）＝f （a ―x ）―f [a ―（a ―x ）]＝f （a ―x ）―f (x)
＝―[ f (x)―f (a ―x)]＝－F (x) …………9分
∴F (x)的图象关于点,02a ⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称 …………10分 ⑶证明：用2a x +
，2
a
分别代入F （x ＋y ）＋F （x ―y ）＝2F (x) F (y) 得：2222222a a a a a a F x F x F x F ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎤+
+++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦ ……12分 由⑵知f 2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
＝0 ∴F （x ＋a ）＋F （x ）＝0
∴F （x ＋a ）＝－F （x ） …………14分。