2019_2020学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修2_1

模块综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或x ＝0.因为“x ＝1
2或x ＝0”是“x ＝0”的必要不
充分条件，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．
2．命题“对任意的x ∈R ，2x 3
－3x 2
＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R ，2x 3
0－3x 2
0＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，2x 3
0－3x 20＋1≤0 C ．存在x 0∈R ，2x 3
0－3x 2
0＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，2x 3
－3x 2
＋1>0
解析：选C.先变换量词，再否定结论，即“存在x 0∈R ，2x 3
0－3x 2
0＋1>0”． 3．下列命题中是假命题的是( )
A ．∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x
B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2
C ．∀x ∈R ，3x
>0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0
解析：选B.因为sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x 0＋π4≤2，所以B 错误，选B.
4．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →
)等于( )
A.AG →
B ．CG → C.B
C →
D ．12
BC → 解析：选A.如图所示．因为G 是CD 的中点，所以12(BD →＋BC →)＝BG →，所以AB →＋12(BD →＋BC →
)
＝AG →
.
5．与双曲线y 2
5－x 2
＝1共焦点，且过点(1，2)的椭圆的标准方程为( )
A.x 28＋y 22＝1 B ．x 210＋y 22＝1 C.x 22＋y 2
8
＝1 D ．y 2
10＋x 2
4
＝1 解析：选C.由题知，焦点在y 轴上，排除A ，B ，将(1，2)代入C ，D 可得C 正确．故选C.
6．抛物线y ＝ax 2
的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18
C ．8
D ．－8
解析：选B.由y ＝ax 2得x 2
＝1a y ，所以1a ＝－8，所以a ＝－18
.
7．已知条件p ：x 2
＋2x －3>0，条件q ：5x －6>x 2
，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.设满足条件綈p 的集合为P ，满足条件綈q 的集合为Q ，则P ＝{x |－3≤x ≤1}，
Q ＝{x |x ≥3或x ≤2}，所以P Q ，故綈p 是綈q 的充分不必要条件．
8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方
程为( )
A ．y ＝±1
2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±4x
D ．y ＝±1
4
x
解析：选A.由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以b a ＝12，故双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝
1的渐近线方程为y ＝±1
2
x .
9．已知命题p ：若方程ax 2＋x －1＝0有实数解，则a ≥－14且a ≠0；命题q ：函数y ＝x
2
－2x 在[0，3]上的最大值与最小值之和为2.则下列为真命题的是( )
A ．p 且q
B ．p 且綈q
C ．p 或綈q
D ．p 或q
解析：选D.由于当a ＝0时，方程ax 2
＋x －1＝0有实数解x ＝1，故p 是假命题；函数y ＝x 2
－2x 在[0，3]上的最小值为－1，最大值为3，最大值与最小值之和为2，故q 是真命题，在四个选项中，只有p 或q 是真命题．
10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A ．y 2
＝±4x B ．y 2
＝±8x C ．y 2＝4x
D ．y 2
＝8x
解析：选B.由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
4，0.又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2
＝±8x .
11．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．45°
解析：选B.由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD → 2＝1，由cos 〈AB →
，CD →
〉＝
AB →·CD
→
|AB →|·|CD →|
＝12，得〈AB →，CD →
〉＝60°，故直线a ，b 所成的角为60°.
12．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1上的点，F 1，F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半
焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )
A ．1
B ．a 2
C ．b 2
D ．c 2
解析：选D.由椭圆的几何性质得a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|
≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22
＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2
|时取等号． |PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|·(2a －|PF 1|)＝－|PF 1|2
＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2
＋a 2
≥－c 2
＋a 2
＝
b 2，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2－b 2＝
c 2.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知点A (－1，－2)在抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M ，N 两点，则|MN |＝________．
解析：因为点A (－1，－2)在抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的准线上，所以－p
2＝－1，p ＝2，
抛物线的方程为y 2
＝4x ，焦点F (1，0)，当x ＝1时，y ＝±2，则M (1，2)，N (1，－2)或N (1，2)，M (1，－2)，所以|MN |＝2－(－2)＝4.
答案：4
14．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →
＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →
是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →
.其中正确的是________(填序号)．
解析：因为AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，所以AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；因为AP →·AD →
＝－4＋4＝0，所以AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →
是平面ABCD 的一个法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →
，④错误．
答案：①②③
15．若命题“∃x 0∈R ，2x 2
0－3ax 0＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为∃x 0∈R ，2x 2
0－3ax 0＋9<0为假命题，所以∀x ∈R ，2x 2
－3ax ＋9≥0为真命题，所以Δ＝9a 2
－4×2×9≤0，即a 2
≤8，所以－22≤a ≤2 2.
答案：[－22，22]
16．若双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线x 2
＝4y 的准线所围成的三角形的面
积为2，则该双曲线的离心率为________．
解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是y ＝±b a
x ，抛物线的准线方程是y ＝－1，因此
所围成的三角形的三个顶点坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ，－1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b
，－1，(0，0)，该三角形的面积等于
2×12×a b ×1＝a b ＝2，因此该双曲线的离心率e ＝c
a
＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝52. 答案：
5
2
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2
m
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：
∀x ∈R ，4x 2
－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．
解：p 真时，m >2.
q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立．
Δ＝16m 2
－16(4m －3)≤0，
解得1≤m ≤3.
因为(綈p )∧q 为真，所以p 假，q 真．
所以⎩
⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2.
所以所求m 的取值范围为[1，2]．
18．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2
＋2y 2
＝4. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．
解：(1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1，所以a 2＝4，b 2
＝2，
从而c 2
＝a 2
－b 2
＝2，因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝
22
. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →
＝0，即tx 0＋2y 0＝0， 解得t ＝－2y 0x 0
.又x 20＋2y 2
0＝4，
所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2
＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02
＋(y 0－2)2＝x 20＋y 2
0＋4y 2
0x 20＋4＝
x 2
＋4－x 2
02＋2（4－x 2
0）x 2
0＋4＝x 2
02＋8x 20
＋4(0<x 2
0≤4)． 因为x 20
2＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 2
0＝4时等号成立，
所以|AB |2
≥8.故线段AB 长度的最小值为
2 2. 19.
(本小题满分12分)如图，在四面体P ­ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝PB ＝2，PC ＝4，
E 是AB 的中点，
F 是CE 的中点．
(1)建立适当的直角坐标系，写出点B ，C ，E ，F 的坐标； (2)求BF 与平面ABP 所成的角的余弦值．
解：
(1)以PA 所在直线为x 轴，PB 所在直线为y 轴，PC 所在直线为z 轴，P 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则B 点坐标为(0，2，0)，C 点坐标为(0，0，4)，A 点坐标为(2，0，0)． 因为E 为AB 的中点，所以E (1，1，0)．
因为F 为CE 的中点，所以F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12，2. (2)连接PE ，设G 为PE 的中点，连接FG ，BG ，则G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12，0. 因为PA ，PB ，PC 两两互相垂直，所以PC ⊥平面ABP . 因为F ，G 分别为CE ，PE 的中点， 所以FG ∥PC ，所以FG ⊥平面ABP . 故∠FBG 为BF 与平面ABP 所成的角． 又因为cos ∠FBG ＝cos 〈BF →，BG →
〉， BF →
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫12，－32，2，BG →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫12，－3
2
，0.
所以cos 〈BF →，BG →
〉＝BF →·BG →
|BF →||BG →|
＝52
652＝6513，
即BF 与平面ABP 所成的角的余弦值为65
13. 20．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°. (1)求证：BD ⊥平面PAC ；
(2)若PA ＝4，求平面PBC 与平面PDC 所成角的余弦值． 解：(1)证明：因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .
又PA ⊥平面ABCD ，
所以BD ⊥PA .又PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC . (2)
以BD 与AC 的交点O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，过点O 且垂直于平面
ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知可得，AO ＝OC ＝3，OD ＝OB ＝1，所以P (0，－3，4)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，D (－1，0，0)，PC →＝(0，23，－4)，BC →＝(－1，3，0)，CD →
＝(－1，－3，0)．
设平面PBC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PDC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0，n 1·BC →＝0，可得⎩⎨⎧23y 1－4z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0，令x 1＝3，可得n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1，32.同理，由
⎩⎪⎨
⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·CD →＝0，
可得n 2＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－3，1，32， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－5
19，又平面PBC 与平面PDC 所成的角为锐角，所以平面
PBC 与平面PDC 所成角的余弦值为5
19
.
21．(本小题满分12分)
如图，已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A (x 1，y 1)(y 1>0)，
B (x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．
(1)若TA →·TB →
＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．
解：(1)由题意得F (1，0)，T (－1，0)，当直线l 与x 轴垂直时，A (1，2)，B (1，－2)， 此时TA →·TB →＝(2，2)·(2，－2)＝0，这与TA →·TB →
＝1矛盾．
故直线l 与x 轴不垂直．
设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．① 将①代入y 2
＝4x 整理得
k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.
所以x 1＋x 2＝2k 2
＋4
k
2，x 1x 2＝1.
所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2
[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4， 所以TA →·TB →
＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝1＋2k 2
＋4k 2＋1－4＝4
k
2＝1.
解得k ＝±2.
故直线l 的斜率为±2. (2)因为y 1>0， 所以tan ∠ATF ＝
y 1
x 1＋1＝y 1y 214＋1＝4y 1＋4
y 1
≤1. 当且仅当y 1＝4
y 1
，即y 1＝2时取等号．
故∠ATF 的最大值为π
4
.
22．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，1)，且离心率为3
2
.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设直线l ：y ＝1
2
x ＋m 与椭圆E 交于A ，C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线
l 与x 轴的交点为N ，求证|BN |为定值．
解：(1)由题意，可知椭圆的焦点在x 轴上，且b ＝1，
由椭圆的离心率e ＝c
a
＝
1－b 2a 2＝3
2
，得a ＝2， 所以椭圆E 的标准方程为x 2
4
＋y 2
＝1. (2)证明：设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，线段AC 的中点为M ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1
2x ＋m ，x 2
4＋y 2
＝1，
整理得x 2
＋2mx ＋2m 2
－2＝0，
由Δ＝(2m )2－4(2m 2－2)＝8－4m 2
>0，解得－2<m <2，
则x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2
－2，y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2m ＝m ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，12m .|AC |＝
1＋k 2
·|x 1－x 2|＝1＋k 2
·（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
·4m 2－4×（2m 2
－2）＝10－5m 2.
由l 与x 轴的交点N (－2m ，0)，得|MN |＝
（－m ＋2m ）2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12m 2
＝54
m 2. 所以|BN |2＝|BM |2＋|MN |2＝14|AC |2＋|MN |2
＝52，所以|BN |为定值．。