九年级中考数学总复习课时训练：等腰三角形(附答案)

课时(十七)等腰三角形
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基础练习
1.[2020·福建]如图1,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于()
图1
A.10
B.5
C.4
D.3
2.[2020·聊城]如图2,在△ABC中,AB=AC,∠C=65°,点D是BC边上任意一点,过点D作DF∥AB交AC于点E,则∠FEC的度数是()
图2
A.120°
B.130°
C.145°
D.150°
3.已知等边三角形一边上的高为2√3,则它的边长为()
A.2
B.3
C.4
D.4√3
4.在等腰三角形AOC中,过点O作射线OB交AC于点D,量角器的摆放如图3,则∠CDO的度数为()
图3
A.90°
B.95°
C.100°
D.120°
5.[2020·自贡]如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是()
图4
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
6.[2020·襄阳]如图5,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C=°.
图5
7.[2020·营口]如图6,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为.
图6
8.[2020·贵阳]如图7,△ABC中,点E在边AC上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD垂直于BE的延长线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为.
图7
9.[2020·哈尔滨]已知:在△ABC中,AB=AC,点D、点E在边BC上,BD=CE,连接AD,AE.
图8
(1)如图①,求证:AD=AE;
(2)如图②,当∠DAE=∠C=45°时,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中的四个等腰三角形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.
能力提升
10.[2019·上饶模拟]如图9,矩形OABC的顶点A,C分别在坐标轴上,B(8,7),D(5,0),点P沿A→B→C→O运动,连接OP,DP,当△ODP为等腰三角形时,点P的坐标为.
图9
【答案】
1.B
2.B
3.C
4.B[解析]由题图可知,∠BOA=70°,∠COA=130°,
×(180°-130°)=25°,∴∠CDO=70°+25°=95°.故选B.
∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA=1
2
5.D
6.40[解析]∵AB=AD=DC,∴∠ABD=∠ADB,∠DAC=∠C.∵∠BAD=20°,∴∠ADB=180°-20°
=80°.
2
∠ADB=40°.故答案为40.
又∵∠ADB=∠DAC+∠C,∴∠C=1
2
7.3√3[解析]连接CF,如图①,根据两点之间线段最短,可得CE+EF≥CF,又根据垂线段最短可得,当CF⊥AB 时,CF有最小值,此时CF与AD的交点即为点E(如图②),在Rt△AFC中,AC=6,∠AFC=90°,∠F AC=60°,∴FC=AC·sin60°=6×√3
=3√3.∴CE+EF的最小值为3√3.
2
8.4√5[解析]延长BD到F,使得DF=BD,又∵CD⊥BF,∴CD垂直平分线段BF,∴BC=CF,∠CBD=∠F.
过点C作CH∥AB,交BF于点H,∴∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F,∴∠F=∠HCF,∴HF=HC,
∵EA=EB,∴∠BAE=∠ABE,
∵CH∥AB,∴∠ABE=∠CHE,∠BAE=∠HCE.
∴∠CHE=∠HCE,∴EH=EC.∴AC=BH.
∵BD=8,AC=11,∴DH=BH-BD=AC-BD=3,
∴HF=HC=8-3=5,
在Rt△CDH中,由勾股定理可知:CD=4,
在Rt△BCD中,由勾股定理可知:BC=√82+42=4√5,故答案为:4√5.
9.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
在△ABD和△ACE中,{AB=AC,∠B=∠C, BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE.
(2)△ABE,△ACD,△DAE,△DBF.[解析]∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.
∵BF∥AC,
∴∠FBD=∠C=45°.
∵∠ABC=∠C=∠DAE=45°,∠BDF=∠ADE,
∴∠F=∠BDF,∠BEA=∠BAE,∠CDA=∠CAD,
∴满足条件的等腰三角形有:△ABE,△ACD,△DAE,△DBF.
10.(8,4)或5
2
,7或(0,5)[解析]∵四边形OABC是矩形,OA,OC分别在x轴,y轴上,B(8,7),∴OA=BC=8,OC=AB=7.
∵D(5,0),
∴OD=5.
∵点P是边AB或边BC或边OC上的一点,
∴分三种情况讨论.
当点P在AB边上时,只有OD=DP=5,
∵AD=OA-OD=3,
∴P A=√DP2-DA2=4,
∴点P(8,4);
,7;
当点P在边BC上时,只有PO=PD,此时点P5
2
当点P在边OC上时,只有OD=OP=5,此时点P(0,5).
,7或(0,5).综上所述,满足条件的点P的坐标为(8,4)或5
2。