北京市海淀区高三数学下学期期中练习题 理(海淀一模,扫描版)北师大版

北京市海淀区2014届高三数学下学期期中练习题理（海淀一模，扫
描版）北师大版
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数 学 （理科） 2014.4
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1. C 2. D
3. D
4. A
5. B
6. B
7. C
8. B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 96 10. 16 11. 2 12. 3
4 13. 4
14. 9；3 (本题第一空3分，第二
空2分)
三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15．解： （
Ⅰ
）
π
()sin
3
f x x = ---------------------------2分
(1)(0)
(0)1
f f
g -=
------------------------------3分
πsin
sin 03=-=.
-------------------------------5分 （
Ⅱ
）
(1)()π
()sin()sin 1333
f t f t
g t t t t t ππ+-=
=+-+-
------------------------------6分 πππ
sin
cos cos sin sin 33333
t t t π
π=+- ------------------------------7分
1ππsin
233
t t =- ------------------------------8分
ππsin()33
t =-- ------------------------------10分
因为
33[,]
22
t ∈-，所以
ππ5ππ[,]
33
66
t -∈-， ------------------------------11分 所
以
π
1s
i
n ()3
3
2
t π
-∈-，
-----------------------------12分 所
以
()g t 在
33
[,]22
-上的取值范围是
1
[,1]2
- -----------------------------13分 16.解：
（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分 （Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则
当a =34时，X =136元，当a >35时，354(35)7X a =⨯+-⨯元，
X 的可能取值为136,147,154,189,203
-------------------------------4分
{说明：X 取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止} X
--------------------------------------9分
{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}
13231()1361471541892031010101010
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯ 1655
=
=165.5()10
元
--------------------------------------11分
（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元. ------------------------------------13分
17．（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，
又在ABD ∆中，AE BD
⊥于E ，AE ⊂平面ABD
所以AE ⊥平面
B
.
--------------------------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥.
由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD .
如图，以E 为坐标原点，分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -
--------------------------4分 不妨设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==. 由图1
条件计算得，AE =
BC =
BF =
则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),E D B A F C --------5分
(3,1,0),(0,1,DC AD ==.
由
AE ⊥平面B C D 可知平面DCB 的法向量为
EA .
-----------------------------------6分 设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，则
0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩n
n 即0,
0.
y y +==⎪⎩
令1z =，则,1
y x ==，所以
(11)=-n .------------------------------------8分
平面DCB 的法向量为
EA 所以cos ,||||
EA EA EA ⋅<>=
=⋅n n n ， 所
以
二面角
A DC
B --的余弦值为
------------------------------9分 （Ⅲ）设AM AF
λ=，其中[0,1]λ∈.
由于3
(
AF
=， 所以
(0,
3)
A
M A
λ
λ==，其中[0,1]λ∈
--------------------------10分
所
以
3,03E M E A
λ
⎛=+
=- ⎝
--------------------------11分
由
0EM ⋅=n ，即
03
λ=-(1- ---------------------------12分
解
得
3=(
04
λ∈.
-----------------------------13分
所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且
3
4
AM AF =.-------------14分
18．解 （
Ⅰ
）
e ax
y a '=，
-----------------------------------2分
因为曲线C 在点（0，1）处的切线为L ：2y x m =+， 所
以
12m =⨯+
且0|2
x y ='=.
----------------------------------4分
解得
1m =，
2a =
-----------------------------------5分 （Ⅱ）法1：
对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于
∀x ,a R ∈，都有e ax
ax b >+，
即∀x ,
a ∈
R ，
e 0
ax ax b -->恒成立，
--------------------------------------6分
令
()e ax g x ax b
=--，
----------------------------------------7分
①若a=0，则()1g x b =-，
所以实数b 的取
值范围是1b <；
----------------------------------------8分
②若0a ≠,()(e 1)ax
g x a '=-，
由'()0g x =得0x =，
----------------------------------------9分
'(),()g x g x 的情况如下：
-----------------------------------------11分
所
以
()g x 的最小值为(0)1g b =-，
-------------------------------------------12分
所以实数b 的取值范围是1b <； 综上，实数b 的取值范围是
1b <． --------------------------------------13分 法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于
∀x ,a R ∈，都有e ax
ax b >+，即
∀x ,
a ∈
R ，
e ax b ax
<-恒成立，
-------------------------------------------6分
令t ax =，则等价于∀t ∈R ，e t
b t <-恒成立，
令
()e t g t t
=-，则
()e 1
t g t '=-，
-----------------------------------------7分
由'()0g t =得0
t =，
----------------------------------------9分
'(),()g t g t 的情况如下：
-----------------------------------------11分
所
以
()e t g t t
=-的最小值为(0)1g =，
------------------------------------------12分
实数b 的取值范围是
1b <． --------------------------------------------13分 19．解： （
Ⅰ
）
设
00(,)
A x y ,
00(,)
-B x y ，
---------------------------------------1分
因为
∆ABM
为等边三角形，所
以
00|||1|3
=
-y x .
---------------------------------2分
又点00(,)A x y 在椭圆上，
所以
00220
0|||1|,239,
y x x y ⎧=
-⎪⎨⎪+=⎩ 消去
y ，
-----------------------------------------3分
得
到
2003280
--=x x ，解得
02
=x 或
04
3
=-
x ，
----------------------------------4分
当02=x
时，||3
=
AB ； 当
043
=-
x 时
，
4
3
||=
AB .
-----------------------------------------5分 {说明：若少一种情况扣2分}
（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在.
设直线AB :=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，
联立22239,
⎧+=⎨=+⎩x y y kx m
消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ，
------------------6分
由
0∆>得到
222960
--<m k ①
----------------------------7分
所以122
623+=-
+km
x x k ,
12122
4()223+=++=
+m y y k x x m k ，
----------------------------8分
所以22
32(,)2323-
++km m
N k k ，又(1,0)M
如果∆ABM 为等边
三
角
形
，
则
有
⊥MN AB ，
--------------------------9分
所以
1
MN k k ⨯=-， 即
222231123m
k k k
+⨯=---+，
------------------------------10分
化
简
2320k k
m +
+=，
②
------------------------------11分
由②得232k m k
+=-，代入① 得22
22
(32)23(32)0k k k +-+<， 化
简
得
234
0+<k ，不成立，
-------------------------------------13分
{此步化简成422
9188
0k k k
++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故
∆ABM
不能为等边
三角形.
-------------------------
------------14分
法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，
所
以
||MA ===，
----------------8分
设
22(,)B x y ，同理可
得|)1M B
=+，且2[3,3]
x ∈- -----------------9分
因为21
(3)13
y x =
-+在[3,3]-上单调 所
以
，
有
12
x x =⇔||M A M B =，
---------------------------------11分
因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠.
所以|M A M ≠，
---------------------------------13分
所
以
∆ABM
不可能为等边三角形.
---------------------------------14分 20.解：
（Ⅰ）设点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123,,B B B ,
由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)B B ,设2(,)B x y ，
1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ，1223(,2)(5,2)=-=--B B x y B B x y ，，
由正交点列的定义可知 12120A A B B ⋅=,23230A A B B ⋅=,
即32(2)0,,2(5)2(2)0x y x y --=⎧⎨-+-=⎩ 解得2
5
=⎧⎨
=⎩x y 所
以
点
列
123(
,2
)
,(3
,0),(5,2)
A A A 的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)
B B B .------3分
（Ⅱ）由题可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，
， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，
则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)λλλ=-==-B B B B B B ，,λλλ∈123，，Z 因为1144,A B A B 与与相同，所以有
λλλλλλ⎧⎪⎨
⎪⎩123123-+-=9,（1）
3+3+3=1.（2）
因为λλλ∈123，，Z ，方程（2）显然不成立，
所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列；---------------8分 （Ⅲ）5n n ∀≥∈
，N ，都存在整点列()A n 无正交点列.
-------------------------9分
5n n ∀≥∈，N ，设1(,),i i i i A A a b +=其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3
,1i n =-
若有序整点列123,,,
n B B B B 是点列123,,,n A A A A 正交点列,
则1(,),1,2,3,
,1λ+=-=-i i i i i B B b a i n ，
则有 1
1
=11
11
=1
1,(1).(2)n n i i i i i n n i i i i i b a a b λλ--=--=⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑
①当n 为偶数时，取1,(0,0)A 1,=3=,1,2,3,
,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数
，，为偶数
.
由于123,,,
n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,
,1i n =-.
等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列；
②当n 为奇数时，
取1,(0,0)A 11=3,2=a b ,1,=3=,2,3,
,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数
，，为偶数
,
由于123,,,
n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,
,1i n =-.
等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以该点列123,,,
n A A A A 无正交点列.
综上所述，5n n ∀≥∈，N ，都不存在无正交点列的有序整数点列()A n ----------13
分。