高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 导数的概念及其几何意义 第二课时参考教案

§2 导数的概念及其几何意义
第二课时 导数的几何意义（一）
一、教学目标：
1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；
2、理解曲线在一点的切线的概念；
3、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：了解导数的几何意义
教学难点：求简单函数在某点出的切线方程
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：导数的概念及求法。

（二）、探究新课
设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为x
y ∆∆，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ∆+）两点
的直线的斜率。

这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。

如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从
图像上可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；
当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将
绕点A 转动最后趋于直线l 。

直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相
切” ，称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。

该切线的斜率
就是函数)(x f y =在x 0处的导数)(0x f '。

函数)(x f y =在x 0处的导数，是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。

函数)(x f y =在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义。

1、导数的几何意义：
函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，
即 0000()()()lim x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim
x f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
2、导函数：
由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，
即: 0()()()lim x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
3、函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数
(3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一。

例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。

（1）分别对Δx =2，1，0.5求2x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；
（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的导数，并画出曲线2x y =在点（－2，4）处的切线。

解：（1）Δx =2，1，0.5时，区间[x 0，x 0＋Δx ]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-1.5]。

2x y =在这些区间上的平均变化率分别为
22)2(02)2()0(2
2-=--=--f f ， 31
)2()1(1)2()1(2
2-=---=---f f ， 5.35
.0)2()5.1(5.0)2()5.1(2
2-=---=---f f . 其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l 1，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l 2，过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l 3.
（2）2x y =在区间[-2，-2＋Δx ]上的平均变化率为
x x
x x x x ∆+-=∆∆+∆-=∆--∆+-4)(4)2()2(2
22. 令Δx 趋于0，知函数2x y =在x 0＝－2处的导数为-4。

曲线2x y =在点（-2，4）处的切线为l ，如右图所示。

例2、求函数32)(x x f y ==在x =1处的切线方程。

解：先求32x y =在x =1处的导数：
[]
2323
3)(2662)()(331212)1(2)1()1(x x x
x x x x
x x f x f ∆+∆+=∆-∆+∆+∆+=∆⨯-∆+=∆-∆+ 令Δx 趋于0，知函数32x y =在x =1处的导数为
6)1(='f 。

这样，函数32x y =在点（1，)1(f ）=(1，2)处的切线斜率为6.即该切线经过点（1，2），斜率为6.
因此切线方程为 y -2=6(x -1).
即 y =6x -4.
切线如图所示。

（三）、小结：函数)(x f y =在x 0处的导数，是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处
的切线的斜率。

函数)
y 在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。

f
(x
P练习：1、2.
（四）、练习：课本
37
P习题2-2中A组4、5
（五）、作业：课本
37
五、教后反思：。