开侨中学高三理数周末练习(4)

开侨中学高三理数周末练习（4）
一、单选题
1．已知复数 满足 ，则 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知 ，函数 的定义域为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．已知 、 都是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）
A ． 充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ． 充分必要条件
D ． 既不充分也不必要条件 4．若变量 ， 满足
，则 的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知
是函数 的一个极大值点，则 的一个单调递减区间是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知 、 分别是双曲线
的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点 ，使得 ，且满足 ，那么双曲线的离心率为（ ）A ． B ． C ． D ．
7．某学校 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织 位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给 位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ） A ． B ． C ． D ．
10．某一简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积是（ ）. A ． B ． C ． D ．
11．给出下列函数：① ；② ；③ . ，使得
的函数是（ ）
A ． ①②
B ． ①③
C ． ②③
D ． ①②③
12．设直线 与曲线 的三个交点分别为 、 、 ，且 .现给出如下结论：① 的取
A．B．C．D．
二、填空题
13．展开式的常数项是__________．
14．已知向量，，，若为实数，，则的值为__________．
15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’捶（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上束，下一层束，再下一层束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则本问题中三角垛底层菱草总束数为__________．
16．在中，角、、的对边分别为、、，是的中点，，，则面积的最大值为__________．三、解答题
17．已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
18．如图，三棱柱中，侧面侧面，，，，为棱的中点，在棱上，面.（1）求证：为的中点；（2）求二面角的余弦值.
19．未来创造业对零件的精度要求越来越高.打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间.某制造企业向高校打印实验团队租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取个零件，度量其内径的茎叶图如图（单位：）.
（1）计算平均值与标准差；
（2）假设这台打印设备打印出品的零件内径服从正态分布，
该团队到工厂安装调试后，试打了个零件，度量其内径分别为（单位：）：、、、、，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？
参考数据：，，，，.
20．已知椭圆：的一个顶点为，且焦距为，直线交椭圆于、两点（点、与点不重合），且满足.
（1）求椭圆的标准方程；（2）为坐标原点，若点满足，求直线的斜率的取值范围.
21．设常数，，.
（1）当时，若的最小值为，求的值；
（2）对于任意给定的正实数、，证明：存在实数，当时，.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的方程为，圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求直线与圆的交点的极坐标；
（2）若为圆上的动点，求到直线的距离的最大值.
开侨中学高三理数周末练习（4）
参考答案
1．C由题意，∴．
2．A由题意，，∴．
3．B【解析】，有可能为，故不能推出，反过来，则成立，故为必要不充分条件. 4．D作出可行域，如图五边形，作直线，平移直线，当过点时，
为最大值．故选D．
5．B函数的周期是，而，因此区间是其减区间．故选B．
6．A【详解】∵，且满足，∴，
又，∴，∴，，∴．7．C设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，，
则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为．
8．D试题分析：因,故，所以,故应选D.
9．D程序运行时，变量值依次为；；；，，退出循环，．
10．C【解析】几何体为一个正四棱柱,底面正方形边长为,侧棱长为3,外接球球心为上下底面中心连线的中点,球半径为 ,表面积是,选C.
11．B是偶函数，，当时，，当时，，因此存在，使
；当时，（）；
是奇函数，＝0（），因此①③是正确的．
12．C ，，可知或时，
，当时，，是极大值，是极小值，因此
如图是函数的图象．在上的变化率逐渐减小，在上的变化率逐渐增大，
因此的值先增大后减小，故存在最大值不存在最小值．故③错误，又由题意
知是方程即的三个根，∴，，
，∴，∴①②正确．故选C．
13．由题意得，二项式展开式的通项为，当时，所以. 14．【详解】∵，∴＝0，即，解得．故答案为．15．120解：由题意，第n层茭草束数为1 2 ... =，∴1 3 6 (680)
即为[n（n+1）（2n+1）+n（n+1）]=n（n+1）（n+2）=680，即有n（n+1）（n+2）=15×16×17，
∴n=15，∴=120．故答案为：120
16．【详解】在中有，和中有，
∴，即．∵，∴，∴，∴当时，取得最大值．故答案为．17．【详解】（1）当，，解得；当时，，，两式相减得，化简得，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.
（2）由（1）可得，所以，
，
，
两式相减得，
所以数列的前项和.
因为，
所以.
18．【详解】（1）连接，因为为正三角形，为棱的中点，
所以，从而，又面侧面，面侧面，面，
所以面.以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
不妨设，则，2，2，设，则2，2，
因为平面，平面，所以，所以，解得，即1，所以为的中点.
（2）1，1，，设平面的法向量为，则，即，解得，令，得33，显然平面的一个法向量为，
所以，所以二面角的余弦值为.
19．【详解】（1），，所以.
（2）结论：需要进一步调试.理由如下：如果机器正常工作，则服从正态分布，
，零件内径在123之外的概率只有，
而123，根据原则，知机器异常，需要进一步调试.
20．【详解】（1）依题意，，，则，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线垂直于轴时，由消去整理得，
解得或，此时，直线的斜率为；
当直线不垂直于轴时，设，，直线：，
由，消去整理得，
依题意，即，
且，，
又，所以
，
所以，即，解得满足，
所以，故.
故直线的斜率，
当时，，此时；
当时，，此时；
综上，直线的斜率的取值范围为.
21．【详解】
（1），
将代入得，
由，得，且当时，，递减；
时，，递增；故当时，取极小值，
因此最小值为，令，解得.
（2）因为，
记，故只需证明：存在实数，当时，，
，
设，，则，
易知当时，，故，
又由，解得：，即，
取，则当时，恒有，
即当时，恒有成立.
22．试题分析：（1）直线:,圆:,联立方程组,解得或, 利用极坐标转换公式即可求出结果；（2）设,则,当时,即可求出的最大值.
试题解析：（1）直线:,圆:,
联立方程组,解得或,
对应的极坐标分别为,.
（2）设,则,
当时,取得最大值.
考点：极坐标与参数方程.。