2020高考数学一轮复习第七章不等式7

【2019最新】精选高考数学一轮复习第七章不等式7
时间：45分钟
基础组
1.[2016·衡水中学仿真]下列命题正确的是( )
A ．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x ＋≥4
B ．若a<0，则a ＋≥－4 lga·lgb
lgb≥2＋lga ，则b>0，a>0．若C D ．若a<0，b<0，则＋≥2
答案 D
解析 当sin2x ＝1时，1＋1＝2<4，所以A 错；若a<0，则a ＋≤－4，B 错；因
为lg a ，lg b 可以小于零，C 错；由a<0，b<0，所以，都大于零，D 正确．
2．[2016·武邑中学一轮检测]若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a 的取值
范围是( )
A.
⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22B. C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2
13，1D. 答案 D 解析 ＝，而t ＋在(0,2]上单调递减，故t ＋≥2＋＝，＝≤(当且仅当t ＝2时
等号成立)，＝＋＝22－，因为≥，所以＝＋＝22－≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，
故a 的取值范围为.
3．[2016·武邑中学月考]设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac ＋25c2的最小值是
( )
A ．2
B ．4
C ．2
D ．5 答案 B
解析 原式＝a2＋＋＋a2－10ac ＋25c2＝a2＋＋(a －5c)2≥a2＋＋0≥4，当且
仅当b ＝a －b 、a ＝5c 且a2＝，即a ＝2b ＝5c ＝时等号成立，故原式的最小值为4.故
选B.
4．[2016·衡水中学热身]已知a>0，b>0，且2a ＋b ＝4，则的最小值为( )
A.
B ．4 C.
D ．2 答案 C
解析 由4＝2a ＋b≥2，得ab≤2，又a>0，b>0，所以≥，当且仅当a ＝1，b ＝
2时等号成立．
5. [2016·枣强中学期中]已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则的最小值为________．
答案 9
解析 由已知得＝1，则＝＋＝＝10＋＋≥(10＋2)＝9，当且仅当x ＝，y ＝时取
等号．
6．[2016·衡水二中预测]已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取
值范围是________．
答案 －4<m<2
解析 根据题意，x>0，y>0，则>0，>0，
所以＋≥2＝8，当且仅当＝时，
即y ＝2x 时等号成立，即＋的最小值为8.
若＋>m2＋2m 恒成立，必有m2＋2m<8恒成立，
所以m2＋2m<8，m2＋2m －8<0，即－4<m<2.
7．[2016·枣强中学期末]已知点P(x ，y)到A(0,4)和B(－2,0)的距离相等，则
2x ＋4y 的最小值为________． 2
4 答案 解析 由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，
∴2x ＋4y ≥2＝2＝4，当且仅当x ＝2y ＝时，等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4.
8．[2016·衡水二中模拟]已知x ，y∈R，满足x2＋2xy ＋4y2＝6，则z ＝x2＋4y2
的取值范围为________．
答案 [4,12]
解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，∴6－(x2＋4y2)≤，∴x2＋4y2≥4，当
且仅当x ＝2y 时取等号．又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝
6－2xy≤12.综上可得4≤x2＋4y2≤12.
9．[2016·武邑中学预测]已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求
证：>8.
证明 因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以－1＝＝> ①
1y
，② >＝＝1－ 1z
，③ >＝＝1－ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得
⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8. 10．[2016·冀州中学仿真]证明：＋a≥7(a>3)．
证明 因为a>3，所以＋a ＝＋(a －3)＋3≥2＋3＝2×＋3＝7.
当且仅当＝a －3，即a ＝5时，等号成立．
11．[2016·武邑中学猜题]已知lg (3x)＋lg y ＝lg (x ＋y －1)．
(1)求xy 的最小值；
(2)求x ＋y 的最小值．
解 由lg (3x)＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，
⎩⎪⎨⎪⎧
x>0，y>0，
3xy ＝x ＋y ＋1.得 (1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x ＋y ＋1≥2＋1.
∴3xy －2－1≥0，
即3()2－2－1≥0，
∴(3＋1)(－1)≥0，
∴≥1，∴xy ≥1.
当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．
∴xy 的最小值为1.
(2)∵x>0，y>0，∴x＋y ＋1＝3xy≤3·2.
∴3(x ＋y)2－4(x ＋y)－4≥0，
∴[3(x ＋y)＋2][(x ＋y)－2]≥0，∴x ＋y ≥2，
当且仅当x ＝y ＝1时取等号，
∴x ＋y 的最小值为2.
12. [2016·衡水二中期末]如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为
2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度
为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量
分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?
解 解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，
则y ＝，其中k 为比例系数，且k>0.
根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)，
所以b ＝(0<a<30)．
30a －a2
2＋a
＝a×＝ab 所以 64
2＋a
－32＋a ＝－ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋2＋64
a ＋2－34＝ ≤34－2＝18.
当a ＋2＝时取等号，y 达到最小值．
此时解得a ＝6，b ＝3.
所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
解法二：设y 为流出的水中杂质的质量分数，
则y ＝，其中k 为比例系数，且k>0.
根据题意有，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a>0，b>0)，
即2b ＋ab ＋a ＝30.
因为a ＋2b≥2，所以30－ab ＝a ＋2b≥2.
所以ab ＋2－30≤0.
因为a>0，b>0，所以0<ab≤18，
当a ＝2b 时取等号，ab 达到最大值18.
此时解得a ＝6，b ＝3.
所以当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
能力组
13.[2016·冀州中学预测]若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围
是(
) A.
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
6，22B.
C.
⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1D. 答案 D
解析 ＝，而y ＝t ＋在(0,2]上单调递减，故t ＋≥2＋＝，＝≤(当且仅当t ＝2
时等号成立)，＝＋＝22－，因为≥，所以＝＋＝22－≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，
故a 的取值范围为.
14. [2016·衡水二中期中]设M ＝，N ＝()x ＋y ，P ＝3(x ，y>0，且x≠y)，则M ，
N ，P 大小关系为( )
A ．M<N<P
B ．N<P<M
C ．P<M<N
D ．P<N<M 答案 D
解析 由基本不等式可知≥＝＝3≥3，因为x≠y，所以等号不成立，故P<N<M.
15．[2016·衡水中学热身]若实数x ，y 满足x2＋y2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值
是________．
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答案 解析 (x ＋y)2＝x2＋2xy ＋y2＝x2＋xy ＋y2＋xy ＝1＋xy ，要使其有最大值，不
妨设x ，y 均为正数，故有x2＋y2＋xy ＝1≥2xy＋xy ＝3xy ，即xy≤，当且仅当x ＝y
时取等号，所以(x ＋y)2＝1＋xy≤，则x ＋y 的最大值是.
16. [2016·武邑中学月考]某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该
产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m≥0)满足x ＝3－(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2015年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入
两部分资金)．
(1)将2015年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
(2)该厂家2015年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x＝3－，每
件产品的销售价格为 1.5×(元)，∴2015年的利润y ＝1.5x×－8－16x －m ＝－＋
29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m ＋1)≥2＝8，
∴y ≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，
ymax＝21(万元)．故该厂家2015年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．。