九年级数学 第四章 图形的相似8 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换2
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12/10/2021
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数学理解
4．在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 与四边形 OEFG 位似，
位似中心是原点 O. 已知 C 与 F 是对应顶点，且 O，C，F 的坐
标分别是 O（0，0），C（3，7），F（9，21），那么四边形
OBCD 与四边形 OEFG 的相似比是多少？四边形 OEFG 与四边
知识技能
6 5 4 3 2 1
O 1234567
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知识技能
2．如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心，画出五边形
OBCDE 的位似图形，使它与 OBCDE 的相似比为 1 ．比较两个图形对 2
应点的坐标，你能发现什么？
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数学理解 3．在平面直角坐标系中，五边形 OBCDE 与五边形 OFGHJ 位 似，位似中心是原点 O，五边形 OBCDE 与五边形 OFGHJ 的 相似比是 k，这两个五边形每组对应顶点到位似中心的距离之 比是多少？
A(A3(,30,)0) AA′′((6-,60,)0)
将△OAB的横、 纵如坐果标将分点别O， 乘A，2和B的-2横，、得 到纵的坐两标个都不 同乘的以三-2角呢形？ 都是△OAB的 位似图形， 6 A′x 位似中心都 是原点O，相 似比都是2， 它们关于原 点成中心对 称。
B(2B,(32),3)
第2课时 平面直角坐标系中 的位似变换
12/10/2021
知识回顾 1. 位似图形
如果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同 一 个点O，且每 组对应点与O 点的距离之比都等于一
个定值k，例如OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多
边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。
结论1：位似图形是相似图形的特殊情形 结论2：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个 图形的同侧，异侧，图形的内部，边上，或顶点上
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原坐标 O(0,0) y A(6,0)
B(3,6)
C(-3,3)
横纵坐标×-23 O′(0,08) A′(-9,0) B′(-4.5,-9) C′(4.5,-4.5)
6
B
4
C
2
-8 -6 -4 -2 OO
-2
-4
A 246 8x
以原点O为 位似中心， 与四边形 OABC相似比 为3：2的位 似图形有两 个，它们关 于原点成中 心对称。
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y
5 C
4 B
3 2 1 O 1 2 3 4 5A
如图，在平面直角坐标系
中， 四边形 OABC 的顶 点坐标分别为 O（0，0）， A（5，0），B（5，3），C （2，4）．将点 O，A，B，
C 的横、纵坐标都乘 1 ， 2
得到四个点，以这四个点
为顶点的四边形与四边
x
形 OABC 位似吗？如果 位似，指出位似中心和相
原坐标 横纵12/坐10/2标021 ×23
-6
O(0,0) A(6,0) B(3,6)
C(-3,3)
O′(-08,0) A′(9,0) B′(4.5,9) C′(-4.5,4.5)
随堂练习 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别 是 O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（-2，3），画出 四边形 OABC 以点 O 为位似中心的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似比是 2∶1.
似比．
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶 点的横、纵坐标都乘同一个数 k（k≠0），所 对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标 原点，12/10它/202们1 的相似比为 | k |．
6
5
4
验
3 2
பைடு நூலகம்
证
1
O 1234567
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结论
在直角坐标系中，将一个多边形每 个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k （k≠0），所对应的图形与原图形位似， 位似中心是坐标原点，他们的相似比为 ∣k∣.
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例2 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别是 O（0， 0），A（6，0），B（3，6），C（-3，3）. 已知四边形 O′A′B′C′ 与四边形 OABC 是以原点 O 为位似中心的位似四边形， 且相似比是3 ∶2，请写出四边形 O′A′B′C′ 各个顶点的坐标．与 四边形 OABC 相比，四边形 O′A′B′C′ 对应顶点的坐标发生了什 么变化？
形 OBCD 的相似比呢? y
21
F
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7
C
O3
9
x
如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个
小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且
顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（9，0）
．
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课堂小结
有关位似图形的三个结论
结论1：位似图形是相似图形的特殊情形
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三角形ABC放大为原来的2倍
小结
E
B
O
C
F
B
A
D
D
O F
O
B C
A
E
对应点连线都交于_位__似___中__心____ 对应线段___平___行__或__共___线__________________
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A C
如图 3-40，在平面直角坐标系中，△OAB 三个顶点的坐标 分别为 O（0，0），A（3，0），B（2，3）.
BB′′((4-,46,)-6)
如图 3-4 1 ， 在平面直角坐标系中， 四边形 OABC 的顶点坐标 分别为 O（0，0），A（5，0），B（5，3），C（2，4）．将点 O，A，
B，C 的横、纵坐标都乘 1 ，得到四个点，以这四个点为顶点的 2
四边形与四边形 OABC 位似吗？如果位似，指出位似中心和相似 比．
将点 O，A，B 的横、 纵坐标都乘 2或－2， 得到三个点，以这三 个点为顶点的三角形 与 △OAB 位似吗？
如果位似，指出位似 中心和相似比.
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y
6
B′
4
A′
–6 –4
2 O –2 0 –2
B
A
2
4
–4
B′
原原坐坐标标
横横纵纵12坐坐/10标/标20×2×1 （2-2）
–6
O(0O,(0),0) OO′′((00,,00))
结论2：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个 图形的同侧，异侧，图形的内部，边上，或顶点上
结论3：在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位似比为k, 若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A’的 坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都 乘同一个数 k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中 心是坐标原点，它们的相似比为 | k |．
A(3,0) B(4,4)
C(-2,3)
横纵坐标×2 O′(0,-80) A′(6,0) B′(8,8) C′(-4,6)
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1．在平面直角坐标系中，△OBC 各顶点的坐标分别是 O（0，0），
B（6，0），C（8，4）．将点 O，B，C 的横、纵坐标都乘 1 ，得 2
到三个点，以这三个点为顶点的三角形与 △OBC位似吗？
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原坐标
O(0,0y) A(3,0)
B(4,4)
8
横纵坐标×（-2） O′(0,0) A′(-6,0) B′(-8,-8)
C(-2,3) C′(4,-6)
6
4
C
2
-8 -6 -4 -2 O
-2
-4
原坐标
-6
O(0,0)
B
2 A4 6
如图，在直角坐 标系中，四边形 OABC的顶点坐标 分别是O（0,0） A（3,0），B （4,4），C（8 x 2,3）.画出四边 形OABC以O为位 似中心的位似图 形，使它与四边 形OABC的相似比 是2:1.
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数学理解
4．在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 与四边形 OEFG 位似，
位似中心是原点 O. 已知 C 与 F 是对应顶点，且 O，C，F 的坐
标分别是 O（0，0），C（3，7），F（9，21），那么四边形
OBCD 与四边形 OEFG 的相似比是多少？四边形 OEFG 与四边
知识技能
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O 1234567
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知识技能
2．如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心，画出五边形
OBCDE 的位似图形，使它与 OBCDE 的相似比为 1 ．比较两个图形对 2
应点的坐标，你能发现什么？
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数学理解 3．在平面直角坐标系中，五边形 OBCDE 与五边形 OFGHJ 位 似，位似中心是原点 O，五边形 OBCDE 与五边形 OFGHJ 的 相似比是 k，这两个五边形每组对应顶点到位似中心的距离之 比是多少？
A(A3(,30,)0) AA′′((6-,60,)0)
将△OAB的横、 纵如坐果标将分点别O， 乘A，2和B的-2横，、得 到纵的坐两标个都不 同乘的以三-2角呢形？ 都是△OAB的 位似图形， 6 A′x 位似中心都 是原点O，相 似比都是2， 它们关于原 点成中心对 称。
B(2B,(32),3)
第2课时 平面直角坐标系中 的位似变换
12/10/2021
知识回顾 1. 位似图形
如果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同 一 个点O，且每 组对应点与O 点的距离之比都等于一
个定值k，例如OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多
边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。
结论1：位似图形是相似图形的特殊情形 结论2：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个 图形的同侧，异侧，图形的内部，边上，或顶点上
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原坐标 O(0,0) y A(6,0)
B(3,6)
C(-3,3)
横纵坐标×-23 O′(0,08) A′(-9,0) B′(-4.5,-9) C′(4.5,-4.5)
6
B
4
C
2
-8 -6 -4 -2 OO
-2
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以原点O为 位似中心， 与四边形 OABC相似比 为3：2的位 似图形有两 个，它们关 于原点成中 心对称。
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y
5 C
4 B
3 2 1 O 1 2 3 4 5A
如图，在平面直角坐标系
中， 四边形 OABC 的顶 点坐标分别为 O（0，0）， A（5，0），B（5，3），C （2，4）．将点 O，A，B，
C 的横、纵坐标都乘 1 ， 2
得到四个点，以这四个点
为顶点的四边形与四边
x
形 OABC 位似吗？如果 位似，指出位似中心和相
原坐标 横纵12/坐10/2标021 ×23
-6
O(0,0) A(6,0) B(3,6)
C(-3,3)
O′(-08,0) A′(9,0) B′(4.5,9) C′(-4.5,4.5)
随堂练习 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别 是 O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（-2，3），画出 四边形 OABC 以点 O 为位似中心的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似比是 2∶1.
似比．
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶 点的横、纵坐标都乘同一个数 k（k≠0），所 对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标 原点，12/10它/202们1 的相似比为 | k |．
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验
3 2
பைடு நூலகம்
证
1
O 1234567
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结论
在直角坐标系中，将一个多边形每 个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k （k≠0），所对应的图形与原图形位似， 位似中心是坐标原点，他们的相似比为 ∣k∣.
12/10/2021
例2 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别是 O（0， 0），A（6，0），B（3，6），C（-3，3）. 已知四边形 O′A′B′C′ 与四边形 OABC 是以原点 O 为位似中心的位似四边形， 且相似比是3 ∶2，请写出四边形 O′A′B′C′ 各个顶点的坐标．与 四边形 OABC 相比，四边形 O′A′B′C′ 对应顶点的坐标发生了什 么变化？
形 OBCD 的相似比呢? y
21
F
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7
C
O3
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x
如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个
小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且
顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（9，0）
．
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课堂小结
有关位似图形的三个结论
结论1：位似图形是相似图形的特殊情形
12/10/2021
三角形ABC放大为原来的2倍
小结
E
B
O
C
F
B
A
D
D
O F
O
B C
A
E
对应点连线都交于_位__似___中__心____ 对应线段___平___行__或__共___线__________________
12/10/2021
A C
如图 3-40，在平面直角坐标系中，△OAB 三个顶点的坐标 分别为 O（0，0），A（3，0），B（2，3）.
BB′′((4-,46,)-6)
如图 3-4 1 ， 在平面直角坐标系中， 四边形 OABC 的顶点坐标 分别为 O（0，0），A（5，0），B（5，3），C（2，4）．将点 O，A，
B，C 的横、纵坐标都乘 1 ，得到四个点，以这四个点为顶点的 2
四边形与四边形 OABC 位似吗？如果位似，指出位似中心和相似 比．
将点 O，A，B 的横、 纵坐标都乘 2或－2， 得到三个点，以这三 个点为顶点的三角形 与 △OAB 位似吗？
如果位似，指出位似 中心和相似比.
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y
6
B′
4
A′
–6 –4
2 O –2 0 –2
B
A
2
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–4
B′
原原坐坐标标
横横纵纵12坐坐/10标/标20×2×1 （2-2）
–6
O(0O,(0),0) OO′′((00,,00))
结论2：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个 图形的同侧，异侧，图形的内部，边上，或顶点上
结论3：在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位似比为k, 若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A’的 坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都 乘同一个数 k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中 心是坐标原点，它们的相似比为 | k |．
A(3,0) B(4,4)
C(-2,3)
横纵坐标×2 O′(0,-80) A′(6,0) B′(8,8) C′(-4,6)
12/10/2021
1．在平面直角坐标系中，△OBC 各顶点的坐标分别是 O（0，0），
B（6，0），C（8，4）．将点 O，B，C 的横、纵坐标都乘 1 ，得 2
到三个点，以这三个点为顶点的三角形与 △OBC位似吗？
12/10/2021
原坐标
O(0,0y) A(3,0)
B(4,4)
8
横纵坐标×（-2） O′(0,0) A′(-6,0) B′(-8,-8)
C(-2,3) C′(4,-6)
6
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-8 -6 -4 -2 O
-2
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原坐标
-6
O(0,0)
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如图，在直角坐 标系中，四边形 OABC的顶点坐标 分别是O（0,0） A（3,0），B （4,4），C（8 x 2,3）.画出四边 形OABC以O为位 似中心的位似图 形，使它与四边 形OABC的相似比 是2:1.