函数的表示法

函数的表示法
【知识点】
一、函数的三种表示法
1.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系，二是可以通过解析式求出任何一个自变量所对应的函数值.但是不是所有的函数都能用解析式表示. 2.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
列表法具体易用，即使不懂数学运算的人也能查表做事，缺点是不够全面. 3.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
图象法优点：能直观形象地表示出函数的变化情况.缺点：只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大.
二、分段函数：自变量x 的不同取值范围，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数. 分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数. 【例题】
题型一 分段函数
例1.已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧>+-≤<-≤+=)4(2)40(2)0(4
)(2
x x x x x x x x f
（1）求)]}5([{f f f 的值; （2）画出函数的图象.
练习：已知函数⎩⎨
⎧≥+<+=1
,1
,23)(2
x ax x x x x f ，若()a f f 4)0(=，则实数a = .
例2.定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨
⎧>---≤-=0
),2()1(0),
4(log )(2x x f x f x x x f ，则)3(f 的值为（ ）
A.-1
B.-2
C.1
D.2
练习：已知函数⎩⎨⎧≤+>=0
,10
,2)(x x x x f x 。

若0)1()(=+f a f ,则实数a 的值等于（ ）
A.-3
B.-1
C.1
D.3 题型二 函数的解析式的求法
1、根据某实际问题建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的相关知识找出函数关系式.
2、有时题中给出函数的特征，求函数的解析式，可用待定系数法 .如函数是二次函数，设为)0()(2≠++=a c bx ax x f ，其中c b a ,,是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出
c b a ,,即可.
例3.已知)(x f 是二次函数，且满足1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f .
练习：已知)(x f 是一次函数，且满足14)]([-=x x f f ，求)(x f .
3、①已知)(x f 的表达式，求)]([x g f 的表达式：直接把)(x f 中x 换成)(x g 即可. ②已知)]([x g f 的表达式，求)(x f 的方法：
(i)代换法：设t x g =)(，求出),(t h x =，则)]}([{)(t h g f t f =，即)]}([{)(x h g f x f =. (ii)整体代换法：在)]([x g f 的表达式，把每一个含有x 的项配凑成)(x g 的形式，直接把
)(x g 换成x 即可.
例4.求下列函数的解析式：
（1）已知12)(2++=x x x f ，求)1(+x f .
（2）已知x x
f l
g )12(=+，求)(x f .
（3）已知23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .
练习：已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f .
(4)解方程组法，已知)(x f 满足某个等式，这个等式除)(x f 是未知量外，还出现其他未知量，如)(x f -、)1(x
f 等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出)(x f .
例5.（1）已知)0()()1(2≠=+x x x f x
f ，求)(x f .
练习：若x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f .
例6 .已知函数)0()(≠+=
a b a b
ax x
x f 为常数，且、满足1)2(=f ，方程x x f =)(有唯一解，求函数)(x f 的解析式，并求)]3([-f f 的值.
题型三 列表法
例7.已知函数)(x f ，)(x g 分别由下表给出.
则)]1([g f 的值为 ；当==x x f g 时，2)]([ 练习：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出
则[(1)]f g 的值为
；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是
题型四 函数图象的作法 1、描点法 2、变换作图法
①平移：左加右减
②对称：关于x 轴对称：)()(x f y x f y -=→=
关于y 轴对称：)()(x f y x f y -=→= 关于原点对称：)()(x f y x f y --=→=
③其他：|)(|)(x f y x f y =→=
)()(x f y x f y =→=
例8. 作出①|82|2-+=x x y ,②5||42+-=x x y 的图象.
练习：画出函数||x y =的图象
例9：作出下列函数函数的图象并求函数的值域.
⎪⎩⎪⎨⎧≥<<=)
1()10(1x x
x x y
练习：作出函数|2||1|-++=x x y 的图象并求函数的值域.
例10.用min },,{c b a 表示c b a ,,三个数中最小值，设)0}(10,2,2min{)(≥-+=x x x x f x ，则)(x f 的最大值为 （ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
练习：若R x ∈,)(x f 是x y x y =-=,22这两个函数的较小者，则)(x f 的最大值为（ ） A.2 B.1 C.-1 D.无最大值 例11.已知函数)1(|2|)(+-=x x x f . （1）作出函数)(x f 的图象.
（2）判断关于x 的方程a x x =+-)1(|2|的解的个数.
练习：直线1=y 与曲线a x x y +-=||2
有四个交点，则a 的取值范围是 . 三、映射
1.映射的概念：设A 、B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称
B A f →:为集合A 到集合B 的一个映射.
2.象，原象的概念：
给定一个集合A 到集合B 的一个映射，且B b A a ∈∈,，如果在对应法则f 的作用下，元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象.
例12.以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？
（1）集合A={P|P 是数轴上的点}，集合B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应;
（2）集合A={P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合B=},|),{(R y R x y x ∈∈，对应关系f ： 直角坐标系中的点与它的坐标对应;
（3）集合A={x|x 是新华中学的班级}，集合B={x|x 是新华中学的学生},对应关系f ：每个班级都对应班里的学生.
练习：1.集合A= },,{c b a ,集合B={-1，1}的映射的个数.
2.已知原象),(y x 在映射f 下的象是),(y x y x -+,则（2，-3）的原象是
【课后作业】
1. 已知⎩
⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为 （ ）
A 2
B 3
C 4
D 5
2.二次函数2
y ax bx c =++中，0a c ⋅<，则函数的零点个数是 （ ）
A 0个
B 1个
C 2个
D 无法确定
3. 某学生离家去学校，因怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学走法的是（ ）
4.函数f(x)=|x|+1的图象是 （ ）
A
B
D
5.函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）
A ．必有一个
B ．1个或2个
C ．至多一个
D ．可能2个以上 6.设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x +
7.已知)0(1)]([,21)(2
2≠-=-=x x
x x g f x x g ，那么)21
(f 等于（ ） A ．15 B ．1 C ．3 D ．30
8已知2
211()11x x f x x --=
++，则()f x 的解析式为（ ） A ．
21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．2
1x x
+-
9.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是（ ）
（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭
⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭⎫
⎝⎛-21 ,23 （D ）()3 ,1
10.若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9， 则这个二次函数的表达式是 。

11.设函数.)().0(1),0(12
1
)(a a f x x
x x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 12. 当m 为怎样的实数时，方程m x x =+-5||42
有四个互不相等的实数根？并讨论m 为何值时，方程有三个实数根，两个实数根，没有实数根?。