数学---河北省蠡县中学2016-2017学年高二6月月考(理)

河北省蠡县中学2016-2017学年高二6月月考（理）考试时间：120分钟；总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每题5分）1、已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2、下列推理是归纳推理的是（ ）A ．由于满足对成立，推断为奇函数B ．由，求出，猜出数列的前项和的表达式C ．由圆的面积，推断：椭圆的面积D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 3、直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．与有关，不确定4、函数)(x f y =图象在点5=x 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5('f f +等于( )A.1B. 2C.0D.21 5.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） A ．在数列{}n a 中)2)(1a 21,1a 111≥+==--n a a n n n （，由此归纳数列{}n a 的通项公式； B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；C ．两条直线平行，同旁内角互补，如果B A ∠∠,是两条平行直线的同旁内角，则0180=∠+∠B A .D ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人。

6、已知复数)21,,(≥∈+=x R y x yi x z , 满足x z =-|1 , 那么z 在复平面上对应的点),y x （的轨迹是 ( )A ． 圆B ． 椭圆C ． 双曲线D ． 抛物线7、 已知函数的导函数为,且满足,则（ ）i R b a ,,∈i a -bi +2=+2）（bi a i 45-i 45+i 43-i 43+()cos f x x x =()()f x f x -=-x R ∀∈()cos f x x x =1=131n a a n =-，123,,s s s {}n a n 221x y +=2S r π=22221x y a b+=S ab π=()f x ()f x '()2()ln f x xf e x '=+()f e '=A ． 1B ．1-C ．e1-D ．e - 8、已知函数，若且，则下列不等式中正确的是( )A ．21x x >B ．21x x <C ．021>+x xD ．021<+x x9、已知函数)100)....(3)(2)(1()(f ----=x x x x x ,则=（ ） A ．99-! B ．100-!C ．98-!D ．010、曲线1y 2+=x 在点），（21处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆03x 4x 22=+++y 上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A ．1554- B ．1552- C ．51- D ．2 11、函数在内有极小值，则（ ） A ． B ． C ． D ． 12、已知函数，若恒成立，则ab 的最大值为（ ）A. B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13、函数x x x ln )(f -=的单调减区间为 ． 14、若函数)(f a ＝，则f 等于 15、函数x ax x +=3)(f x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 16.曲线1x =y 与直线x =y 和3y =所围成的平面图形的面积为 ．三、解答题()sin f x x x =-12,[,]22x x ππ∈-12()()0f x f x +>()1f 'b bx x x f 33)(3+-=)1,0(10<<b 1<b 0>b 21<b ()xf x e ax b =--()0f x ≥e 2e e 2e 0(2) asin x dx ⎰＋2π⎛⎫ ⎪⎝⎭17、（本小题10分） 求曲线过点的切线方程．18、在直角坐标系中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为1)31(c =-θρos ，N M ,分别为C 与x 轴，y 轴的交点． （1）写出C 的直角坐标方程，并求N M ,的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PB 底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB AD BC AD ⊥,//，且1,3====BC AD AB PB .（Ⅰ）若点F 为PD 上一点且PD PF 31=，证明：//CF 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角A PD B --的大小；（Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得PA CM ⊥? 若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由.20、已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程是32x x y -=)1,1(A l 21222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t C，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点，直线与曲线交于两点．（1）写出直线的极坐标方程与曲线的普通方程；（2）线段长度分别记为，求的值．21、某超市销售某种小商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：件）与销售价格x （单位：元/件）满足关系式x x x ax 80101160y 2-+-+=，其中4x 1<<， a 为常数，已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件．若该商品的进价为1元/件，当销售价格x 为何值时，超市每日销售该商品所获得的利润最大．22、已知函数)()(,ln )(f 2R a x ax x g x x x ∈-==.（1）求)(f x 的单调区间和极值点；（2）求使)()(x g x f ≤恒成立的实数a 的取值范围； （3）当81a =时，是否存在实数m ，使得方程0)(4)(f 3=++x g m xx 有三个不等实根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、单项选择1、D2、B3、B4、 B5、C6、D7、C8、C9、A 10、A 解：由y=x 2+1，得y′=2x ，∴y′|x=1=2，2sin 1sin θρθ=-x (1,0)M -l C ,A B l C ,MA MB ,MA MB ||||MA MB ⋅∴曲线y=x 2+1在点（1，2）处的切线l 的方程为：y ﹣2=2（x ﹣1）， 即2x ﹣y=0．又圆x 2+y 2+4x+3=0的标准方程为（x+2）2+y 2=1． 圆心坐标为（﹣2，0），半径为1，∴圆心到直线l 的距离为，则直线l 上的任意点P 与圆x 2+y 2+4x+3=0上的任意点Q 之间的最近距离是．11、A 因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令=3-3b=0，得=b ，显然b ＞0，∴x=±．又∵x ∈（0，1），∴0＜＜1.∴0＜b ＜1.故选A ．12、D 因为，所以时 f(x)是增函数，不恒成立，当a>0时，=0得x=lna ，易得f(x)在x=lna 处有最小值，要使恒成立，需使，即，所，设，易得函数在处有最大值，所以ab 的最大值为，故选D. 二、填空题 13、（0,1）因为，所以，当，得，所以函数的减区间是（0,1） 14、1+π)(a f ＝=.所以. 15、 (－∞，0)因为x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即'()f x 2x 2x b b ()xf x e a '=-0a ≤()0f x ≥()x f x e a '=-()0f x ≥(lna)0a alna b 0f ≥⇒--≥ln b a a a ≤-()2(1ln ),0ab a a a ≤->()2(1ln ),(0)g (a)a(12lna)0a g a a a a e '=->⇒=-=⇒=()g a a e =()2e g e =2e()ln f x x x =-'1()1,0f x x x =->'1()10f x x=-<01x <<0(2) asin x dx ⎰＋(2cos )(2cos )(0cos0)2cos 10ax x a a a a -=---=-+()2cos 11222f ππππ=⨯-+=+0)('=x f 有两个不等实根．13)(,)(2'3+=∴+=ax x f x ax x f .要使0)('=x f 有两个不等实根，则0a <. 16、3l -4n解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x ，y=3所围成的平面图形的面积：3ln 423ln 132)ln 3(2221)x 13(131131-=+--=--=⨯⨯+-=⎰x x dx S故答案为：3l -4n三、解答题17、解：设切点为，又， 所以切线斜率为，则曲线在点的切线方程为． 又在切线上，于是就有，即，解得或； 当时，切点就是，切线为； 当时，切点就是，切线斜率为，切线为．18、【答案】（1），，；（2）．解：（1）由得．从而的直角坐标方程为，即．)2,(3000x x x P -232x y -='2032|0x y x x -='=P ))(32()2(020300x x x x x y --=--)1,1(A )1)(32()2(1020300x x x x --=--01322030=+-x x 10=x 210-=x 10=x )1,1(A 02=-+y x 210-=x )87,21(--P 45|21='-=x y 0145=--y x时，，所以．时，，所以．（2）点的直角坐标为（2，0），点的直角坐标为．所以点的直角坐标为，则点的极坐标为．所以直线的极坐标方程为19、 解：（Ⅰ）过点F 作AD FH //，交PA 于H ,连接BH ,因为PD PF 31=，所以BC AD HF ==31.又AD FH //，BC AD //，所以BC HF //. 所以BCFH 为平行四边形, 所以BH CF //.又⊂BH 平面PAB ，⊄CF 平面PAB ,（一个都没写的，则这1分不给） 所以//CF 平面PAD .（Ⅱ）因为梯形ABCD 中，AB AD BC AD ⊥,//，,所以AB BC ⊥.因为⊥PB 平面ABCD ，所以BC PB AB PB ⊥⊥,,如图，以B 为原点，BP BA BC ,,所在直线为z y ,,x 轴建立空间直角坐标系,所以)3,0,0(),0,3,0(),0,3,3(),0,0,1(P A D C .设平面BPD 的一个法向量为),,(z y x n =→，平面APD 的一个法向量为),,(m c b a =→,因为)3,0,0(),3,3,3(=-=→→BP PD 所以⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙→→→→0n n BP PD ，即⎩⎨⎧==-+03033x 3z z y ，取1x =得到)0,1,1(n -=→,同理可得)1,1,0(m =→, 所以21,c ->=<→→m n os , 因为二面角A PD B --为锐角，所以二面角A PD B --为3π. （Ⅲ）假设存在点M ，设)3,3,3(λλλλ-==→→PD PM ， 所以)33,3,31(λλλλ-+-=+=→→→PM CP CM , 所以0)33(39=-+-=∙→→λλCM PA ，解得21=λ, 所以存在点M ，且23321==PD PM . 20、解:（1）直线的极坐标方程， 曲线普通方程（2）将代入得，21、解：由题意，销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件， ∴38091013a48011⨯-⨯+-+=，解得158a -=，故)41(80101158160y 2<<-+--=x x x x x ；商场每日销售该商品所获得的利润为)41)(8010)(1x )158160()()1()(g 2<<--+-=-=x x x x x f x x （，)2)(4(30)(g '--=x x x ．列表得',,x y y 的变化情况：x），（21 2），（42)(g 'x +﹣ )(x g单调递增 极大值42单调递减由上表可得，2=x 是函数)(f x ）在区间），（41内的极大值点，也是最大值点，此时42)(g =x 元．l 2cos()14πρθ+=-C 2x y =21222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2x y =23220t t -+=2||||||21==⋅t t MB MA22、（1）1ln )(f '+=x x ，由e x x 10)(f '>>得， 0)(f '<x 得e1x 0<<， ∴)(f x 在)e 10，（单调递减，在),e 1+∞单调递增，--------------3分 )(f x 的极小值点为1x e =.-------------------------4分（2）方法1：由)()(f x g x ≤得)0(ln x 2>-≤x x ax x ， 1ln a +≥∴x x ，令1ln )(h --=x ax x ，则xax x a x 11)(h '-=-=， ⅰ）当0a ≤时，0)(h '<x ，)(h x 在），（∞+0单调递减，)(h x 无最小值，舍去；ⅱ）当0a >时， 由0)(h '>x 得,1x a >，0)(h '<x 得ax 10<<， ∴)(h x 在)a 10，（单调递减，在),a 1+∞（单调递增，na ah x l 1()(h min ==∴）， 只须0l ≥na ，即1a ≥， 当1a ≥时)()(f x g x ≤恒成立. 8分方法2：由)()(f x g x ≤得)0(ln x 2>-≤x x ax x ，1ln a +≥∴x x ，即x x 1ln a +≥对任意0x >恒成立，令x x 1ln h(x)+=，2'ln )(h x x x -=， 由0)x h '>（得1x 0<<，0)(h '<x 得1x >，)(h x ∴在），（10单调递增，在），（∞+1单调递减，1)1()(h max ==∴h x ， 1a ≥，当1a ≥时)()(f x g x ≤恒成立. 8分 （3）假设存在实数m ,使得方程0)(4)(f 3=++x g m xx 有三个不等实根， 即方程088l 62=-++x x m nx 有三个不等实根，令x x m nx 88l 6)x 2-++=（φ，xx x x x x )1)(3(2)34x 282x 6x 2--=+-=-+=（）（‘φ，由0)x >（’φ得1x 0<<或3x >，由0)x <（’φ得3x 1<<，）（x φ∴在），（10上单调递增，），（31上单调递减，），（∞+3上单调递增，）（x φ∴的极大值为m 87-1+=）（φ，)x （φ的极小值为m n 83l 615-3++=）（φ. 要使方程088l 62=-++x x m nx 有三个不等实根，则函数)x （φ的图象与x 轴要有三个交点， -------------------10分根据)x (φ的图像可知必须满足⎩⎨⎧<++->+083ln 6150m 87-m ，解得3ln 43815m 87-<<， 存在实数m ，使得方程0)(4)(f 3=++x g m x x 有三个不等实根， 实数m 的取值范围是3ln 4381587-<<m . 12分。