华中科大疲劳断裂课后习题答案全解全析
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则由应力或应变较高的局部开始，形成损伤并逐渐积累，导致破坏发生。 3) 疲劳破坏是在足够多次的扰动载荷作用之后，形成裂纹或者完全断裂。 4) 疲劳是一个发展过程。疲劳裂纹萌生和扩展，是这一发展过程中不断形成的损伤积累的
结果。最后的断裂，标志着疲劳过程的终结。
1-2 答：典型的疲劳破坏断口的特征：有裂纹源、疲劳裂纹扩展区和最后断裂区三部分；裂纹扩展 区断面较光滑，通常有“海带条带”和/或腐蚀痕迹；裂纹源通常在高应力局部或材料缺陷处； 无明显的塑性变形。但是静载破坏的断口是：粗糙、新鲜、无表面磨蚀及腐蚀痕迹。
疲劳与断裂课后习题全解
习题和答案
第一章
1-1 答：根据 ASTM E206—72 中所作的定义有：在某点或者某些点承受扰动应力，且在足够多的循 环扰动作用之后形成裂纹或完全断裂的材料中所发生的局部的、永久结构变化的发展过程，称 为疲劳。
根据上述定义，疲劳具有下述特征： 1) 只有在承受扰动应力作用的条件下，疲劳才会发生。 2) 疲劳破坏起源于高应力或者高应变的局部。静载下的破坏，取决于结构整体；疲劳破坏
0
0.06
0.10
0.20
0.39
0.52
0.62
将以上数据在坐标纸中标出数据点，并作出 Goodman 曲线。
2-6 解： Miner 理论：构件在应力水平 Si 下作用 ni 次循环下的损伤为 Di=ni/Ni。若在 k 个应力水平
Si 作用下，各经受 ni 次循环，则可定义其总损伤为：
∑ ∑ k
C = (0.9Su )11.8 ×103 = (0.9 × 430)11.8 ×103 = 3.4276 ×1033
代入（2）式，得：
lg S = 2.84 − 0.08lg N
（a）
对于 B 组情况： Su = 715 MPa 则有：
C = (0.9Su )11.8 ×103 = (0.9 × 715)11.8 ×103 = 1.383×1036 代入（2）式，得：
下的寿命，在要预测另一类似构件在相似谱作用下的疲劳寿命时，不再假定其损伤和为 1，而是 将 Miner 累积损伤式作为一种传递函数。
相对 Miner 理论的实质是取消损伤和 D=1 的假定，由实验或过去的经验确定 Q，并由此估 算寿命。
Miner 线性累积损伤理论主要解决在不同的实际载荷谱条件下判断构件寿命的问题。
疲劳破坏断口，即使是延性材料，也没有明显的塑性变形。但是静载破坏表面的塑性变形 很明显。
1-3 答：在失效分析过程中，疲劳断口可以提供很多的信息：例如，首先观察断口的宏观形貌，由 是否存在着裂纹源、裂纹扩展区及瞬断区等三个特征区域，判断是否为疲劳破坏；若为疲劳破 坏，则可由裂纹扩展区的大小，判断破坏时的裂纹最大尺寸；进而可利用断裂力学方法，由构 件几何及最大裂纹尺寸估计破坏载荷，判断破坏是否在正常工作载荷状态下发生；还可以观察 裂纹起源的位置在何处。
在循环应力过程中引入残余压应力，可以降低实际的循环应力水平，从而降低 sm ，这样可 以达到提高疲劳寿命的目的。
1-5
解： ∆S = Smax − Smin = 200 − 50 = 150 MPa，
Sa
=
∆S 2
=
75
MPa，
Sm
=
Smax
+ Smin 2
=
200 + 50 2
= 125
MPa，
R = Smin = 50 = 0.25 。 Smax 200
-3-
Sa(MPa)
400 350 300 250 200 150 100
2
疲劳与断裂课后习题全解
Sa(R=0)= -39.96LgN+408.73 Sa(R=-1)= -73.24LgN+624.72
原 原 原 原 R=0 原 原 原 原 R=-1 拟 拟 R=0 拟 拟 R=-1
3
4
5
6
7
8
9
疲劳与断裂课后习题全解
循环 变程 均值 ANA’ 10 0 BCB’ 2 3 DGD’ 5 1.5 HKH’ 5 0.5 LML’ 3 -2.5 EFE’ 1 1.5 IJI’ 2 1
m=
3 lg(0.9
＝11.752 0.5)
；
C = (0.5Su )m ×106 = (0.5× 700)11.752 ×106 = 7.905×1035 3)循环应力水平等寿命转换 为了利用基本 S—N 曲线估计疲劳寿命，需要将实际工作循环应力水平等寿命地转换为对 称循环 (R = −1, Sm = 0) 下的应力水平 Sa(R=−1) ，由 Goodman 方程有：
-7-
疲劳与断裂课后习题全解
Sa + Sm = 1
S S a(R=−1)
u
可解出： Sa(R=−1) = 430.77MPa
4)估计构件寿命
对称循环 (Sa(R=−1) = 430.77MPa, Sm = 0) 条件下的寿命，可由基本 S—N 曲线得到，即
N = C S m = 7.905×1035 430.7711.752 = 87146次 由于工作循环应力水平(Sa=280，Sm=245)与转换后的对称循环(Sa=430.77，Sm=0)是等寿命 的，故可估计构件寿命为 N=87146 次循环。
2-5 解：由上表得：
S−1 = 420 MPa 已知：
-5-
疲劳与断裂课后习题全解
Sm
=
Smax
+ 2
Smin
， Sa
=
Smax
− 2
Smin
对上表进行数据处理，求得各自得 Sa / S−1 以及 S m / Su 得：
Sa / S−1
1
1.02
0.94
0.97
0.80
0.59
0.42
S m / Su
历程为止。 将上述雨流计数的结果列入一个包含循环、变程和均值的表中，确定循环参数。载荷如果
是应力，则表中所给出的变程是∆S，应力幅则为 Sa=∆S/2，平均应力 Sm 即表中均值。雨流计数 是二参数计数。有了上述二个参数，循环就完全确定了。与其他计数法相比，简化雨流计数法 的另一优点是，计数的结果均为全循环。典型段计数后，其后的重复只需考虑重复次数即可。
LgN
2-4 解：计算出各 lgS 和 lgN，列于下表：
A
B
Su = 430 MPa
Su = 715 MPa
lg Sa
lg N f
lg Sa
lg N f
2.35
4.65
2.76
4.64
2.33
5.38
2.72
4.93
2.29
5.90
2.70
5.15
2.26
6.18
2.66
5.80
2.25
6.43
2.64
D = Di = ni Ni
1
破坏准则为：
（i=1,2,..k，)
∑ D = ni N i = 1
这就是 Miner 线性累积损伤理论。其中，ni 是在 Si 作用下的循环次数，由载荷谱给出；Ni 是在
Si 作用下循环到破坏的寿命，由 S—N 曲线确定。 相对 Miner 线性累积损伤理论：根据过去的使用经验或试验，已知某构件在其使用载荷谱
雨流计数法得到的是一个载荷谱，这和现实之中的载荷很相近，并且最后可以用 Miner 线 性累积损伤理论来分析计算。
2-8
解：1)由题目条件知工作的循环应力幅和平均应力：
Sa= (Smax− Smin ) 2= (525 + 35) 2
= 280MPa
Sm
= (Smax
+ Smin ) 2
= (525 − 35) 2
再利用金相显微镜或低倍电子显微镜，可对裂纹源进行进一步观察和确认，并且判断是否 因为材料缺陷所引起，缺陷的类型和大小若何。
由宏观“海滩条带”和微观“疲劳条纹”数据，结合构件使用载荷谱分析，还可能估计裂纹扩 展速率。
-1-
疲劳与断裂课后习题全解
1-4 答：根据疲劳问题的特点，疲劳破坏起源于高应力或者高应变的局部。提高表面的光洁度，即 可以减少结构整体的应力集中的可能性。这样就可以减少高应力和高应变的区域。
200 Sa/MPa 200
N=10 6
N=10 7 200
400 S m/MPa
1.0 S6 m0 a0 x/MPa 400 200
-400 -200
0
200 400 600
S min/MPa
图2.9 7075-T6 铝合金等寿命疲劳图
根据图形可以得到 R=0 的时候（Sa，lgN）的四个坐标（133.3，7），（167，6），（200，5）， （255.5，4）；在 R=－1 有（Sa，lgN）为（133，7），（166，6），（233.3，5），（355，4）四个点。 根据最小二乘法得到的拟合曲线如下图。
-4-
C
Su = 1260 MPa
lg Sa
lg N f
2.89
4.38
2.87
4.49
2.85
4.65
2.84
4.94
2.82
5.18
2.81
8
C = (0.9Su )11.8 ×103
疲劳与断裂课后习题全解
或者： C = (0.5Su )11.8 ×106
（3）
对于 A 组情况： Su = 430 MPa 则有：
= 245MPa
2)估计对称循环下的基本 S—N 曲线：
由(2-7)式，弯曲循环应力作用时，可估计疲劳极限为：
S f (tension) = 0.5Su = 350MPa
若基本 S—N 曲线用幂函数式 SmN=C 表达，利用 S106 = 0.9Su 和 S103 = 0.5Su 式之假设，则由 下式有：
-2-
第二章
疲劳与断裂课后习题全解
2-1 解：由题意可知： f = 20HZ ，要施加106 次循环需要：
t = 106 = 13.889小时 。 20× 3600
2-2 解：由图中可以得到：
a） Smax = 380 MPa， Smin = 80 MPa， Sa = 160 MPa， Sm = 230 MPa。
1-6 解： ∆S = 2Sa = 200 MPa，
Smax − Smin = ∆S = 200 MPa…………（a） R = Smin / Smax = 0.2 ……………………（b） 结合(a)、(b)两式，计算得到： Smax = 250 MPa， Smin = 50 MPa， 则： Sm = (Smax + Smin ) / 2 = (250 + 50) / 2 = 150 MPa。
b） Smax = 340 MPa， Smin = −130 MPa， Sa = 230 MPa， Sm = 100 Mpa。
2-3
解：由 7075－T6 铝合金的等疲劳寿命图为：
R -.6 -.4 -.2 0 .2 .4 .6 .8
S max/MPa
600
N=10 4
N=10 5
600
400 400
lg S = 3.06 − 0.08lg N
（b）
对于 C 组情况： Su = 1260 MPa 则有：
C = (0.9Su )11.8 ×103 = (0.9 ×1260)11.8 ×103 = 1.108×1039 代入（2）式，得：
lg S = 3.31− 0.08lg N
（c）
将 a、b、c 三式在坐标纸上标出，见下图。
2-9 解：根据已知得 S－N 曲线得到不同 Smax 下的寿命，见下表：
则：
Smaxi /MPa 工作循环 Ni /106 次
500 0.232
400 0.453
300 1.074
a）根据： D = λ∑ ni Ni
得： λ = D / ∑ ni Ni
λ = 1/( 0.01 + 0.03 + 0.1 + 0.5 ) = 2.94 0.232 0.453 1.074 3.625
b）由相对 Miner 理论可得：
∑(
ni Ni
)
B
∑ ( ni )
=
λ λ'
=
2.94 5
Ni
又因为
S3 max
N
=
2.9 ×1013
=
Const
上式可写成：
S' 3 max
S3 max
=
2.94 5
得：
S' max
=
0.838Smax
=
419
MPa
-8-
200 3.625
2-10 解：计数结果如下。
6.28
2.23
6.89
2.62
6.46
2.22
7.41
2.61
6.87
假设： S103 = 0.9Su ， S106 = 0.5Su ，
S－N 曲线表达式为：
SmiN = C
对（1）式两边取对数有：
lg S = 1 lg C − 1 lg N
m
m
结合上面的式子，可以得到：
（1） （2）
m = 3 / lg(0.9 / 0.5) = 11.8
-6-
疲劳与断裂课后习题全解
2-7 解：简化雨流计数方法如下： a) 由随机载荷谱中选取适于雨流计数的、最大峰或谷处起止的典型段，作为计数典型段 b) 将谱历程曲线旋转 90 度放置。将载荷历程看作多层屋顶，假想有雨滴沿最大峰或谷处开始
往下流。若无屋顶阻挡，则雨滴反向，继续流至端点，得到一个雨流的路径。 c) 记下雨滴流过的最大峰、谷值，作为一个循环。确定循环参量、载荷变程和平均载荷。 d) 从载荷历程中删除雨滴流过的部分，对各剩余历程段，重复上述雨流计数，直至再无剩余
结果。最后的断裂，标志着疲劳过程的终结。
1-2 答：典型的疲劳破坏断口的特征：有裂纹源、疲劳裂纹扩展区和最后断裂区三部分；裂纹扩展 区断面较光滑，通常有“海带条带”和/或腐蚀痕迹；裂纹源通常在高应力局部或材料缺陷处； 无明显的塑性变形。但是静载破坏的断口是：粗糙、新鲜、无表面磨蚀及腐蚀痕迹。
疲劳与断裂课后习题全解
习题和答案
第一章
1-1 答：根据 ASTM E206—72 中所作的定义有：在某点或者某些点承受扰动应力，且在足够多的循 环扰动作用之后形成裂纹或完全断裂的材料中所发生的局部的、永久结构变化的发展过程，称 为疲劳。
根据上述定义，疲劳具有下述特征： 1) 只有在承受扰动应力作用的条件下，疲劳才会发生。 2) 疲劳破坏起源于高应力或者高应变的局部。静载下的破坏，取决于结构整体；疲劳破坏
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0.06
0.10
0.20
0.39
0.52
0.62
将以上数据在坐标纸中标出数据点，并作出 Goodman 曲线。
2-6 解： Miner 理论：构件在应力水平 Si 下作用 ni 次循环下的损伤为 Di=ni/Ni。若在 k 个应力水平
Si 作用下，各经受 ni 次循环，则可定义其总损伤为：
∑ ∑ k
C = (0.9Su )11.8 ×103 = (0.9 × 430)11.8 ×103 = 3.4276 ×1033
代入（2）式，得：
lg S = 2.84 − 0.08lg N
（a）
对于 B 组情况： Su = 715 MPa 则有：
C = (0.9Su )11.8 ×103 = (0.9 × 715)11.8 ×103 = 1.383×1036 代入（2）式，得：
下的寿命，在要预测另一类似构件在相似谱作用下的疲劳寿命时，不再假定其损伤和为 1，而是 将 Miner 累积损伤式作为一种传递函数。
相对 Miner 理论的实质是取消损伤和 D=1 的假定，由实验或过去的经验确定 Q，并由此估 算寿命。
Miner 线性累积损伤理论主要解决在不同的实际载荷谱条件下判断构件寿命的问题。
疲劳破坏断口，即使是延性材料，也没有明显的塑性变形。但是静载破坏表面的塑性变形 很明显。
1-3 答：在失效分析过程中，疲劳断口可以提供很多的信息：例如，首先观察断口的宏观形貌，由 是否存在着裂纹源、裂纹扩展区及瞬断区等三个特征区域，判断是否为疲劳破坏；若为疲劳破 坏，则可由裂纹扩展区的大小，判断破坏时的裂纹最大尺寸；进而可利用断裂力学方法，由构 件几何及最大裂纹尺寸估计破坏载荷，判断破坏是否在正常工作载荷状态下发生；还可以观察 裂纹起源的位置在何处。
在循环应力过程中引入残余压应力，可以降低实际的循环应力水平，从而降低 sm ，这样可 以达到提高疲劳寿命的目的。
1-5
解： ∆S = Smax − Smin = 200 − 50 = 150 MPa，
Sa
=
∆S 2
=
75
MPa，
Sm
=
Smax
+ Smin 2
=
200 + 50 2
= 125
MPa，
R = Smin = 50 = 0.25 。 Smax 200
-3-
Sa(MPa)
400 350 300 250 200 150 100
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疲劳与断裂课后习题全解
Sa(R=0)= -39.96LgN+408.73 Sa(R=-1)= -73.24LgN+624.72
原 原 原 原 R=0 原 原 原 原 R=-1 拟 拟 R=0 拟 拟 R=-1
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疲劳与断裂课后习题全解
循环 变程 均值 ANA’ 10 0 BCB’ 2 3 DGD’ 5 1.5 HKH’ 5 0.5 LML’ 3 -2.5 EFE’ 1 1.5 IJI’ 2 1
m=
3 lg(0.9
＝11.752 0.5)
；
C = (0.5Su )m ×106 = (0.5× 700)11.752 ×106 = 7.905×1035 3)循环应力水平等寿命转换 为了利用基本 S—N 曲线估计疲劳寿命，需要将实际工作循环应力水平等寿命地转换为对 称循环 (R = −1, Sm = 0) 下的应力水平 Sa(R=−1) ，由 Goodman 方程有：
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疲劳与断裂课后习题全解
Sa + Sm = 1
S S a(R=−1)
u
可解出： Sa(R=−1) = 430.77MPa
4)估计构件寿命
对称循环 (Sa(R=−1) = 430.77MPa, Sm = 0) 条件下的寿命，可由基本 S—N 曲线得到，即
N = C S m = 7.905×1035 430.7711.752 = 87146次 由于工作循环应力水平(Sa=280，Sm=245)与转换后的对称循环(Sa=430.77，Sm=0)是等寿命 的，故可估计构件寿命为 N=87146 次循环。
2-5 解：由上表得：
S−1 = 420 MPa 已知：
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疲劳与断裂课后习题全解
Sm
=
Smax
+ 2
Smin
， Sa
=
Smax
− 2
Smin
对上表进行数据处理，求得各自得 Sa / S−1 以及 S m / Su 得：
Sa / S−1
1
1.02
0.94
0.97
0.80
0.59
0.42
S m / Su
历程为止。 将上述雨流计数的结果列入一个包含循环、变程和均值的表中，确定循环参数。载荷如果
是应力，则表中所给出的变程是∆S，应力幅则为 Sa=∆S/2，平均应力 Sm 即表中均值。雨流计数 是二参数计数。有了上述二个参数，循环就完全确定了。与其他计数法相比，简化雨流计数法 的另一优点是，计数的结果均为全循环。典型段计数后，其后的重复只需考虑重复次数即可。
LgN
2-4 解：计算出各 lgS 和 lgN，列于下表：
A
B
Su = 430 MPa
Su = 715 MPa
lg Sa
lg N f
lg Sa
lg N f
2.35
4.65
2.76
4.64
2.33
5.38
2.72
4.93
2.29
5.90
2.70
5.15
2.26
6.18
2.66
5.80
2.25
6.43
2.64
D = Di = ni Ni
1
破坏准则为：
（i=1,2,..k，)
∑ D = ni N i = 1
这就是 Miner 线性累积损伤理论。其中，ni 是在 Si 作用下的循环次数，由载荷谱给出；Ni 是在
Si 作用下循环到破坏的寿命，由 S—N 曲线确定。 相对 Miner 线性累积损伤理论：根据过去的使用经验或试验，已知某构件在其使用载荷谱
雨流计数法得到的是一个载荷谱，这和现实之中的载荷很相近，并且最后可以用 Miner 线 性累积损伤理论来分析计算。
2-8
解：1)由题目条件知工作的循环应力幅和平均应力：
Sa= (Smax− Smin ) 2= (525 + 35) 2
= 280MPa
Sm
= (Smax
+ Smin ) 2
= (525 − 35) 2
再利用金相显微镜或低倍电子显微镜，可对裂纹源进行进一步观察和确认，并且判断是否 因为材料缺陷所引起，缺陷的类型和大小若何。
由宏观“海滩条带”和微观“疲劳条纹”数据，结合构件使用载荷谱分析，还可能估计裂纹扩 展速率。
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疲劳与断裂课后习题全解
1-4 答：根据疲劳问题的特点，疲劳破坏起源于高应力或者高应变的局部。提高表面的光洁度，即 可以减少结构整体的应力集中的可能性。这样就可以减少高应力和高应变的区域。
200 Sa/MPa 200
N=10 6
N=10 7 200
400 S m/MPa
1.0 S6 m0 a0 x/MPa 400 200
-400 -200
0
200 400 600
S min/MPa
图2.9 7075-T6 铝合金等寿命疲劳图
根据图形可以得到 R=0 的时候（Sa，lgN）的四个坐标（133.3，7），（167，6），（200，5）， （255.5，4）；在 R=－1 有（Sa，lgN）为（133，7），（166，6），（233.3，5），（355，4）四个点。 根据最小二乘法得到的拟合曲线如下图。
-4-
C
Su = 1260 MPa
lg Sa
lg N f
2.89
4.38
2.87
4.49
2.85
4.65
2.84
4.94
2.82
5.18
2.81
8
C = (0.9Su )11.8 ×103
疲劳与断裂课后习题全解
或者： C = (0.5Su )11.8 ×106
（3）
对于 A 组情况： Su = 430 MPa 则有：
= 245MPa
2)估计对称循环下的基本 S—N 曲线：
由(2-7)式，弯曲循环应力作用时，可估计疲劳极限为：
S f (tension) = 0.5Su = 350MPa
若基本 S—N 曲线用幂函数式 SmN=C 表达，利用 S106 = 0.9Su 和 S103 = 0.5Su 式之假设，则由 下式有：
-2-
第二章
疲劳与断裂课后习题全解
2-1 解：由题意可知： f = 20HZ ，要施加106 次循环需要：
t = 106 = 13.889小时 。 20× 3600
2-2 解：由图中可以得到：
a） Smax = 380 MPa， Smin = 80 MPa， Sa = 160 MPa， Sm = 230 MPa。
1-6 解： ∆S = 2Sa = 200 MPa，
Smax − Smin = ∆S = 200 MPa…………（a） R = Smin / Smax = 0.2 ……………………（b） 结合(a)、(b)两式，计算得到： Smax = 250 MPa， Smin = 50 MPa， 则： Sm = (Smax + Smin ) / 2 = (250 + 50) / 2 = 150 MPa。
b） Smax = 340 MPa， Smin = −130 MPa， Sa = 230 MPa， Sm = 100 Mpa。
2-3
解：由 7075－T6 铝合金的等疲劳寿命图为：
R -.6 -.4 -.2 0 .2 .4 .6 .8
S max/MPa
600
N=10 4
N=10 5
600
400 400
lg S = 3.06 − 0.08lg N
（b）
对于 C 组情况： Su = 1260 MPa 则有：
C = (0.9Su )11.8 ×103 = (0.9 ×1260)11.8 ×103 = 1.108×1039 代入（2）式，得：
lg S = 3.31− 0.08lg N
（c）
将 a、b、c 三式在坐标纸上标出，见下图。
2-9 解：根据已知得 S－N 曲线得到不同 Smax 下的寿命，见下表：
则：
Smaxi /MPa 工作循环 Ni /106 次
500 0.232
400 0.453
300 1.074
a）根据： D = λ∑ ni Ni
得： λ = D / ∑ ni Ni
λ = 1/( 0.01 + 0.03 + 0.1 + 0.5 ) = 2.94 0.232 0.453 1.074 3.625
b）由相对 Miner 理论可得：
∑(
ni Ni
)
B
∑ ( ni )
=
λ λ'
=
2.94 5
Ni
又因为
S3 max
N
=
2.9 ×1013
=
Const
上式可写成：
S' 3 max
S3 max
=
2.94 5
得：
S' max
=
0.838Smax
=
419
MPa
-8-
200 3.625
2-10 解：计数结果如下。
6.28
2.23
6.89
2.62
6.46
2.22
7.41
2.61
6.87
假设： S103 = 0.9Su ， S106 = 0.5Su ，
S－N 曲线表达式为：
SmiN = C
对（1）式两边取对数有：
lg S = 1 lg C − 1 lg N
m
m
结合上面的式子，可以得到：
（1） （2）
m = 3 / lg(0.9 / 0.5) = 11.8
-6-
疲劳与断裂课后习题全解
2-7 解：简化雨流计数方法如下： a) 由随机载荷谱中选取适于雨流计数的、最大峰或谷处起止的典型段，作为计数典型段 b) 将谱历程曲线旋转 90 度放置。将载荷历程看作多层屋顶，假想有雨滴沿最大峰或谷处开始
往下流。若无屋顶阻挡，则雨滴反向，继续流至端点，得到一个雨流的路径。 c) 记下雨滴流过的最大峰、谷值，作为一个循环。确定循环参量、载荷变程和平均载荷。 d) 从载荷历程中删除雨滴流过的部分，对各剩余历程段，重复上述雨流计数，直至再无剩余