贵州省遵义市2019-2020学年高二下学期期末2份数学学业质量监测试题

同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若角α是第四象限角，满足1
sin cos 5
αα+=-
，则sin 2α=（ ） A ．
2425
B ．2425
-
C ．
1225
D ．1225
-
2．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人
B ．4人
C ．7人
D ．12人
3．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到的数据如下表所示．由表中数
据求得y 关于x 的回归方程为0.6ˆ5ˆy
x a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线上方的概率为（ ）
x
4 6 8 10 12
y
1 2 2.9
5 6.1
A ．
5 B ．
5 C ．
5
D ．无法确定
4．甲乙丙丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说:“乙、丁都未获奖.”乙说：“是甲或丙获奖.”丙说：“是甲获奖.”丁说：“是乙获奖.”四人所说话中只有两位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．复数()()32i i ++的实部与虚部分别为（ ） A ．5，5 B ．5，5i
C ．7，5
D ．7，5i
6．已知
是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方程
()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1(,0)4
-
B ．1(,0)3
-
C ．1(,0)2
-
D ．(1,0)-
7．有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ） A ．144
B ．216
C ．288
D ．432
8．抛物线2y 4x =-上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．17-
B ．15-
C ．
17 D ．
15
OA OB ⋅的值是
A ．
34
B ．34
-
C ．3
D ．-3
10．知
1
1617a =，16log b =17log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >>
11．利用数学归纳法证明“
1111
212233
n n n ++⋯+>++ (2n ≥且)
*n N ∈”的过程中，由假设“n k =”成立，推导“1n k =+”也成立时，该不等式左边的变化是（ ）
A ．增加
1
33k + B ．增加111
313233k k k +++++ C ．增加133
k +并减少11
2122k k +++ D ．增加111313233
k k k +++++并减少11
2122k k +++ 12．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，则异面直线PB 与AC 所成的角是（ ） A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30
二、填空题：本题共4小题 13．定积分
2
1
1
dx x
⎰
的值等于________. 14．,,x y z ∈R ，若()()()2
2
2
1112x y z -+-++=，则x y z ++的最大值为______.
15．不等式
1
2x
<的解集是_________. 16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 满足3sin 2sin 2A A =，且2sin sin B C =，则sin sin()
A
A C +的值为
________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．盒子中放有大小形状完全相同的10个球，其中4个红球，6个白球. （1）某人从这盒子中有放回地随机抽取3个球，求至少抽到1个红球的概率；
（2）某人从这盒子中不放回地从随机抽取3个球，记每抽到1个红球得红包奖励20元，每抽到1个白球得到红包奖励10元，求该人所得奖励ξ的分布列和数学期望.
18．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布(
)2
,N μσ
，其中μ近似为样本平均数x ，
2σ近似为样本方差2s .
（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；
（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间
()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .
附：15012.2≈ 若(
)2
~,Z N μσ
则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．
19．（6分）如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中, 1. 1.2,4,AC BC AC BC AA ⊥=== M 为侧面11AA CC 的对角线的交点, D E 、分别为棱,AB BC 的中点.
(1)求证:平面MDE //平面11A BC ； (2)求二面角C ME D --的余弦值.
20．（6分）（1）已知矩阵10a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2λ=-，其对应的特征向量12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求矩阵A 及
它的另一个特征值.
（2）在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：πsin 33ρθ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
的最小距离.
21．（6分）（1）已知复数z 满足z =，2z 的虚部为8，求复数z ；
（2）求曲线()x
f x e =、直线2x =及两坐标轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得几何体的体积.
22．（8分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1
3
，各局比赛结果相互独立. 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
由题意利用任意角同角三角函数的基本关系，求得sin2α的值． 【详解】
解：∴角α满足1sin cos 5αα+=-，平方可得 1+sin2125α=，∴sin224
25
α=-， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 2．B 【解析】 【分析】
根据分层抽样原理求出应抽取的管理人数． 【详解】
根据分层抽样原理知，应抽取管理人员的人数为：
16010424
204160
--⨯
=
故选：B
本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题． 3．B 【解析】 【分析】
求出样本的中心点，计算出a ，从而求出回归直线方程，5个点中落在回归直线上方的有三个，算出概率即可。

【详解】
由题可得8x =， 3.4y =
因为线性回归方程过样本中心点，所以3.40.658ˆa
=⨯+，所以 1.8a =-， 所以0.65.8ˆ1y
x =-， 故5个点中落在回归直线上方有()4,1 ，()105，
，()12,6.1，共3个，所以概率为3
5
. 故选B. 【点睛】
本题考查线性回归方程和古典概型，解题的关键是求出线性回归方程，属于一般题。

4．C 【解析】 【分析】
本题利用假设法进行解答.先假设甲获奖，可以发现甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；然后依次假设乙、丙、丁获奖，结合已知，选出正确答案. 【详解】
解:若是甲获奖，则甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；若是乙获奖，则丁所说的话是真话，不合题意；若是丙获奖，则甲乙所说的话是真话，符合题意；若是丁获奖，则四人所说的话都是假话，不合题意.故选C. 【点睛】
本题考查了的数学推理论证能力，假设法是经常用到的方法. 5．A 【解析】
分析：化简即可得复数的实部和虚部. 详解：()()2
326555i i i i i ++=++=+
∴复数()()32i i ++的实数与虚部分别为5，5.
点睛：复数相关概念与运算的技巧
(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．
(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．
(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程． 6．B 【解析】 【分析】 【详解】 由已知，函数
在区间[]
1,3-的图象如图所示，直线y 1kx k =++（k R ∈且1k ≠-）表示过定点
()1,1-的直线，为使关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，即直线
1y kx k =++与函数
的图象有4个不同的交点.
结合图象可知，当直线1y kx k =++介于直线12
33
y x =-+和直线1y =之间时，符合条件， 故选B .
考点：函数的奇偶性、周期性，函数与方程，直线的斜率，直线方程. 7．D 【解析】
先排与老师相邻的:11233218C C A = ,再排剩下的：4
4A ,所以共有4418432A = 种排法种数，选D.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 8．B 【解析】
由抛物线方程化标准方程为2
14
x y =-，再由焦半径公式12M p
PF y =-=，可求得M y 。

【详解】 抛物线为2
14
x y =-，由焦半径公式11216M M p PF y y =-=-=，得15
16M y =-。

选B.
【点睛】
抛物线焦半径公式：
抛物线2
2(0)y px p =>，的焦半径公式2P p
PF x =+。

抛物线22(0)y px p =->，的焦半径公式2P p
PF x =-+。

抛物线22(0)x py p =>，的焦半径公式2P p
PF y =+。

抛物线22(0)x py p =>，的焦半径公式2
P p
PF y =-+。

9．B 【解析】
抛物线的焦点为1(,0)2,当直线l 与x 轴垂直时，11(,1),(,1)22
A B -, 所以1131224
OA OB ⋅=⨯-=- 10．A 【解析】
由题易知：117
16171111171log log 171log log 1602222a b c ⎛⎫⎛⎫
=>==
∈==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，，∴a b c >> 故选A
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 11．D 【解析】 【分析】
由题写出n k =时的表达式和1n k =+的递推式，通过对比，选出答案 【详解】
n k =时，不等式为
11111
2+1222333
k k k k +++⋯+>++
1n k =+时，不等式为
1111111
232433132333
k k k k k k ++⋯++++>+++++，增加111313233
k k k +++++并减少
11
2122k k +++. 故选D. 【点睛】
用数学归纳法写递推式时，要注意从n k =到1n k =+时系数k 对表达式的影响，防止出错的方法是依次写出n k =和1n k =+的表达式，对比增项是什么，减项是什么即可 12．B 【解析】 【分析】
底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM ∠就是异面直线PB 与AC 所成的角. 【详解】
解：由题意：底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，
//,//PM AD AD PM .
∴PBCM 是平行四边形， ∴PB ∥CM ，
所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角. 设PA ＝AB ＝a ，在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a ===
∴三角形ACM 是等边三角形.
所以∠ACM 等于60°，即异面直线PB 与AC 所成的角为60°. 故选：B . 【点睛】
本题考查了两条异面直线所成的角的证明及求法.属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．ln1 【解析】
直接根据定积分的计算法则计算即可． 【详解】
2
211
1|2dx lnx ln x
==⎰
， 故答案为：ln1． 【点睛】
本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题． 14
1 【解析】 【分析】
均值不等式推广； 【详解】
=(1)+(1)+(1)111x y z x y z ++--++≤=
【点睛】
熟练掌握2
112a b a b
+≤≤
+ 。

15．()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】 由不等式1
2x <得120x -<，所以210x x ->，等价于(21)0x x ->，解之得所求不等式的解集. 【详解】 由不等式1
2x <得120x -<，即120x x -<，所以210x x
->，此不等式等价于 (21)0x x ->，解得0x <或12
x >
， 所以不等式的解集是：()
1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
， 故填：()1,0,2⎛⎫
-∞+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查分式不等式的解法，一般的步骤是：移项、通分、分解因式、把每个因式未知数的系数化成正、
16 【解析】 【分析】
利用二倍角公式得出3cos 4
A =，再利用正弦定理转化2sin sin
B
C =，后用余弦定理求得a
b ，再利
用正弦定理即可 【详解】
由3sin 2sin 2A A =得，()3sin 22sin cos A A A =，3
cos 4
A ∴=
2sin sin B C =，根据正弦定理可得，2b c =，
根据余弦定理()()2
222
2
2
23cos 2224
b b a b
c a
A bc b b +-+-===
a
b ∴=
()sin sin sin sin A A a
A C
B b
∴
===+【点睛】
本题考查解三角形中正弦定理进行边角转化，余弦定理求角，以及三角形中两角和正弦与第三角正弦的关系
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）
98
125
；（2）42元. 【解析】 【分析】
（1）分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，概率相加得到答案.
（2）随机变量ξ可能的取值为30,40,50,60，计算每个数对应概率，得到分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】
(1)记至少抽到1个红球的事件为A ,
法1：至少抽到1个红球的事件，分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，每次是否取得红球是相互独立的，且每次取到红球的概率均为
2
5
， 所以1
2
2
2
3
3
3332323298
()()()()()()555
55
125
P A C C C =++=
， 答：至少抽到1个红球的概率为98
125
.
法2：至少抽到1个红球的事件的对立事件为3次均没有取到红球（或3次均取到白球），
每次取到红球的概率均为
25（每次取到白球的概率均为35
）， 所以333398()1()5125
P A C =-= 答：至少抽到1个红球的概率为98125. (2) 由题意,随机变量ξ可能的取值为30,40,50,60
03463101(30)6C C P C ξ===，12463101(40)2C C P C ξ===，21463103(50)10
C C P C ξ===， 30463101(60)30
C C P C ξ===， 所以随机变量ξ的分布表为：
所以随机变量ξ的数学期望为3040506042621030
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=（元）. 【点睛】 本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力.
18．（I ）200,150；（II ）（i ）0.6826；（ii ）68.26．
【解析】
试题分析：（I ）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为12
的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II ）（i ）由已知得，Z ~
(200,150)N ，故()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数(100,0.6826)X B ~，故期望1000.682668.26EX =⨯=．
试题分析：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为
1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+2300.02⨯200=， 2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=． （II ）（i ）由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<
12.2)0.6826+=．
（ii ）由（i ）可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ~，所以1000.682668.26EX =⨯=．
【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的3σ原则；3、二项分布的期望．
19． (1)证明见解析；(2)85. 【解析】
【分析】
（1）利用线线平行证明平面MDE //平面1A BC ，
（2）以C 为坐标原点建系求解即可．
【详解】
（1）证明D E 、分别为边,AB BC 的中点，可得DE/ / AC , 又由直三棱柱可知侧面11A A C C 为矩形，可得11A /?
/?A?C C 故有11A /?/C DE ， 由直三棱柱可知侧面11A A C C 为矩形，可得M 为1A C 的中点，又由E 为BC 的中点，可得1A //B ME . 由DE ，ME ⊂平面MDE ，11A C ，1A B ⊂平面MDE ，得11A C / /平面MDE ，1A B / /平面MDE ，
11A C 1A B 1=A ，可得平面MDE / /平面11A BC .
（2）1CA CB,?
CC 、为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则()()()()1110,0,01,0,0,0,2,0,0,0,4,,0,2,,1,00,1,022C A B C M D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，（）， 111,1,2,,0,2,,0,0222ME CM ED ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 设平面CME 的一个法向量为()11,,,22022
m x y z x y z x z =-+-=+=则，取=-1z ，有4,0,(4,0,1)x y m ===-
同样可求出平面DME 的一个法向量(0,2,1)m =，
·cos ,8517m n m n m n 〈
〉===-， 结合图形二面角C ME D --的余弦值为85. 【点睛】
本题属于基础题，线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握，利用空间向量的夹角公式·cos ,m n m n m n
〈〉=求解二面角． 20．（1）31
202
λλ-+；2-；（2）1 . 【解析】
【分析】
（1）由矩阵运算A αλα⋅=⋅，代入可求得1λ=或2λ=-，即求得另一个特征值。

（2）由直角坐标与极
坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩
，实现直角坐标与极坐标的相互转化。

【详解】
（1）由A αλα⋅=⋅得：1112022a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，122,24,a b +=-⎧∴⎨=-⎩，3,22,
a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=-⎩ 矩阵A 的特征多项式为()31
202
f λλλ-=+， 令()0f λ=，得()()120λλ-+=，解得1λ=或2,λ=-
所以矩阵A 的另一个特征值为 2.-
（2）以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy
．
因为πsin 33ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1sin
32ρθθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
， 60.y -+=
将曲线C ：2ρ=化为普通方程，得224x y +=．
所以圆心()00O ，
到直线60l y -+=
的距离 3.d == 所以P 到直线l 的最小距离为2 1.d -=
【点睛】 直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩
，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。

21．（1）22z i =+或22z i =--；（2）
4(1)2e π-． 【解析】
分析：（1）设(),z a bi a b R =+∈，由已知条件得228a b +=，2222z a b abi =-+，再结合2z 的虚部为8，即可求出；
（2）本题要求的是一个旋转体的体积，看清组成图形的最主要的曲线，和组成图形的两个端点处的数据，用定积分写出体积的表示形式，得到结果.
详解：（1）设(),z a bi a b R =+∈，由已知条件得228a b +=，2222z a b abi =-+，
∵2z 的虚部为8，∴28ab =，∴2a b ==或2a b ==-，即22z i =+或22z i =--.
（2）()()2224021022
x
x V e dx e e πππ===-⎰. 点睛：本题考查了复数的运算，考查了用定积分求几何体的体积.
22．（1）5681；（2）22481
. 【解析】试题分析：（1）甲在4局以内（含4局）赢得比赛的情况有：前2局甲赢；第1局乙赢、第2、3局甲赢；第1局甲赢、第2局乙赢、第3、4局甲赢，从而就可以求出概率.（2）根据题意X 的可能取值为2,3,4,5.
()()()()()()()12121212529
P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=. ()()()()()()()()()123123123123239
P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B ==+=+= ()()()()()()()()()()()123412341234123410
481P X P A B A A P B A B B P A P B P A P A P B P A P B P B ==+=+=
()()()()85123481
P X P X P X P X ==-=-=-==.列出分布列表格，就可以求出期望的值. 用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”.则()23k P A =，()1,1,2,3,4,53
k P B k ==. ()()()()121231234P A P A A P B A A P A B A A =++
()()()()()()()()()121231234P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++
2222122125633333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. X 的可能取值为2,3,4,5.
()()()()()()()12121212529
P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=. ()()()()()()()()()123123123123239
P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B ==+=+= ()()()()()()()()()()()123412341234123410
481P X P A B A A P B A B B P A P B P A P A P B P A P B P B ==+=+=
()()()()85123481
P X P X P X P X ==-=-=-==
. 故X 的分布列为 X
2 3 4 5
P
59 29 1081 881
所以
.
考点：1.概率的求解；2.期望的求解.
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同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工。

就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出1/4圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了。

著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为n c ，每扇形{}n c 的半径设为{},n n a a 满足
()
*12121,1,,,3n n n a a a a a n N n --===+∈≥，若将{}n c 的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的对应正方形格子的面积之和为n S ，则下列结论错误的是（ ）
A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅
B ．1221n n a a a a +++⋯+=-
C ．()2134n n n n a c c a π+++-=⋅
D ．1352121n n a a a a a -+++⋯+=- 2．若复数12z z 、满足12z z =，则12z z 、在复数平面上对应的点12Z Z 、( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线y x =对称 3．93x x 的展开式中有理项的项数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4 4．4(2)3x x
-的展开式中各项系数之和为（ ）
A ．216-
B ．16
C ．1
D ．0 5．已知平面α，β，直线a ，满足αβ⊥，l α
β=，则下列是a β⊥的充分条件是（ ） A ．//a α B ．a α⊂ C ．a l ⊥
D ．,a l a α⊥⊂
6．一组统计数据12345,,,,x x x x x 与另一组统计数据1234523,23,23,23,23x x x x x +++++相比较（ ） A ．标准差一定相同
B ．中位数一定相同
C ．平均数一定相同
D ．以上都不一定相同
7．已知向量(5,5),(0,3)a b =-=-，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．23π
D ．34
π 8．已知，是单位向量，且
，向量与，共面，，则数量积=（ ）
A ．定值－1
B ．定值1
C ．最大值1，最小值－1
D ．最大值0，最小值－1
9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A C 的中点，则异面直线DE 与1B C 所成角的大小为（ ）
A ．15
B ．30
C ．45
D ．60
10．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A ．13
B ．25
C ．23
D ．45
11．6(21)x -展开式中x 2的系数为（ ）
A ．15
B ．60
C ．120
D ．240
12．已知向量(3,1),(1,),0=-=⋅=AC AB t AB BC ，若0t <，则t =（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
二、填空题：本题共4小题
13．条件:25p x -<<，条件2:
0x q x a
+<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______________．
14．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在33⨯方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有________种.
15．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知16(1)45
P ξ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为__________． 16．已知圆C 1：22(2)(3)1x y -+-=，圆C 2：22(3)(4)9x y -+-=，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值_____．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()(1)x f x ax e =+，a R ∈，
（1）当1a =时，求函数()f x 的最小值．
（2）当12
a =-时，对于两个不相等的实数1x ，2x ，有12()()f x f x =，求证：122x x +<． 18．（1）化简求值：222cos 1
2tan sin 44x x x ππ-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2000
00cos40sin5013tan10sin701cos40+++0
000sin20sin40cos20cos40-- 19．（6分）已知函数()1122
f x x x m =
--的最大值为4. （1）求实数m 的值； （2）若0,02
m m x ><<，求222x x +-的最小值. 20．（6分）已知1111,,,,,112123123n +++++++，其前n 项和为n S .
（1）计算1234,,,S S S S ；
（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.
21．（6分）现有男选手3名，女选手5名，其中男女队长各1名.选派4人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示）
（1）男选手2名，女选手2名；
（2）至少有1名男选手；
（3）既要有队长，又要有男选手.
22．（8分）如图，已知圆心为()4,3C 的圆经过原点O ．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线340x y m -+=与圆C 交于A ，B 两点．若8AB =，求m 的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
【分析】
根据定义求数列和，利用12n n n a a a --=+化简求解，利用特殊值否定结论.
【详解】
由题意得1n S +为以1+2n n a a +，为长和宽矩形的面积，
即21111112=(+)n n n n n n n n n S a a a a a a a a +++++++==+⋅；
()2221212121344((44))n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a ππππ+++++++++⎛⎫-=-=+⋅-=⋅ ⎪⎝⎭
； 又32435412121))(((())()n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++---⋯+=++++⋯+--+ 2221n n a a a ++=-=-，故,,A B C 正确；
因为121a a ≠-，所以D 错误,选D.
【点睛】
本题考查数列求和以及利用递推关系化简，考查综合分析求解能力，属较难题.
2．A
【解析】
【分析】
由题意可得z 1，z 2的实部相等，虚部互为相反数，故z 1，z 2在复数平面上对应的点Z 1，Z 2的关系即可得
解．
【详解】
复数12z z 、满足12z z =，可得z 1，z 2的实部相等，虚部互为相反数，故z 1，z 2在复数平面上对应的点关于x 轴对称，故选A.
【点睛】
本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题．
3．B
【解析】
【分析】
求得二项式展开式的通项公式，由此判断出有理项的项数.
【详解】
192
(x 的展开式通项为2751962199()C (1)(1)C x r r r r r r r T x x --+=⋅-=⋅⋅⋅⋅-，当3r =或9r =时，为有理项，所以有理项共有2项.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
令1x =，由此求得二项式4
(2)3x x -的展开式中各项系数之和.
【详解】 令1x =，得各项系数之和为4
423(1)11⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭
． 故选：C
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式各项系数之和的求法，属于基础题.
5．D
【解析】
【分析】
根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项的充分性和必要性，判断得到答案.
当//a α时，可以a β⊥，//a β或a β⊂，或,a β相交，不充分，A 错误；
当a α⊂时，可以a β⊥，//a β或a β⊂，或,a β相交，不充分，B 错误；
当a l ⊥时，不能得到a β⊥，C 错误；
当a l ⊥，a α⊂时，则a β⊥，充分性；当a β⊥时，l β⊂，故a l ⊥，a 与α关系不确定，故不必要，D 正确；
故选：D .
【点睛】
本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，充分条件，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 6．D
【解析】
【分析】
根据数据变化规律确定平均数、标准差、中位数变化情况，即可判断选择.
【详解】
设数据12345,,,,x x x x x 平均数、标准差、中位数分别为x m σ，，
因为23,1
2345i i y x i =+=，，，，，所以数据1234523,23,23,23,23x x x x x +++++平均数、标准差、中位数分别为223x m σ++3，，2，即平均数、标准差、中位数与原来不一定相同，
故选：D
【点睛】
本题考查数据变化对平均数、标准差、中位数的影响规律，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．D
【解析】
【分析】
根据题意，由向量数量积的计算公式可得cos θ的值，据此分析可得答案．
【详解】
设a 与b 的夹角为θ，由a 、b 的坐标可得|a |＝，|b |＝3，a •b =-5×0+5×（﹣3）＝﹣15，
故cos
2θ=
=-，0， 所以34
πθ=. 故选D
【点睛】
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
由题意可设，，再表示向量的模长与数量积， 【详解】 由题意设，则向量，且， 所以
， 所以
， 又
， 所以数量积
， 故选：A ．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。

9．B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，先求得向量1,DE B C 的夹角的余弦值，即可得到异面直线所成角的余弦值，得到答案.
【详解】
分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，可得1(0,0,0),(1,1,2),(2,2,2),(0,2,0)D E B C ,
所以1
(1,1,2),(2,0,2)DE BC ==--， 所以1113cos ,2622
DE B C
DE B C DE B C ⋅===-⨯⋅， 所以异面直线DE 和1B C 所成的角的余弦值为
3 所以异面直线DE 和1B C 所成的角为30，故选B.
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，计算出事件AB 的概率和事件A 的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =
. 【详解】
记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，
事件:AB 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，
由独立事件的概率乘法公式得()12313944432
P AB C =⋅⋅⋅=， 对于事件A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件AB ，
()2392743232
P A ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，()()()932132273P AB P B A P A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】
本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
11．B
【解析】
【分析】
【详解】
∵6(21)x -展开式的通项为6616(1)2r r r r r T C x --+=-，令6-r=2得r=4，∴6(21)x -展开式中x 2项为
4644226(1)260C x x --=，所以其系数为60,故选B
12．C
【解析】
【分析】
首先根据向量的线性运算求出向量BC ，再利用平面向量数量积的坐标表示列出方程，即可求出t 的值．
【详解】
因为(3,1)AC =-，(1,)AB t =，
所以(3,1)(1,)(2,1)BC AC AB t t =-=--=--，
因为0AB BC ⋅=，
所以12(1)0t t ⨯+⨯--=，即220t t +-=，
本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量数量积的坐标表示，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题
13．5a >
【解析】
【分析】
【详解】
解：p 是q 的充分而不必要条件，
p q ∴⇒，
20x
x a
+<-等价于(2)()0x x a +-<，(2)()0x x a +-=的解为2x =-，或x a =， 5a ∴>，
故答案为：(5,)+∞．
14．24
【解析】
【分析】
根据题意，用间接法分析，先计算三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内任意两颗棋子不同行、不同列的放法数目，再排除其中在同一条对角线上的数目，分析即可得出答案.
【详解】
解：根据题意，用间接法分析：
若三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，且任意两颗棋子不同行、不同列，
第一颗棋子有339⨯=种放法，
第二颗棋子有224⨯=种放法，
第三颗棋子有1种放法，
则任意两颗棋子不同行、不同列的放法有94136⨯⨯=种，
其中在正方形的同一条对角线上的放法有23212A ⨯=种，
则满足题意的放法有361224-=种.
故答案为：24.
【点睛】
本题考查分步计数原理的应用，属于基础题.
15．20%
【解析】
详解：设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为ξ.
由()16
1
45
Pξ==得，
11
10
2
10
16
45
n n
C C
C
-
⋅
=，化简得210160
n n
-+=，
解得2
n=或8
n=，
又该产品的次品率不超过40%，4
n
∴≤，
应取2
n=，
∴这10件产品的次品率为
2
20%
10
=.
故答案为：20%.
点睛：本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题. 16．524
-
【解析】
【分析】
求出圆1
C关于x轴对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆
2
C的圆心距减去两个圆的半径和，即可得到PM PN
+的最小值.
【详解】
如图所示，圆1
C关于x轴对称圆的圆心坐标3
(2,)
A-，以及半径1，
圆2
C的圆心坐标为(3,4)，半径为3，
所以PM PN
+的最小值为圆A与圆
2
C的圆心距减去两个圆的半径和，
即22
(32)(43)(13)524
-++-+=-.
【点睛】
本题主要考查了圆的对称圆的方程的求法，以及两圆的位置关系的应用，其中解答中把PM PN
+的最
小值转化为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）2
1e -
；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）先由1a =得()(1)x f x x e =+，对函数求导，用导数的方法研究其单调性，即可求出最值； （2）先由12
a =-，得到1()(1)2x f x x e =-+，对函数()f x 求导，得到其单调区间，再设121x x ，令211()()(2)(1)(2)1,122x x g x f x f x x e x e x -⎡⎤=--=-++--+<⎢⎥⎣⎦
，用导数的方法研究函数()g x 的单调性，进而可证明结论成立.
【详解】
（1）当1a =时，()(1)x f x x e =+，
∴()(2)x f x x e '=+，由()0f x '>得2x >-；由()0f x '<得2x <-；
∴()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,)-+∞上单调递增， ∴min 21()(2)f x f e =-=-
. （2）当12
a =-时，1()(1)2x f x x e =-+， 对于两个不相等的实数1x ，2x ，有12()()f x f x =，
∵()(1)x f x x e '=-，
由()0f x '>得1x <；由()0f x '<得1x >；
∴()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
不妨设121x x ， 令211()()(2)(1)(2)1,122x x g x f x f x x e x e x -⎡⎤=--=-
++--+<⎢⎥⎣⎦， ∴()
21()(1)2x x g x x e e -'=--， 当1x <时，10x ->，2x x <-，20x x e e --<，。