人教b版选择性必修第二册412乘法公式与全概率公式课件_1
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()(|) .×.
解:(2)P(|B)=
()
=
.
= .
针对训练:已知公路上经过的货车和客车的数量之比为2∶1,其中货车中途
停车检修的概率为0.02,客车中途停车检修的概率为0.01.今有一辆车中途
停车检修,求该车为货车的概率.
解:记 A1=“经过的是货车”,A2=“经过的是客车”,B=“中途停车检修”,则Ω=A1∪A2.
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率 P(BA)=P(A)·P(B|A)= × =
.
针对训练:在某大型商场促销抽奖活动中,甲、乙两人先后进行抽奖前,还有60
张奖券,其中有6张中奖奖券.假设抽完的奖券不放回,甲抽完以后乙再抽,求:
(2)甲没中奖而乙中奖的概率;
解:(2)甲没中奖而乙中奖的概率 P(B)=P()·P(B|)=×=.
事件在基本事件空间上发生的概率.如果把基本事件空间分解为A1,A2,A3,
即A1,A2,A3互不相交且Ω=A1∪A2∪A3,则随机事件B发生的情况可以用下图
表示:
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3).
探究点三
贝叶斯公式
[例3] 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的
( )(| )
=
∑ ( )(| )
=
也称为贝叶斯公式)
.(这个公式
拓展总结
贝叶斯公式充分体现了 P(A|B),P(A),P(B),P(B|A),P(B|),P(AB)之间的转化.
()
即 P(A|B)= () ,P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A),P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
[例1] 袋中有4个黑球、2个白球,不放回取球.
(2)第一次取到白球、第二次取到黑球、第三次取到黑球的概率是多少?
解:(2)第一次取到白球、第二次取到黑球、第三次取到黑球为事件 A 2 A 3 ,
由乘法公式得 P( A2A3)=P( )P(A2| )P(A3| A2)=××=.
()
∑ ( )(| )
=
=
,公式表明,事件各种原因 B1,B2,…,Bn 的概率与 P(Bi|A)成比例.
当堂检测
1.已知事件 A,B,且 P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=,则 P(B)等于(
A.
B.
C.
D.
解析:P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)= × +(1- )× = .故选 C.
(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|).
(2)定理 1:若样本空间Ω中的事件 A1,A2,…,An 满足:
①任意两个事件均互斥,即 AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
②A1+A2+…+An=Ω;
③P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
=
=
则对Ω中的任意事件 B 都有 B=BA1+BA2+…+BAn,且 P(B)= ∑ P(BAi)= ∑ P(Ai)P(B|Ai).
[例2] 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,
已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
解:设事件A为“任取一件为次品”,
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”,i=1,2,3.
B1∪B2∪B3=S,
乘法公式与全概率公式
学习目标
1.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.培养数学建模素养.
2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率,了解贝叶斯公式.提升数学运
算与数学建模素养.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
知识梳理·自主探究
知识探究
1.乘法公式
P(BA)= P(A)P(B|A)
.
2.全概率公式
信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,接收为0和1的概率分别
为和0.1;当发送信号1时,接收为1和0的概率分别为和0.05.假设发送信号0和1是等
可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率;
解:设 A=“发送的信号为 0”,B=“接收到的信号为 0”,则=“发送的信号为 1”,
=0.80.
方法总结
贝叶斯公式的意义在于,当事件发生后,推导事件发生是何种原因引起的可能性(求得的概率
通常称为“后验概率”),而全概率公式则是根据引起事件发生的各种原因,求得该事件发生的
可能性大小(求得的概率通常称为“先验概率”).如果随机事件 A 的发生是原因 B1,B2,…,Bn
导致的(其中 B1,B2,…,Bn 互不相交且之和为基本事件空间),则全概率公式是随机事件各自在
=“接收到的信号为 1”.由题意得 P(A)=P()=0.5,
P(B|A)=0.9,P(|A)=0.1,P(B|)=0.05,P(|)=0.95.
(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475;
P()=1-P(B)=1-0.475=0.525.
(2)定理 2:若样本空间Ω中的事件 A1,A2,…,An 满足:
①任意两个事件均互斥,即 AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
②A1+A2+…+An=Ω;
③1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
则对Ω中的任意概率非零的事件 B,有 P(Ai|B)=
( )(| )
()
+
P(A|B)=+=,P(A|)=+=;
所以 P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=×+×=.
方法总结
全概率公式实际上就是把基本事件空间分解为若干个互不相交的子空间,
在每个子空间上计算一个随机事件发生的概率,这些概率之和即为该随机
(这个公式也称为全概率公式)
思考:在全概率公式的推导过程中,用到了哪些概率公式?
提示:互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式.
3.贝叶斯公式
(1)贝叶斯公式:当 0<P(A)<1,P(B)>0 时,P(A|B)=
()(|)
()
=
()(|)
.
()(|)+()(|)
根据题意,P(A1)= ,P(A2)= ,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01.根据贝叶斯公式,
则 P(A1|B)=
( )
()
=(
Hale Waihona Puke ( )(| )×.
×.+ ×.
=
)(| )+( )(| )
即一辆车中途停车检修,该车为货车的概率为 0.80.
袋子,再从中任取一球,则取得红球的概率是
则该球取自甲袋的概率是
,如果取得的球是红球,
.
解析:设 A1=“球取自甲袋”,A2=“球取自乙袋”,B=“取到红球”,根据题意,
P(A1)=P(A2)= ,P(B|A1)= ,P(B|A2)= .根据全概率公式,
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=;
[例3] 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,
发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,接收为0
和1的概率分别为和0.1;当发送信号1时,接收为1和0的概率分别为和0.05.
假设发送信号0和1是等可能的.
(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.
=
=
B1,B2,…,Bn 中发生的概率之和,即 P(A)= ∑ P(ABi)= ∑ P(Bi)P(A|Bi),贝叶斯公式则是在事件 A
发生的前提下,求各种原因 B1,B2,…,Bn 的概率,即求 P(Bi|A),根据条件概率和全概率公式,则
P(Bi|A)=
( )
( )(| )
(3)乙中奖的概率.
解:(3)P(B)=P(BA)+P(B)=+=.
方法总结
(1)条件概率的计算可在“减缩”的样本空间中进行;(2)概率的乘法公
式实际上是条件概率公式的变形;(3)在事件AB的概率大于零时,
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
探究点二
全概率公式
针对训练:在某大型商场促销抽奖活动中,甲、乙两人先后进行抽奖前,还有60
张奖券,其中有6张中奖奖券.假设抽完的奖券不放回,甲抽完以后乙再抽,求:
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率;
解:设事件 A 为甲中奖,事件 B 为乙中奖,
则 P(A)==,
P(B|A)=,P()=,P(B|)=.
由全概率公式得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3).
P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,
P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.01,
故P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)·P(B3)=0.02×0.3+0.01×0.5+0.01×0.2=0.013.
针对训练:1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随
机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,求从2号箱
取出红球的概率.
解:设事件 A 为从 2 号箱取出的是红球,事件 B 为从 1 号箱取出的是红球,则
P(B)=
= ,P()=1-P(B)= ;
+
之间的内在联系.
师生互动·合作探究
探究点一
乘法公式
[例1] 袋中有4个黑球、2个白球,不放回取球.
(1)第一次取到黑球,且第二次取到黑球的概率是多少?
解:设 Ai=“第 i 次取到黑球”.
(1)第一次取到黑球,且第二次取到黑球为事件 A1A2,由乘法公式得
P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=.
C )
2.从5件正品、2件次品共7件产品中不放回地取出2件,则第二次取出正品的
概率是
.
解析:设 Ai=“第 i 次取出正品”,i=1,2.
根据全概率公式,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P( )P(A2| )= × + × = .
答案:
3.已知甲袋中有5个红球5个白球,乙袋中有6个红球4个白球,从中任取一个
由贝叶斯公式,P(A1|B)=(
( )(| )
)(| )+( )(|
答案:
= =.
)
解:(2)P(|B)=
()
=
.
= .
针对训练:已知公路上经过的货车和客车的数量之比为2∶1,其中货车中途
停车检修的概率为0.02,客车中途停车检修的概率为0.01.今有一辆车中途
停车检修,求该车为货车的概率.
解:记 A1=“经过的是货车”,A2=“经过的是客车”,B=“中途停车检修”,则Ω=A1∪A2.
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率 P(BA)=P(A)·P(B|A)= × =
.
针对训练:在某大型商场促销抽奖活动中,甲、乙两人先后进行抽奖前,还有60
张奖券,其中有6张中奖奖券.假设抽完的奖券不放回,甲抽完以后乙再抽,求:
(2)甲没中奖而乙中奖的概率;
解:(2)甲没中奖而乙中奖的概率 P(B)=P()·P(B|)=×=.
事件在基本事件空间上发生的概率.如果把基本事件空间分解为A1,A2,A3,
即A1,A2,A3互不相交且Ω=A1∪A2∪A3,则随机事件B发生的情况可以用下图
表示:
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3).
探究点三
贝叶斯公式
[例3] 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的
( )(| )
=
∑ ( )(| )
=
也称为贝叶斯公式)
.(这个公式
拓展总结
贝叶斯公式充分体现了 P(A|B),P(A),P(B),P(B|A),P(B|),P(AB)之间的转化.
()
即 P(A|B)= () ,P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A),P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
[例1] 袋中有4个黑球、2个白球,不放回取球.
(2)第一次取到白球、第二次取到黑球、第三次取到黑球的概率是多少?
解:(2)第一次取到白球、第二次取到黑球、第三次取到黑球为事件 A 2 A 3 ,
由乘法公式得 P( A2A3)=P( )P(A2| )P(A3| A2)=××=.
()
∑ ( )(| )
=
=
,公式表明,事件各种原因 B1,B2,…,Bn 的概率与 P(Bi|A)成比例.
当堂检测
1.已知事件 A,B,且 P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=,则 P(B)等于(
A.
B.
C.
D.
解析:P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)= × +(1- )× = .故选 C.
(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|).
(2)定理 1:若样本空间Ω中的事件 A1,A2,…,An 满足:
①任意两个事件均互斥,即 AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
②A1+A2+…+An=Ω;
③P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
=
=
则对Ω中的任意事件 B 都有 B=BA1+BA2+…+BAn,且 P(B)= ∑ P(BAi)= ∑ P(Ai)P(B|Ai).
[例2] 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,
已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
解:设事件A为“任取一件为次品”,
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”,i=1,2,3.
B1∪B2∪B3=S,
乘法公式与全概率公式
学习目标
1.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.培养数学建模素养.
2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率,了解贝叶斯公式.提升数学运
算与数学建模素养.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
知识梳理·自主探究
知识探究
1.乘法公式
P(BA)= P(A)P(B|A)
.
2.全概率公式
信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,接收为0和1的概率分别
为和0.1;当发送信号1时,接收为1和0的概率分别为和0.05.假设发送信号0和1是等
可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率;
解:设 A=“发送的信号为 0”,B=“接收到的信号为 0”,则=“发送的信号为 1”,
=0.80.
方法总结
贝叶斯公式的意义在于,当事件发生后,推导事件发生是何种原因引起的可能性(求得的概率
通常称为“后验概率”),而全概率公式则是根据引起事件发生的各种原因,求得该事件发生的
可能性大小(求得的概率通常称为“先验概率”).如果随机事件 A 的发生是原因 B1,B2,…,Bn
导致的(其中 B1,B2,…,Bn 互不相交且之和为基本事件空间),则全概率公式是随机事件各自在
=“接收到的信号为 1”.由题意得 P(A)=P()=0.5,
P(B|A)=0.9,P(|A)=0.1,P(B|)=0.05,P(|)=0.95.
(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475;
P()=1-P(B)=1-0.475=0.525.
(2)定理 2:若样本空间Ω中的事件 A1,A2,…,An 满足:
①任意两个事件均互斥,即 AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
②A1+A2+…+An=Ω;
③1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
则对Ω中的任意概率非零的事件 B,有 P(Ai|B)=
( )(| )
()
+
P(A|B)=+=,P(A|)=+=;
所以 P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=×+×=.
方法总结
全概率公式实际上就是把基本事件空间分解为若干个互不相交的子空间,
在每个子空间上计算一个随机事件发生的概率,这些概率之和即为该随机
(这个公式也称为全概率公式)
思考:在全概率公式的推导过程中,用到了哪些概率公式?
提示:互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式.
3.贝叶斯公式
(1)贝叶斯公式:当 0<P(A)<1,P(B)>0 时,P(A|B)=
()(|)
()
=
()(|)
.
()(|)+()(|)
根据题意,P(A1)= ,P(A2)= ,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01.根据贝叶斯公式,
则 P(A1|B)=
( )
()
=(
Hale Waihona Puke ( )(| )×.
×.+ ×.
=
)(| )+( )(| )
即一辆车中途停车检修,该车为货车的概率为 0.80.
袋子,再从中任取一球,则取得红球的概率是
则该球取自甲袋的概率是
,如果取得的球是红球,
.
解析:设 A1=“球取自甲袋”,A2=“球取自乙袋”,B=“取到红球”,根据题意,
P(A1)=P(A2)= ,P(B|A1)= ,P(B|A2)= .根据全概率公式,
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=;
[例3] 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,
发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,接收为0
和1的概率分别为和0.1;当发送信号1时,接收为1和0的概率分别为和0.05.
假设发送信号0和1是等可能的.
(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.
=
=
B1,B2,…,Bn 中发生的概率之和,即 P(A)= ∑ P(ABi)= ∑ P(Bi)P(A|Bi),贝叶斯公式则是在事件 A
发生的前提下,求各种原因 B1,B2,…,Bn 的概率,即求 P(Bi|A),根据条件概率和全概率公式,则
P(Bi|A)=
( )
( )(| )
(3)乙中奖的概率.
解:(3)P(B)=P(BA)+P(B)=+=.
方法总结
(1)条件概率的计算可在“减缩”的样本空间中进行;(2)概率的乘法公
式实际上是条件概率公式的变形;(3)在事件AB的概率大于零时,
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
探究点二
全概率公式
针对训练:在某大型商场促销抽奖活动中,甲、乙两人先后进行抽奖前,还有60
张奖券,其中有6张中奖奖券.假设抽完的奖券不放回,甲抽完以后乙再抽,求:
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率;
解:设事件 A 为甲中奖,事件 B 为乙中奖,
则 P(A)==,
P(B|A)=,P()=,P(B|)=.
由全概率公式得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3).
P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,
P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.01,
故P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)·P(B3)=0.02×0.3+0.01×0.5+0.01×0.2=0.013.
针对训练:1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随
机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,求从2号箱
取出红球的概率.
解:设事件 A 为从 2 号箱取出的是红球,事件 B 为从 1 号箱取出的是红球,则
P(B)=
= ,P()=1-P(B)= ;
+
之间的内在联系.
师生互动·合作探究
探究点一
乘法公式
[例1] 袋中有4个黑球、2个白球,不放回取球.
(1)第一次取到黑球,且第二次取到黑球的概率是多少?
解:设 Ai=“第 i 次取到黑球”.
(1)第一次取到黑球,且第二次取到黑球为事件 A1A2,由乘法公式得
P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=.
C )
2.从5件正品、2件次品共7件产品中不放回地取出2件,则第二次取出正品的
概率是
.
解析:设 Ai=“第 i 次取出正品”,i=1,2.
根据全概率公式,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P( )P(A2| )= × + × = .
答案:
3.已知甲袋中有5个红球5个白球,乙袋中有6个红球4个白球,从中任取一个
由贝叶斯公式,P(A1|B)=(
( )(| )
)(| )+( )(|
答案:
= =.
)