第14讲 圆的综合应用

第十四讲 与圆有关的综合问题
考点一 与圆有关的定点问题
【例1】 已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．
(1)若|AB |＝423
，求|MQ |、Q 点的坐标以及直线MQ 的方程； (2)求证：直线AB 恒过定点．
【例2】 已知圆x 2＋y 2
＝1与x 轴交于A 、B 两点，P 是该圆上任意一点，AP 、PB 的延长线分别交直线l ：x ＝2于M 、N 两点．
(1)求MN 的最小值； (2)求证：以MN 为直径的圆恒过定点，并求出该定点的坐标．
规律方法 与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程．
考点二 与圆有关的定值问题
【例3】已知圆C ：x 2＋y 2
＝9，点A (－5，0)，直线l ：x －2y ＝0． (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB PA
为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．
【例4】在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得弦长为6．
(1)求圆O 的方程；
(2)若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于点D 、E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；
(3)设M 、P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交x 轴于点(m ，0)和(n ，0)，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
规律方法解与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明．这里是采用的另外一种方法，即先设出定值，再通过比较系数法求得．
考点三与圆有关的最值与范围问题
【例5】已知⊙C：x2＋(y－1)2＝1和直线l：y＝－1，由⊙C外一点P(a，b)向⊙C引切线PQ，切点为Q，且满足PQ等于P到直线l的距离．
(1)求实数a，b满足的关系式；(2)设M为⊙C上一点，求线段PM长的最小值；
(3)当P在x轴上时，在l上求一点R，使得|CR－PR|最大．
规律方法解与圆有关的最值与范围问题，可以通过建立目标函数求得，还可以用基本不等式和圆的几何意义求解．
考点四用方程的思想解决圆过定点的问题
【例6】已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3，0)，且与圆O相切．
(1)求直线l1的方程；
(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．。