2019年中考数学复习专题训练5
2019中考数学复习练习 5立方根(无答案)
立方根一、填空题1． 立方根等于它本身的数是 ，立方根等于其相反数的数是 .2． 立方根等于其倒数的是 ，立方根等于其平方根的是 .立方根等于其算术平方根的是 .3． 125的立方根等于 ，64的平方根的立方根等于 .的平方根是 ，27-的平方根之和是 .4．2±，则x = 若2，则x = .5． 若2x =-= ，= .6． 2-，则17x +的平方根是 .7． = ，= .8． 若0x ，求3y 的平方根 .二、选择题1． ）A ．0B ．2C ．2-D ．2±2． 0=，则x 与y 的关系是（ ）A ．0x y +=B ．x y =C ．22=0x y +D ．1xy =3． 下列说法中正确的是（ ）A 2B ．3-是27的负的立方根C ．125216的立方根是56±D ．()21-的立方根是1-4． 3.24922.490.2249=，则x 等于（ ）A ．5.062B ．0.5062C ．0.005602D ．0.050625． 0.8301 1.788==, ）A ．83.01B ．17.88C ．38.53D ．8.301 三、求下列各式中的x 值⑴ 3827x =⑵ ()481116x +=⑶1x ==求2x 的值.五、已知x y 、()22350x y --=，求8x y -的立方根.六、计算：2121412x ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭七、已知：m x =是代数式3m n ++的算术平方根.。
2019年中考数学专题《全等三角形》复习冲刺训练含答案解析
中考复习专题训练全等三角形一、选择题1.下列命题中不成立的是（）A. 矩形的对角线相等B. 三边对应相等的两个三角形全等C. 两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形2.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一条直角边对应相等D. 两个锐角对应相等3.下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（）A. 乙和丙B. 甲和乙C. 甲和丙D. 只有甲4.在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，则补充的这个条件是：（）A. BC=B′C′B. ∠A=∠A′C. AC=A′C′D. ∠C=∠C′5.如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）.A. ∠M=∠NB. AM=CNC. AB=CDD. AM∥CN6.如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（）A. ∠EAM=∠FANB. BE=CFC. △ACN≌△ABMD. CD=DN7.△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点），则在图中能够作出△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A. 6＜AD＜8B. 2＜AD＜14C. 1＜AD＜7D. 无法确定9.如图所示，一位同学书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）.A. SSSB. SASC. AASD. ASA10.如图，PA=PB，OE⊥PA，OF⊥PB，则以下结论：①OP是∠APB的平分线；②PE=PF③CA=BD；④CD∥AB；其中正确的有（）个．A. 4B. 3C. 2D. 111.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE；下列结论中：①CE=BD；②∠ADB=∠AEB；③△ADC是等腰直角三角形；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.如图所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是( )①△APC≌△BPD ②△ADO≌△BCO ③△AOP≌△BOP ④△OCP≌△ODPA. ①②③④B. ①②③C. ②③④D. ①③④二、填空题13. 如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：________14.如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B=∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是 ________（只填一个即可）15.△ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝________°．16.如图，AB=AC，点D在AB上，点E在AC上，DC、EB交于点F，△ADC≌△AEB，只需增加一个条件，这个条件可以是________．17.如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB=6，AD′=2，则折痕MN的长为________．18.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 ________块．19.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知∠1的度数为________．20.如图，∠A =∠D ，OA=OD, ∠DOC=50°，则∠DBC=________度．21.在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D在边BC上，连接AD，以点D为顶点，AD为一边作等边△ADE，连接BE，若BC=7，BE=4，∠CBE=60°，则∠EAB的正切值为________．22.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是 ________（将你认为正确的答案序号都写上）．三、解答题23.如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC=DC．求证：AB=ED．24.已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF，求证：AF=CE．25.如图，矩形ABCD，E、F在AB、CD上，且EF∥AD，M为EF的中点，连接AM、DM，求证：AM=DM．26.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=4，PE=1．（1）求证：∠BPQ=60°（提示：利用三角形全等、外角的性质）（2）求BE的长．27.△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A，B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；（2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值；（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】【分析】A、矩形的对角线相等，成立；B、三边对应相等的两个三角形全等，成立；C、两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方，成立；D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形．故选：D.【点评】本题考查学生对一些几何概念和定理的掌握情况，属于基础题。
中考数学复习专题分类练习
2019年中考数学复习专题分类练习---应用题1．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？2.学校准备购进一批篮球和足球，买1个篮球和2个足球共需170元，买2个篮球和1个足球共需190元．（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？（2）学校欲购进篮球和足球共100个，且足球数量不多于篮球数量的2倍，求出最多购买足球多少个？3.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．（1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为个；（2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？4.某工程指挥部要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2；若由甲队先3做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元，工程预算的施工费用为50万元．为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由．5.某经销商销售台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：设当单价从38元/kg下调了x元时，销售量为y kg．(1)写出y与x间的函数关系式．(2)如果凤梨的进价是20元/kg，某天的销售价定为30元/kg，问这天的销售利润是多少？(3)目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（7天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于30元/kg，问一次进货最多只能是多少千克？6.有大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨，求每辆大车和每辆小车一次分别可以运货多少吨？7.为了提高天然气使用效率,保障居民的本机用气需求,某地积极推进阶梯式气价改革,若一户居民的年用气量不超过300m3,价格为2.5元/m3,若年用气量超过300m3,超出部分的价格为3元/m3，（1）根据题意,填写下表:（2）设一户居民的年用气量为xm3,付款金额为y元,求y关于x的解析式;（3）若某户居民一年使用天然气所付的金额为870元,求该户居民的年用气量.8.政府为了美化人民公园，计划对公园某区域进行改造，这项工程先由甲工程队施工10天完成了工程的，为了加快工程进度，乙工程队也加入施工，甲、乙两个工程队合作10天完成了剩余的工程，求乙工程队单独完成这项工程需要几天．9.某市从3月起，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如图所示，每吨水需另加污水处理费0. 80元.已知小张家3月份用水20吨，交水费52元;4月份用水25吨，交水费69元.(温馨提示:水费=水价+污水处理费)(1)求m、n的值;(2)随着夏天的到来，用水量将增加.为了节省开支，小张计划把5月份的水费控制在不超过月收入的2%.若小张的月收入为6 500元，则小张家5月份最多能用水多少吨?.10.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？11.某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图（1）所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图（2）所示．（销售额=销售单价×销售量）．（1）从图（1）可知．第6天日销售量为千克，第18天日销售为千克．（2）求第6天和第18天的销售额；（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中，“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？12.某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y甲(万元)与进货量x(t)近似满足函数关系0.3y x=甲;乙种水果的销售利润y乙(万元)与进货量x(t)近似满足函数关系2y ax bx =+乙(其中0a≠，a、b为常数)，且进货量x为1t时，销售利润y乙为1. 4万元;进货量x为2t时，销售利润y乙为2. 6万元.(1)求y乙(万元)与x(t)之间的函数关系式;(2)如果市场准备进甲、乙两种水果共10t，设乙种水果的进货量为t(t)，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W(万元)与t(t)之间的函数关系式.并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少.感谢您的支持祝您生活愉快。
2019山西中考数学专题训练—综合与实践5类10道
综合与实践类型一 类比探究型（不含图形变化）★1.综合与实践问题背景如图①，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD ＝12∠BAC ＝60°，于是BC AB ＝2BD AB ＝ 3.迁移应用(1)如图②，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD .①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式． 拓展延伸(2)如图③，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF .试判断△CEF 的形状；（3）如图③，若AE ＝5，CE ＝2，求BF 的长．第1题图(1)①证明：由题意可知：AD＝AE，AB＝AC，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB≌△AEC；②解：CD＝3AD＋BD；【解法提示】∵AD＝AE，∠DAE＝120°，∴DE＝3AD，∵DE＝DC－EC，∴DC－EC＝3AD，由①知，△ADB≌△AEC，∴EC＝DB，∴DC－DB＝3AD，即CD＝3 AD＋BD.（2）解：△EFC为等边三角形.理由如下：如解图，连接BE，作BG⊥AE于点G.设CE与BF相交于点N，第1题解图∵C 、E 关于BM 对称，∴BE ＝BC ，CF ＝EF ，∠3＝∠4，在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝120°，AB ＝BC ，∴AB ＝BC ＝BE ，又∵BG ⊥AE ，∴∠1＝∠2，∴∠GBF ＝∠2＋∠3＝12∠ABC ＝60°，∵在四边形GBNE 中，∠GEN ＝360°－∠EGB －∠ENB －∠GBN ＝120°，∴∠FEN ＝60°，又∵EF ＝FC ，∴∠EFC ＝60°，∴△EFC 为等边三角形；（3）解：∵AE ＝5，CE ＝2，∴EG ＝12AE ＝52，EF ＝CE ＝2，∴GF ＝EG ＋EF ＝92，∵∠BGF ＝90°，∠GFB ＝30°，∴BF ＝GF cos30°＝3 3.★2.综合与探究问题背景在综合实践课上，老师让同学们根据如下问题情境，写出两个教学结论：如图①，点C 在线段BD 上，点E 在线段AC 上．∠ACB = ∠ACD =90°，AC =BC ；DC =CE ，M ，N 分别是线段BE ，AD 上的点．“兴趣小组”写出的两个教学结论是：①△BCE ≌△ACD ；②当CM ，CN 分别是△BCE 和△ACD 的中线时，△MCN 是等腰直角三角形．解决问题（1）请证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性．类比探究受到“兴趣小组”的启发，“实践小组”的同学们写出如下结论：如图②，当∠BCM =∠ACN 时，△MCN 是等腰直角三角形．（2）“实践小组”所写的结论是否正确？请说明理由．感悟发现“奋进小组”认为：当点M ，N 分别是BE ，AD 的三等分点时，△MCN 仍然是等腰直角三角形请你思考：（3）“奋进小组”所提结论是否正确？答： ．（填“正确”、“不正确”或“不一定正确”．）（4）反思上面的探究过程，请你添加适当的条作，再写出使得△MCN 是等腰直角三角形的数学结论．（所写结论必须正确，写出1个即可，不要求证明）图① 图② 备用图第2题图（1）证明：在△BCE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CD CE ACD BCE AC BC∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴BE =AD ，∠EBC =∠DAC ，∵CM ，CN 分别是△BCE 和△ACD 的中线，∴BM =21BE ，AN =21AD ，∴BM =AN ，在△BCM 和△ACN 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,AN BM NAC MBC AC BC ∴△BCM ≌△ACN （SAS ），∴CM =CN ，∠BCM =∠ACN∵∠BCM +∠MCE =90°，∴∠ACN +∠MCE =90°，∴MC ⊥CN ．∴△MCN 是等腰直角三角形．（2）解：实践小组”所写的结论正确．理由：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠EBC =∠DAC ，在△BCM 和△CAN 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,ACN BCM AC BC NAC MBC ∴△BCM ≌△ACN （ASA ），∴CM =CN ，∵∠BCM +∠MCE =∠ACB =90°，∴∠ACN +∠MCE =90°，∴MC ⊥CN ．∴△MCN 是等腰直角三角形．（3）解：不一定正确．【解法提示】当BM =31BE ，AN =31AD 时，△MCN 仍然是等腰直角三角形．当BM =31BE ，DN =31AD 时，△MCN 不是等腰直角三角形．（4）解：答案不唯一．比如：当CM ，CN 分别是△BCE ，△ACD 的高时，△MCN 是等腰直角三角形；当CM ，CN 分别是△BCE ，△ACD 的角平分线时，△MCN 是等腰直角三角形；理由：只要证明△BCM ≌△ACN （AAS ），即可推出∠BCM =∠ACN ，推出∠MCN =90°，∵CM=CN，∴△MCN是等腰直角三角形．类型二图形平移型★3.综合与实践问题情境：如图①，在纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15，过点A 作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D.独立思考：(1)试探究四边形AEE′D的形状；深入探究：(2)如图②，在(1)的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D，试探究四边形AFF′D的形状；拓展延伸：(3)在(2)的条件下，求出四边形AFF′D的两条对角线的长;(4)若四边形ABCD为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论.图① 图② 图③第3题图解：(1)四边形AEE ′D 是矩形；理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∵BE ＝CE ′，∴EE ′＝BC ＝AD ，且AD ∥EE ′，∴四边形AEE ′D 是平行四边形，又∵AE ⊥BC ，∴四边形AEE ′D 是矩形．(2)四边形AFF ′D 是菱形，∵已知AD ＝5，S ▱ABCD ＝15，∴AE ＝S ▱ABCD AD ＝155＝3，∵将△AEF 平移至△DE ′F ′，∴AF ＝DF ′，AF ∥DF ′， ∴四边形AFF ′D 是平行四边形．在Rt △AEF 中，由勾股定理得AF ＝AE 2＋EF 2＝32＋42＝5.∴AF＝AD＝5，∴四边形AFF′D是菱形．(3)如解图①，连接AF′，DF，第3题解图①∵E′F＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝3，在Rt△DE′F中，DF＝E′D2＋E′F2＝32＋12＝10，又EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，AE＝3，在Rt△AEF′中，AF′＝AE2＋EF′2＝32＋92＝310.（4）答案不唯一.如解图②，在BC上取一点E，连接AE,然后将△ABE平移至△DCE´位置.结论：四边形AEE´D为平行四边形第3题解图②★4.综合与实践数学活动—移动中探究线段关系问题情境：数学课上，老师出示了一个问题：如图①，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝BC，点E，F分别在AC，BC上，∠EDF＝90°，求DE与DF的数量关系．独立思考：(1)①请根据以上信息，解答老师提出的问题；②若CF=1,CE=2,请直接写出CD的长.(3)探索求证：如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，AC＝BC，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF 到EG，且点G在边BA的延长线上，求证：DE＝DF，DE⊥DF；(4)拓展延伸：如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，∠B＝30°，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF 到EG，且点G在边BA的延长线上，直接写出线段DE与DF 之间的位置关系和数量关系．第4题图(1)①解：∵∠EDC ＋∠CDF ＝∠EDF ＝90°，∠CDF ＋∠FDB ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB .由题可知△ACB 是等腰直角三角形，CD 是AB 边上的中 线，∴∠ECD ＝∠B ＝45°，CD ＝BD ，在△EDC 和△FDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EDC ＝∠FDB ，CD ＝BD ，∠ECD ＝∠B ，∴△EDC ≌△FDB (ASA)．∴DE ＝DF ；【一题多解】∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠DCF ＝45°，∵∠EDF ＝90°，∴∠ADE ＋∠CDE ＝∠CDF ＋∠CDE ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,CDF ADE CD AD DCF A ∴△ADE ≌△CDF (ASA)，∴DE ＝DF ；; 【解法提示】①知△ADE ≌△CDF ，∴BF =CE =2,∴BC =CF +BF =3,∵AC =BC ,∠ACB =90°，∴CD =223. (3)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴DA ＝DB ＝DC ，∠ABC ＝∠BAC ＝∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAE ＝∠DCF ＝135°，又∵∠GAE ＝45°，∠AEG ＝∠ACF ＝∠ACB ＝90°，∴△AEG 是等腰直角三角形，∴AE ＝EG ，由平移可知CF ＝EG ＝AE ，在△DAE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DC ，∠DAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∴△DAE ≌△DCF (SAS)，∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE ＋∠ADF ＝∠CDF ＋∠ADF ，∴∠FDE ＝∠CDA ＝90°，∴DE ⊥DF ；(4)解：DE ⊥DF ，DF ＝3DE .【解法提示】由CD ⊥AB ，AC ⊥BC ，∠B ＝30°，可得∠ACD ＝30°，则有CD AD ＝3，由平移可知∠FGE ＝90°，FC ＝GE ，则有∠AGE ＝90°－60°＝30°，GE AE ＝CF AE ＝ 3.∴CF AE ＝CD AD ＝ 3.又∵∠FCD ＝∠EAD ＝∠CDB ＋∠B ＝120°，∴△CFD ∽△AED ，∴DF DE ＝3，即DF ＝3DE ，同(2)可证得DE ⊥DF .类型三 图形旋转型★5.综合与实践问题情境：综合实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图①，在三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C .操作发现：(1)创新小组将图①中的△ABC 以点B 为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE ，再将△ABC 以点A 为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG ，连接DF ，得到图②，试判断四边形AFDE 的形状；(2)实践小组将图①中的△ABC 以点B 为旋转中心，逆时针旋转90°得到△DBE ，再将△ABC 以点A 为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AFG ，连接DF ，DG ，AE ，得到图③，发现四边形AFDB 为正方形，①请你证明这个结论；②若AB=4,∠ABC=60°，求BE的长;拓展探究：(3)请你在实践小组操作的基础上，再写出图③中的一个特殊四边形，并证明你的结论．第5题图(1)解：四边形AFDE是平行四边形；理由：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转角度α得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转角度α得到的，∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，∴∠DEB＝∠BAF，∴DE∥AF，∵DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形；(2)①证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，∴∠DBA＝∠F AB＝90°，DB＝AB＝AF，∴∠DBA＋∠F AB＝180°，∴DB∥AF，∴四边形AFDB是平行四边形，∵DB＝AF，∴四边形AFDB是菱形，∵∠DBA＝90°，∴菱形AFDB是正方形；②解：如解图，过点D作DH⊥BE于点H,由旋转知，△DBE≌△ABC,∴BD=DE=AB=AC,∠ABC=∠DBE=60°,∴在Rt△DBH中，BH=2，∴BE=2BH=4;第5题解图(3)解：四边形AEDG 是平行四边形．证明：∵四边形ABDF 是正方形，∴∠DF A ＝∠DBA ＝90°，AB ＝DF ，又∵∠DBE ＝∠AFG ，∴∠EBA ＝∠GFD ，在△ABE 和△DFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，∠EBA ＝∠GFD ，BE ＝GF ，∴△ABE ≌△DFG (SAS)；∴AE ＝DG ，又∵DE ＝AG ，∴四边形AEDG 是平行四边形．★6.综合与实践独立思考：(1)已知正方形ABCD，如图①，点E和F分别是边AB和AD边上的点，且AE＝AF，则线段DF与BE之间有怎样的关系？请直接写出结论；合作交流：（2）如图②，等腰直角三角形F AE绕直角顶点A顺时针旋转α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，等腰直角三角形F AE绕直角顶点A顺时针旋转α，当α＝90°时，连接BE、DF，若AE＝5，则当直线DF 垂直平分EB时，直接写出AD的值；(4)如图④，等腰直角三角形F AE绕直角顶点A顺时针旋转α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、FB，得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF的各边中点所组成的四边形是什么特殊的四边形？直接写出结论．第6题图解：(1)DF＝BE，且DF⊥BE.【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，AD⊥AB，∵AE＝AF，∴DF＝BE，且DF⊥BE；(2)(1)中的结论成立．证明如下：第6题解图①如解图①，延长DF交AB于点H，交BE于点G，由题意可知∠DAF＝∠BAE，在△DAF与△BAE中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝BA ∠DAF ＝∠BAE ，AF ＝AE∴△DAF ≌△BAE (SAS)，∴DF ＝BE ，∠ADF ＝∠ABE ，∵∠ADF ＋∠DHA ＋90°＝∠ABE ＋∠BHG ＋∠HGB ，且 ∠DHA ＝∠BHG ，∴∠HGB ＝90°，即∠DGB ＝90°，即DF ⊥BE ，∴DF ＝BE ，且DF ⊥BE ；(3)AD ＝52＋5.【解法提示】连接BD ，如解图②，∵直线DF 垂直平分BE ，∴AD ＋AE ＝BD ，BD ＝2AD ，∴AE ＝(2－1)AD ，∵AE ＝5，∴AD ＝52＋5.(图②图③第6题解图(4)正方形．【解法提示】连接BE、DF，如解图③，与(2)同理得出BE＝DF，BE⊥DF，结合中位线的性质可知，顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形．类型四图形折叠型★7.综合与实践：数学活动：“标准纸”尺寸的研究问题情境：A4纸是我们学习、工作中最常用的纸张之一，小明通过网络搜索得到“A4纸是由国际标准化组织的ISO 216定义的，其长宽比是2∶1，规格为210 mm×297 mm，如图①所示，A0纸是面积为1 m2，长宽比为2∶1的纸张，接下来的A1，A2，A3等纸张尺寸，都是定义成将编号少一号的纸张沿着长边对折，然后保留最接近的毫米值．”于是，我们定义：长与宽之比为2∶1的矩形纸片称为“标准纸”．如图①所示A 组纸都是“标准纸”．第7题图操作判断：(1)如图②所示，矩形纸片ABCD(AD＝2AB)是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与点D重合，再展开，折痕EF交AD于点E，交BC于点F，交BD于点O，分别连接BE和DF，判断四边形BFDE是哪种特殊的四边形，并说明理由；探究发现：(2)如图③所示，在(1)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕MN交AD边于点M，交BC边于点N，交BD也是点O，然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由；第7题图③(3)通过以上操作探究，请你写出一个有关“标准纸”的结论，例如“标准纸”长和宽的比值为2∶1.解：(1)四边形BFDE 是菱形；证明：当点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ， ∴OB ＝OD ，∠BOF ＝∠DOE ＝90°.∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠OBF ＝∠ODE .在△BOF 和△DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBF ＝∠ODE ，OB ＝OD ，∠BOF ＝∠DOE ，∴△BOF ≌△DOE (ASA)，∴OE ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形；(2)纸片ENFM是“标准纸”；理由如下：由(1)可知，OE＝OF，同理可证，OM＝ON，∴四边形ENFM是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠DOE＝90°，∠ODE＝∠ADB，∴tan∠ODE＝OEOD＝ABAD.∵AD＝2AB，∴OE＝22OD，∴EF＝22BD，同理可得，MN＝22AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝MN.∴四边形ENFM是矩形，∴∠EMF＝90°.∴tan ∠FEM ＝MF ME ＝OD OE ＝2，∴MF ＝2ME ，∴纸片ENFM 是“标准纸”；(3)答案不唯一，例如：①所有的“标准纸”形状都相似；②图③中四边形ENFM 的面积是四边形ABCD 面积的一半；③A0纸与A1纸的面积之比为2∶1；④A3纸与A2纸的周长之比为1∶ 2.★8.综合与实践：折叠中的数学．已知在矩形纸片ABCD 中，AB ＝24 cm ，BC ＝10 cm.任务一：先将矩形纸片上下对折，然后左右对折，再沿对角线对折，展开得到图中的折痕四边形EFGH (如图①)，求菱形EFGH 的面积．任务二：如图②，将矩形纸片ABCD 先沿对角线AC 对折，再将纸片折叠使点A 与点C 重合得折痕EF ，则四边形AECF 必为菱形，请加以证明．任务三：请通过一定的操作，构造一个菱形EFGH (不同于任务一中的特殊图形)，使菱形的四个顶点分别落在矩形ABCD 的四条边上(即点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且不与矩形ABCD 的顶点重合)．第8题图（1）请简述操作的方法，并在图③中画出菱形EFGH .(2)求菱形EFGH 的面积的取值范围．解：任务一：如解图①，由折叠性质可得：HF ＝AB ＝24 cm ，GE ＝BC ＝10 cm .∴S 菱形EFGH ＝12HF ·GE ＝12×24×10＝120 cm 2，∴菱形EFGH 的面积为120 cm 2.第8题解图① 第8题解图②任务二：证明：如解图②，设两折痕的交点为O ，由折叠性质可得：EF ⊥AC ，OA ＝OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB .∴∠ECO ＝∠F AO .在△EOC 和△FOA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ECO ＝∠F AO OC ＝OA∠EOC ＝∠FOA， ∴△EOC ≌△FOA (ASA)．∴OE ＝OF ，∵OE ＝OF ，OC ＝OA ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 是菱形．任务三：(1)如解图③，将矩形纸片分别沿着对角线AC ，BD 折叠，设两折痕的交点为O ，展开后沿经过点O 的直线FH 折叠，展开后再沿经过点O 且与FH 垂直的直线EG 折叠，而后展开得到的折痕四边形EFGH 就是符合要求的菱形．第8题解图③(2)∵四边形ABCD 是矩形，四边形EFGH 是菱形，∴∠GDH ＝∠GOH ＝90°，∴O ，G ，D ，H 四点共圆，∴∠GHO ＝∠GDO ，∴tan ∠GHO ＝tan ∠GDO ，∴OG OH ＝BC DC ＝1024＝512，设OG ＝5k ，则OH ＝12k ，∴FH ＝24k ，GE ＝10k ，∴S 菱形EFGH ＝12FH ·GE ＝120k 2，在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝242＋102＝26，∴OA ＝12AC ＝13.当OH ⊥AD 时，OH ＝12AB ＝12，∴12＜OH ＜13，∴12＜12k ＜13，∴1＜k ＜1312，∴1＜k 2＜169144，∴120＜120k 2＜8456，即菱形EFGH 的面积大于120 cm 2且小于8456 cm 2.拓展类型★9.如图，等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 、分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？（2）如图②，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．图①图②图③第9题解图解：（1）EN与MF相等，证明：如解图①，连接DE、DF，∵△ABC和△DMN为等边三角形，∴DM =DN ，∠MDN =60°，∵点D 、E 、F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，∴△DEF 是等边三角形，∴∠MDF =∠NDE ，在△DMF 和△DNE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE DF NDE MDF DN DM ， ∴△DMF ≌△DNE ，∴EN =MF ；第9题图解①（2）成立，证明：如解图②，连接DE ，DF ，EF ．第1题解图②∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ．∵D ，E ，F 是三边的中点，∴DE ，DF ，EF 为三角形ABC 的中位线．∴DE =DF =EF ，∠FDE =60°．又∠MDF +∠FDN =60°，∠NDE +∠FDN =60°，∴∠MDF =∠NDE ．在△DMF 和△DNE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,DN DM NDE MDF DE DF ， ∴△DMF ≌△DNE ，∴MF =NE ；（3）画出图形如解图③，MF 与EN 相等的结论仍然成立．由（2）得，△DMF ≌△DNE ，∴MF =NE .第9题解图③★10.综合与实践问题探究：(1)如图①，点A是线段BC外一动点，若AB＝a，BC＝b，求线段AC长的最大值(用含a，b的式子表示)；(2)如图②，点A是线段BC外一动点，且AB＝1，BC＝4，分别以AB、AC为边作等边△ABD、等边△ACE，连接CD、BE.①求证：CD＝BE；②求线段BE长的最大值；问题解决：(3)如图③，在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)、B(5，0)，点P、M是线段AB外的两个动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．第10题图(1)解：∵点A 是线段BC 外一动点，且AB ＝a ，BC ＝b ， 则AC ≤AB ＋BC ，且当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，此时AC 的长的最大值为：AB ＋BC ＝a ＋b ；(2)①证明：∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠EAC ＝60°，∴∠DAC ＝∠BAE ，在△CAD 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ∠CAD ＝∠EAB AC ＝AE，∴△CAD ≌△EAB (SAS)，∴CD ＝BE ；②解：∵CD ＝BE ，∴线段BE 长的值最大值即为线段CD长的最大值，此时BE的最大值为：BD＋BC＝AB＋BC＝5；(3)解：如解图①，连接BM，∵PB＝PM，∠MPB＝90°，第10题解图①∴可以将△APM绕点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝P A＝2，BN＝AM，∴线段AM的长的最大值即为线段BN长的最大值，由(1)的结论可知，当点N在线段BA的延长线上时，线段BN的值最大，且此时的最大值为AB＋AN的值．∵A(2，0)，B(5，0)，∴OA＝2，OB＝5，AB＝3，∴AN＝2AP＝22，∴最大值为22＋3；如解图②中，作PE⊥x轴于点E，第10题解图②∵△APN 是等腰直角三角形，∴PE ＝AE ＝12AN ＝2，∴OE ＝OA －AE ＝2－2，∴P (2－2，2)，即线段AM 的最大值为22＋3，此时P 的坐标为(2－2，2)．。
D_福建省福州市2019年中考数学复习第五章四边形第一节平行四边形与多边形同步训练
第五章 四边形第一节 平行四边形与多边形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2018·云南省卷)一个五边形的内角和为( )A．540° B．450° C．360° D．180°2．(2018·北京)若正多边形一个外角是60°，则该正多边形的内角和为( )A．360° B．540° C．720° D．900°3．(2018·安徽)▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )A．BE＝DF B．AE＝CFC．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF4．(2018·玉林)在四边形ABCD中，①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD是平行四边形的选法共有( )A．3种 B．4种 C．5种 D．6种5．(2017·宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④6．(2018·海南)如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为( )A．15B．18 C．21 D．247．(2018·宁波)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°8．(2018·兰州)如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E 为( )A. 102°B. 112°C. 122°D. 92°9．(2018·三明质检)如图，在正八边形ABCDEFGH 中，连接AC ，AE ，则的值是( )AE ACA. B. C. D ．2222310．(2018·宁德质检)小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为____________．11．(2018·陕西)如图，在正五边形ABCDE 中，AC 与BE 相交于点F ，则∠AFE 的度数为__________.12．(2018·山西)图①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝______度．图① 图②13.(2018·泰州)如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为________．14．(2018·临沂)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC.则BD＝________．15．(2018·衡阳) 如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，△CDM 的周长为8，那么▱ABCD的周长是________．16．(2018·漳州质检)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，EF＝2，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为________．17．(2018·南平质检)如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC≌△BDE，其中点A，B，C的对应点分别是B，D，E，连接CE.求证：四边形ABEC是平行四边形．18. (2018·无锡)如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE.19．(2018·厦门质检)如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，且DE＝AB，连接AE，BD.证明：AE＝BD.20. (人教八下P50第10题改编)如图，四边形BEDF是平行四边形，延长BF、DE至点C、A，使得BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC的平分线．求证：四边形ABCD是平行四边形．21．(2018·孝感)如图， B，E ，C ，F 在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD .求证：四边形ABED是平行四边形．22．(2018·福建模拟)如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F.(1)若∠F＝20°，求∠A的度数；(2)若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求▱ABCD的面积．23.已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：(1)△ADF≌△CBE；(2)EB∥DF.24．(2018·永州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．1．(2019·原创)如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，AB ＝5，BC ＝12，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是( )A. 5B. 6C. 12D. 132．(2018·陕西)如图，点O 是▱ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 是AB 边上的点，且EF ＝AB ；G 、H 是BC12边上的点，且GH ＝BC.若S 1、S 2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则S 1与S 2之间的等量关系是________．133．(2017·南充)如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF∥BC，GH∥AB，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S▱AEPH＝________．4．(2018·曲靖)如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段上两点，且EM＝FN，连接AN，CM.(1)求证：△AFN≌△CEM；(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．5．(2018·大庆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F.(1)证明：四边形CDEF是平行四边形；(2)若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．6．(2018·黄冈)如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.(1)求证：△ABF≌△EDA；(2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.参考答案【基础训练】1．A 2.C 3.B 4.B 5.B 6.A 7.B 8.B 9.B1310．100° 11.72° 12.360 13.14 14.4 15.16 16.6 17．证明：∵△ABC≌△BDE，∴∠DBE＝∠A，BE＝AC，∴BE∥AC，又∵BE＝AC，∴四边形ABEC是平行四边形．18．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD ，AD ＝BC ，∠C＝∠A，∵E、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴CE＝BC, AF ＝AD ，∴AF＝CE ，1212∴△ABF≌△CDE(S A S )，∴∠ABF＝∠CDE.19．证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，AB ＝DC.∵DE＝AB ，∴DE＝DC.∴∠DCE＝∠DEC.∵AB∥DC，∴∠ABC＝∠DCE.∴∠ABC＝∠DEC.又∵AB＝DE ，BE ＝EB ，∴△ABE≌△DEB.∴AE＝BD.20．证明：∵四边形BEDF 是平行四边形，∴DE∥BF，∠EBF＝∠EDF.BE 、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线，∴∠ABE＝∠EBF＝∠ADF＝∠CDF，∴∠ABC＝∠ADC.∵DE∥BF，∴∠AEB＝∠EBF，∠ADF＝∠CFD，∴∠AEB＝∠ABE＝∠CDF＝∠CFD，∴∠A＝180°－∠AEB－∠ABE，∠C＝180°－∠CDF－∠CFD，∴∠A＝∠C，∴四边形ABCD 是平行四边形．21．证明：∵AB∥DE ，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF ，∴BE＋CE ＝CF ＋CE ，∴BC＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，，{∠B ＝∠DEFBC ＝EF ，∠ACB ＝∠F )∴△ABC≌△DEF(A S A)，∴AB＝DE，∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．22．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠F＝20°，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBF，∴∠AEB＝∠ABE＝20°，∴∠A＝180°－20°－20°＝140°；(2)∵∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝5，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5，∴DE＝AD－AE＝3，CD2－DE252－32∵CE⊥AD，∴CE＝＝＝4，∴▱ABCD的面积为AD·CE＝8×4＝32.23．证明：(1)∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋FE，即AF＝CE.又四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC.∴∠DAF＝∠BCE.在△ADF与△CBE中，){AF＝CE∠DAF＝∠BCE，AD＝CB∴△ADF≌△CBE(S A S)．(2)∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA＝∠BEC.∴EB∥DF.24．(1)证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠BAD＝60°，又∠CAB＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝30°＋60°＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴BC∥AD.∵E 是线段AB 的中点，∴CE＝AE ，∴∠ACE＝∠CAB，∵∠CAB＝30°，∴∠ACE＝∠CAB＝30°，∴∠BEC＝∠ACE＋∠CAB＝30°＋30°＝60°，∵∠ABD ＝60°，∴∠ABD ＝∠BEC，∴BD∥CE，又BC∥AD，∴四边形BCFD 为平行四边形；(2)解：过B 作BG⊥CF，垂足为G ，∵AB＝6，点E 是线段AB 的中点，∴BE＝3，在Rt △BEG 中，∠BEG＝60°，∴BG＝BE·sin ∠BEG＝3×sin 60°＝.332∵△ABD 是等边三角形，∴BD＝AB ＝6，∴平行四边形BCFD 的面积为BD·BG ＝6×＝9.3323【拔高训练】1．A 2.S 1＝S 2 323．4 【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB ＝CD ，AD ＝BC ，又知EF∥BC，GH∥AB，因而得到四边形BEPG 、四边形GPFC 、四边形PHDF 、四边形AEPH 都是平行四边形．根据平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，得到S △ABD ＝S △CBD ，S △PHD ＝S △PFD ，S △BPG ＝S △BEP ，从而得出S ▱AEPH ＝S ▱GPFC ，又CG ＝2BG ，∴S ▱GPFC ＝2S ▱BGPE ＝4S △BPG ＝4.∴S ▱AEPH ＝4.4．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AFN＝∠CEM，∵FN＝EM ，AF ＝CE ，∴△AFN≌△CEM(S A S )．(2)解：∵△AFN≌△CEM，∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，∴107°＝72°＋∠ECM，∴∠ECM＝35°，∴∠NAF＝35°.5．(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC，BC＝2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．(2)解：∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2DC，∴四边形DCFE的周长＝AB＋BC，∵四边形DCFE的周长为25 cm，AC的长为5 cm，∴BC＝25－AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝(25－AB)2＋52，解得，AB＝13 cm.6．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，∵BC＝BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝DE，∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，∴∠ADE＝∠ABF，∴△ABF≌△EDA.(2)延长FB交AD于H，如解图，∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵△ABF≌△EDA，∵∠EAD＋∠FAH＝90°，∴∠FAH＋∠AFB＝90°，∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD，∵AD∥BC，∴FB⊥BC.。
2019届中考数学总复习试题_第五章_基本图形综合测试题_含答案
基本图形一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列命题中，假命题是(D）A. 平行四边形是中心对称图形B. 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等C. 对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差D. 若x2＝y2，则x＝y2．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件(B）A. ∠BAC＝∠BADB. AC＝AD或BC＝BDC. AC＝AD且BC＝BDD. 以上都不正确(第2题图) (第3题图)3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝(A）A. 5 cm B. 10 cmC. 15 cmD. 20 cm4．将一把直尺与一块三角尺按如图的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为(D）A. 125°B. 120°C. 140°D. 130°(第4题图) (第5题图)5．如图，在坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A，B，C的对应顶点分别为D，E，F，且AB＝BC＝5.若点A的坐标为(－3，1)，B，C两点在直线y＝－3上，D，E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为(C）A. 2 B. 3C. 4D. 56．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为5.25cm2，则此方格纸的面积为(B）A. 11 cm2B. 12 cm2C. 13 cm2D. 14 cm2(第6题图) (第7题图)7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC，BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为(A）A. －4B. 10π－4C. 10π－8D. －88．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，BO，EF交于点P.有下列结论：(第8题图)①图形中全等的三角形只有两对；②正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；③BE＋BF＝2OA；④AE2＋CF2＝2OP·OB.其中正确的结论有(C）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N 自A点出发沿折线AD→DC→CB以每秒3 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是(B）(第9题图)10．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2015的值为(C ）(第10题图)A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫222012B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫222013 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫122012 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫122013 二、填空题(每小题4分，共24分)11．已知直线l 1，l 2，l 3互相平行，直线l 1与l 2的距离是4 cm ，直线l 2与l 3的距离是6 cm ，那么直线l 1与l 3的距离是10_cm 或2_cm ．12．如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，连结其对边中点，得到四个矩形，顺次连结矩形AEFG 各边中点，得到菱形I 1；连结矩形FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连结矩形FNPQ 各边中点，得到菱形I 2……如此操作下去，得到菱形I n ，则I n 的面积是⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋1ab ．(第12题图)13．如图，若将边长为2 cm 的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动．若重叠部分△A ′PC 的面积是1 cm 2，则移动的距离AA ′等于2_cm ．(第13题图) (第14题图)14．如图，点P 是矩形ABCD 内的任意一点，连结PA ，PB ，PC ，PD ，得到△PDA ，△PAB ，△PBC ，△PCD ，设它们的面积分别是S 1，S 2，S 3，S 4，给出如下结论：①S 1＋S 2＝S 3＋S 4；②S 2＋S 4＝S 1＋S 3；③若S 3＝2S 1，则S 4＝2S 2；④若S 1＝S 2，则点P 在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是__②④__(把所有正确结论的序号都填在横线上)．15．如图，矩形OABC 在第一象限，OA ，OC 分别与x 轴，y 轴重合，面积为6.矩形与双曲线y ＝kx(x ＞0)交BC 于点M ，交BA 于点N ，连结OB ，MN .若2OB ＝3MN ，则k ＝__2__．(第15题图)16．如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，A 1，A 2，A 3，…，A n －1为OA的n 等分点，B 1，B 2，B 3，…B n －1为CB 的n 等分点，连结A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3，…，A n －1B n －1，分别交y ＝1nx 2(x ≥0)于点C 1，C 2，C 3，…，C n －1，当B 25C 25＝8C 25A 25时，则n(第16题图)三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(本题6分)已知：∠MON ＝40°，OE 平分∠MON ，点A ，B ，C 分别是射线OM ，OE ，ON 上的动点(A ，B ，C不与点O重合)，连结AC交射线OE于点D.设∠OAC＝x°.(1)如图①，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是__20°__；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝__120__；当∠BAD＝∠BDA时，x＝__60__．(2)如图②，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．(第17题图)解：(1)①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°.∵AB∥ON，∴∠ABO＝∠BON＝20°.②∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°.∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，∴∠OAC＝120°.∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，∴∠BAD＝80°.∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，∴∠OAC＝60°.(2)①当点D在线段OB上时，若∠BAD＝∠ABD，则x＝20；若∠BAD＝∠BDA，则x＝35；若∠ADB＝∠ABD，则x＝50.②当点D在射线BE上时，∵∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，∴只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125.综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝20，35，50，125.18．(本题6分)如图：已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，求证：AB∥CD.(第18题图)证明：∵BC平分∠ACD，∴∠1＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCD ，∴AB ∥CD (内错角相等，两直线平行)．19．(本题6分)如图，在正方形ABCD 中，点P 在AD 上，且不与A ，D 重合，BP 的垂直平分线分别交CD ，AB 于E ，F 两点，垂足为Q ，过点E 作EH ⊥AB 于点H .(第19题图)(1)求证：HF ＝AP .(2)若正方形ABCD 的边长为12，AP ＝4，求线段EQ 的长解：(1)证明：∵EQ ⊥BO ，EH ⊥AB ，∴∠EQN ＝∠BHM ＝90°.∵∠EMQ ＝∠BMH ，∴△EMQ ∽△BMH ，∴∠QEM ＝∠HBM .∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝90°＝∠ABC ，AB ＝BC .又∵EH ⊥AB ，∴EH ＝BC .∴AB ＝BC .在△APB 与△HFE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABP ＝∠HEF ，∠PAB ＝∠FHE ，AB ＝EH ，∴△APB ≌△HFE ，∴HF ＝AP .(2)由勾股定理，得BP ＝AP 2＋AB 2＝42＋122＝410.∵EF 是BP 的垂直平分线，∴BQ ＝12BP ＝210， ∴QF ＝BQ ·tan ∠FBQ ＝BQ ·tan ∠ABP ＝210×412＝2103.由(1)知，△APB ≌△HFE ，∴EF ＝BP ＝410，∴EQ ＝EF －QF ＝410－2103＝10103. 20．(本题8分)阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图①，在边长为a (a ＞2)的正方形ABCD 各边上分别截取AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝1，当∠AFQ ＝∠BGM ＝∠CHN ＝∠DEP ＝45°时，求正方形MNPQ 的面积．(第20题图)小明发现：分别延长QE ，MF ，NG ，PH 交FA ，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，S ，T ，W ，可得△RQF ，△SMG ，△TNH ，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图②)．请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)，则这个新的正方形的边长为__a __．(2)求正方形MNPQ 的面积．(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③，在等边△ABC 各边上分别截取AD ＝BE ＝CF ，再分别过点D ，E ，F 作BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△RPQ .若S △RPQ ＝33，则AD 的长为__23__． 解：(1)a .(2)∵四个等腰直角三角形面积的和为a 2，正方形ABCD 的面积也为a 2.∴S 正方形MNPQ ＝S △ARE ＋S △BSF ＋S △GCT ＋S △HDW ＝4S △ARE ＝4×12×12＝2. (3)23. 21．(本题8分)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图①，若PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．(1)应用：如图②，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB 的度数．(第21题图)(2)探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长． 解：(1)若PB ＝PC ，连结PB ，则∠PCB ＝∠PBC .∵CD 为等边三角形的高，∴AD ＝BD ，∠PCB ＝30°.∴∠PBD ＝∠PBC ＝30°.∴PD ＝33DB ＝36AB . 这与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB ≠PC . 若PA ＝PC ，连结PA ，同理可得PA ≠PC .若PA ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝BD ， ∴∠DPB ＝45°.故∠APB ＝90°.(第21题图解)(2)∵BC ＝5，AB ＝3，∴AC ＝BC 2－AB 2＝4.①若PB ＝PC ，设PA ＝x ，则x 2＋32＝(4－x )2，x ＝78，即PA ＝78. ②若PA ＝PC ，则PA ＝2.③若PA ＝PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能，故PA ＝2或78. 22．(本题10分)如图①，把边长为4的正三角形各边四等分，连结各分点得到16个小正三角形．(1)如图②，连结小正三角形的顶点得到的正六边形ABCDEF 的周长＝__6__．(2)请你判断：命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是真命题还是假命题？如果是真命题，请你把它改写成“如果…，那么…”的形式；如果是假命题，请在图①中画图说明．(第22题图)解：(1)∵正六边形的各边长都等于1，∴周长＝6×1＝6.(2)命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是假命题，反例如解图①②等．(第22题图解)23．(本题10分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝5，对角线BD 平分∠ABC ，cos C ＝45. (1)求边BC 的长；(2)过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，求tan ∠DAE 的值．(第23题图) (第23题图解)解：(1)过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H .在Rt △CDH 中，由∠CHD ＝90°，CD ＝5，cos C ＝45， 得CH ＝CD ·cos C ＝5×45＝4. ∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD .∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD .∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AD ＝AB ＝5.于是，由等腰梯形ABCD ，可知BC ＝AD ＋2CH ＝13.(2)∵AE ⊥BD ，DH ⊥BC ，∴∠BHD ＝∠AED ＝90°.∵∠ADB ＝∠DBC ，∴∠DAE ＝∠BDH .在Rt △CDH 中，DH ＝CD 2－CH 2＝52－42＝3.在Rt △BDH 中，BH ＝BC －CH ＝13－4＝9.∴tan ∠BDH ＝BH DH ＝93＝3. ∴tan ∠DAE ＝tan ∠BDH ＝3.24．(本题12分)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，sin A ＝45，点E 在AB 上，AE ＝4，过点E 作EF ∥AD ，交CD 于点F .(第24题图)(1)菱形ABCD 的面积为__80__．(2)若点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿着线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点E 出发也以1个单位长度/秒的速度沿着线段EF 向终点F 运动，设运动时间为t (s)．①当t ＝5时，求PQ 的长；②以点P 为圆心，PQ 长为半径的⊙P 是否能与直线AD 相切？如果能，求此时t 的值；如果不能，说明理由． 解：(1)过点B 作BN ⊥AD 于点N ，如解图①.∴BN ＝AB ·sin A ＝10×45＝8， ∴S 菱形ABCD ＝AD ·BN ＝10×8＝80.(第24题图解)(2)①过点P 作PM ⊥EF 于M ，如解图②.由题意可知AE ＝4，AP ＝EQ ＝5，EP ＝AP －AE ＝1.∵EF ∥AD ，∴∠BEF ＝∠A ，∴sin ∠BEF ＝PM EP ＝sin A ＝45，解得PM ＝45. 在Rt △PME 中，EM ＝EP 2－PM 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 则有MQ ＝5－35＝225. 在Rt △PQM 中，PQ ＝PM 2＋MQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2252＝25， 即PQ 的长为2 5.②能．过点P 作PH ⊥AD 于H ，交EF 于G 点，如解图③，(第24题图解)则PH ＝45t ，PE ＝t －4，PG ＝45(t －4)，EG ＝35(t －4)， ∴GQ ＝EQ －EG ＝t －35(t －4)＝25t ＋125， ∴PQ 2＝PG 2＋GQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45t －1652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25t ＋1252. 若以点P 为圆心，PQ 长为半径的⊙P 与直线AD 相切，则PH ＝PQ ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45t －1652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25t ＋1252， 整理，得t 2－20t ＋100＝0，解得t 1＝t 2＝10.此时t 的值为10.。
2019年四川省中考数学真题汇编专题05 三角形
∵AD：DC＝1：2，
∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S 四边形 CDOE＝7S，
∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，
D．2：3
∴
.
故选：B．
6．（2019 四川自贡）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点 C、F 分别 是直线 x＝﹣5 和 x 轴上的动点，CF＝10，点 D 是线段 CF 的中点，连接 AD 交 y 轴于点 E， 当△ABE 面积取得最小值时，tan∠BAD 的值是（ ）
∵tan∠EAO＝
，
∴
，
∴OE＝ ，
∴AE＝
，
作 EH⊥AB 于 H． ∵S△ABE＝ •AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH＝
，
∴AH＝
，
∴tan∠BAD＝
，
故选：B．
二、填空题
7．（2019 四川广安）等腰三角形的两边长分别为 6cm，13cm，其周长为
cm．
【答案】32．
【解析】解：由题意知，应分两种情况：
∴∠BAC＝2∠BAD＝80°
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣80°＝70°
故选：C．
3．（2019 四川南充）如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，
若 BC＝6，AC＝5，则△ACE 的周长为（ ）
A．8
B．11
【答案】B．
【解析】解：∵DE 垂直平分 AB，
故选：C．
2．（2019 四川眉山）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B＝30°，∠ADC
＝70°，则∠C 的度数是（ ）
A．50°
B．60°
中考数学专题训练——专题五三角形的全等(无答案)
专题五全等三角形1、（ 2019?重庆）在△ABC 中，∠ ABM=45°，AM ⊥ BM ，垂足为M ，点 C 是 BM 延伸线上一点，连结AC ．（1）如图 1，若 AB=3 √2，BC=5 ，求 AC 的长；（2）如图 2，点 D 是线段 AM 上一点， MD=MC ，点 E 是△ ABC 外一点， EC=AC ，连结ED 并延伸交BC 于点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证：∠ BDF=∠ CEF．2、（ 2019 重庆）在△ ABC 中，∠ B=45°，∠ C=30°，点 D 是 BC 上一点，连结 AD ，过点 A 作 AG⊥ AD ，在 AG 上取点 F，连结 DF ．延伸 DA 至 E，使 AE=AF ，连结 EG，DG，且GE=DF ．证明： BD 1 CG23、（ 2019 南开三模）如图，已知等腰Rt?ABC ，∠ ACB=90 °， CA=CB，以 BC 为边向外作等边 ?CBD ，连结 AD ，过点 C 作∠ ACB 的角均分线与AD 交于点 E，连结 BE。
（1）若 AE=2，求 CE 的长度（2）以 AB 为边向下作 ?AFB ，∠ AFB=60 °，连结 FE ，求证： FA FB3FE4、（ 2019 一中二模） Rt ABC 中，BAC90 ，以 AC 为边向外作ACD ，为BC上一点，连结AF。
如图 2，若AB AC，F延长DC交AF延伸线于H点，且AHD90 ,BCH CAD ，连结BD交AF于M点。
求证：CD 2MH 。
练习：1、（ 2019八中一模）如图，在菱形ABCD 中，BAD60 ，M为对角线BD延伸线上一点，连结AM 和CM， E 为CM上一点，且知足CB CE ，连结BE，交 CD于点F。
证明： AM CF DM。
2、（ 2019 育才三模）已知等腰 Rt? ABC 与等腰 Rt?CDE ，∠ACB =∠ DCE =90°.把 Rt?ABC 绕点 C 旋转 .当 Rt? ABC旋转到如图 2 所示的地点时，过点 C 作 BD 的垂线交 BD 于点 F ，交 AE 于点 G，求证： BD =2CG.3、（ 2019 巴蜀一模）如图，在等腰直角三角形ABC 中， AB=AC，∠ BAC=90 °，点 D 为 AC上一点，连结 BD ，过 C 点作 BD 的垂线交 BD 的延伸线于点E，连结 AE，过点 A 作 AF ⊥ AE 交 BD 于点 F，连结 CF 。
浙江省2019年中考数学专题复习 专题五 阅读理解型问题训练
专题五 阅读理解型问题类型一 新定义型问题(2018·浙江湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E ，F ，G ，H 都是格点，且四边形EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD 的边长为65，此时正方形EFGH 的面积为5.问：当格点弦图中的正方形ABCD 的边长为65时，正方形EFGH 的面积的所有可能值是____________________(不包括5)．【分析】当DG ＝13，CG ＝213时，满足DG 2＋CG 2＝CD 2，此时HG ＝13，可得正方形EFGH 的面积为13.当DG ＝8，CG ＝1时，满足DG 2＋CG 2＝CD 2，此时HG ＝7，可得正方形EFGH 的面积为49.当DG ＝7，CG ＝4时，此时HG ＝3，四边形EFGH 的面积为9. 【自主解答】1．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知△ABC 是比例三角形，AB ＝2，BC ＝3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；(2)如图1，在四边形ABCD 中，AD∥BC，对角线BD 平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC 是比例三角形． (3)如图2，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求BDAC的值．图1 图2类型二 新知识学习型问题(2018·湖南张家界中考)阅读理解题在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离公式为：d ＝|Ax 0＋By 0＋c|A 2＋B 2， 例如，求点P(1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离． 解：由直线4x ＋3y －3＝0知：A ＝4，B ＝3，C ＝－3，所以P(1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离为：d ＝|4×1＋3×3－3|42＋32＝2. 根据以上材料，解决下列问题：(1)求点P 1(0，0)到直线3x －4y －5＝0的距离；(2)若点P 2(1，0)到直线x ＋y ＋C ＝0的距离为2，求实数C 的值． 【分析】(1)根据点到直线的距离公式即可求解； (2)根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题． 【自主解答】2．(2018·山东济宁中考)知识背景 当a ＞0且x ＞0时，因为(x －a x)2≥0，所以x －2a ＋a x ≥0，从而x ＋ax ≥2a(当x ＝a 时取等号)．设函数y ＝x ＋ax (a ＞0，x ＞0)，由上述结论可知，当x ＝a 时，该函数有最小值为2 a.应用举例已知函数y 1＝x(x ＞0)与函数y 2＝4x (x ＞0)，则当x ＝4＝2时，y 1＋y 2＝x ＋4x 有最小值为24＝4.解决问题(1)已知函数y 1＝x ＋3(x ＞－3)与函数y 2＝(x ＋3)2＋9(x ＞－3)，当x 取何值时，y 2y 1有最小值？最小值是多少？(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x 天，则当x 取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？类型三 迁移发展型问题(2018·山东淄博中考)(1)操作发现：如图1，小明画了一个等腰三角形ABC ，其中AB ＝AC ，在△ABC 的外侧分别以AB ，AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD ，ACE ，分别取BD ，CE ，BC 的中点M ，N ，G ，连结GM ，GN.小明发现了：线段GM 与GN 的数量关系是________________；位置关系是________________． (2)类比思考：如图2，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形，其中AB ＞AC ，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．(3)深入研究：如图3，小明在(2)的基础上，又作了进一步探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【分析】(1)利用S A S判断出△ACD≌△AEB，得出CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，进而判断出∠BD C＋∠DBH＝90°，即∠BHD＝90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)同(1)的方法得出MG＝NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．【自主解答】此类题型要从提供的材料中，通过阅读理解其复杂的思想方法，将其概括成数学模型去解决同类或更高层次的另一类相关命题，在解题过程中，类比材料所给的原有问题，从中将相关的知识、思想方法、解题策略迁移到新的问题中，是解决此类问题的关键所在．3．问题背景：如图1，△AB C为等边三角形，作AD⊥BC于点D，将∠ABC绕点B顺时针旋转30°后，BA，BC边与射线AD 分别交于点E，F，求证：△BEF为等边三角形．迁移应用：如图2，△ABC 为等边三角形，点P 是△ABC 外一点，∠BPC＝60°，将∠BPC 绕点P 逆时针旋转60°后，PC 边恰好经过点A ，探究PA ，PB ，PC 之间存在的数量关系，并证明你的结论； 拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，将∠ABC 绕点B 顺时针旋转到如图所在的位置得到∠MBN，F 是BM 上一点，连结AF ，DF ，DF 交BN 于点E ，若B ，E 两点恰好关于直线AF 对称． (1)证明△BEF 是等边三角形； (2)若DE ＝6，BE ＝2，求AF 的长．类型四 方法模拟型问题(2018·贵州贵阳中考)如图1，在Rt △ABC 中，以下是小亮探究asin A 与b sin B 之间关系的方法：∵sin A ＝a c ，sin B ＝bc ，∴c＝asin A ，c ＝b sin B ， ∴asin A ＝b sin B. 根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC 中，探究asin A ，b sin B ，c sin C 之间的关系，并写出探究过程．图1 图2【分析】三式相等，理由为：过A 作AD⊥BC，过点B 作BE⊥AC，在Rt △ABD 中，利用锐角三角函数定义表示出AD ，在Rt △ADC 中，利用锐角三角函数定义表示出AD ，两者相等即可得证． 【自主解答】4．(2018·山西中考)综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，E 是AB 延长线上一点，且BE ＝AB ，连结DE ，交BC 于点M ，以DE 为一边在DE 的左下方作正方形DEFG ，连结AM.试判断线段AM 与DE 的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分DE ，并展示了如下的证明方法： 证明：∵BE＝AB ，∴AE＝2AB. ∵AD＝2AB ，∴AD＝AE.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC. ∴EM DM ＝EBAB.(依据1) ∵BE＝AB ，∴EMDM ＝1.∴EM＝DM.即AM 是△ADE 的DE 边上的中线， 又∵AD＝AE ，∴AM⊥DE.(依据2) ∴AM 垂直平分DE. 反思交流：(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连结CE ，以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ，发现点G 在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明； 探索发现：(3)如图3，连结CE ，以CE 为一边在CE 的右上方作正方形CEFG ，可以发现点C ，点B 都在线段AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．参考答案类型一【例1】 当DG ＝13，CG ＝213时，满足DG 2＋CG 2＝CD 2，此时HG ＝13，可得正方形EFGH 的面积为13. 当DG ＝8，CG ＝1时，满足DG 2＋CG 2＝CD 2，此时HG ＝7，可得正方形EFGH 的面积为49. 当DG ＝7，CG ＝4时，此时HG ＝3，四边形EFGH 的面积为9.故答案为9，13和49. 变式训练1．解：(1)∵△ABC 是比例三角形，且AB ＝2，BC ＝3， ①当AB 2＝BC·AC 时，得4＝3AC ，解得AC ＝43；②当BC 2＝AB·AC 时，得9＝2AC ，解得AC ＝92；③当AC 2＝AB·BC 时，得AC 2＝6，解得AC ＝6(负值舍去)， ∴当AC ＝43或92或6时，△ABC 是比例三角形．(2)∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD. 又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA， ∴BC CA ＝CA AD，即CA 2＝BC·AD. ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD. ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD ， ∴CA 2＝BC·AB， ∴△ABC 是比例三角形．(3)如图，过点A 作AH⊥BD 于点H.∵AB＝AD ，∴BH＝12BD.∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°， ∴∠BHA＝∠BCD＝90°. 又∵∠ABH＝∠DBC， ∴△ABH∽△DBC， ∴AB DB ＝BHBC，即AB·BC＝BH·DB，∴AB·BC＝12BD 2.又∵AB·BC＝AC 2， ∴12BD 2＝AC 2，∴BD AC ＝ 2. 类型二【例2】 (1)d ＝|3×0－4×0－5|32＋42＝1. (2)2＝|1×1＋1×0＋C|2，∴|C＋1|＝2，∴C＋1＝±2，∴C 1＝－3，C 2＝1. 变式训练2．解：(1)y 2y 1＝（x ＋3）2＋9x ＋3＝(x ＋3)＋9x ＋3，∴当x ＋3＝9x ＋3时，y 2y 1有最小值，∴x＝0或－6(舍弃)时，有最小值6.(2)设该设备平均每天的租赁使用成本为w 元， 则w ＝490＋200x ＋0.001x2x＝490x＋0.001x ＋200， ∴当490x＝0.001x 时，w 有最小值，∴x＝700或－700(舍弃)时，w 有最小值，最小值为201.4元． 类型三【例3】 (1)MG ＝NG MG⊥NG 如图，连结BE ，CD 相交于H.∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠CAD＝∠BAE， ∴△ACD≌△AEB(SAS)， ∴CD＝BE ，∠ADC＝∠ABE，∴∠BDC＋∠DBH＝∠BDC＋∠ABD＋∠ABE＝∠BDC＋∠ABD＋∠ADC＝∠ADB＋∠ABD＝90°， ∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE. ∵点M ，G 分别是BD ，BC 的中点， ∴MG 綊12CD.同理NG 綊12BE ，∴MG＝NG ，MG⊥NG，∴MG＝NG ，MG⊥NG.(2)连结CD ，BE 相交于点H ，同(1)的方法得MG ＝NG ，MG⊥NG. (3)如图，连结EB ，DC ，延长线相交于H ，同(1)的方法得MG ＝NG ， 同(1)的方法得△ABE≌△ADC， ∴∠AEB＝∠ACD，∴∠CEH＋∠ECH＝∠AEH－∠AEC＋180°－∠ACD－∠ACE＝∠ACD－45°＋180°－∠ACD－45°＝90°， ∴∠DHE＝90°， 同(1)的方法得MG⊥NG， ∴△GMN 是等腰直角三角形． 变式训练3．解：问题背景：证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴AB＝AC ＝BC ，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°. 由题意得∠ABE＝30°，∠EBF＝60°， ∴∠EBD＝∠FBD＝30°. ∵BD⊥AD，∴∠BED＝60°， ∴△BEF 为等边三角形． 迁移应用：PC ＝PA ＋PB.证明：如图，在PC 上截取PG ＝PB ，连结BG.∵∠BPC＝60°，∴△BPG 为等边三角形，∴BG＝BP ，∠PBG＝60°，PB ＝BG ，∴∠PBA＋∠ABG＝∠ABG＋∠GBC＝60°，∴∠PBA＝∠GBC.又AB ＝BC ，∴△APB≌△CBG，∴PA＝GC ，∴PC＝PG ＋CG ＝PB ＋PA.拓展延伸：(1)如图，∵B，E 两点关于直线AF 对称，∴FE＝FB.∵∠EBF＝60°，∴△BEF 是等边三角形．(2)由(1)知，△BEF 是等边三角形，如图，连结AE ，过点A 作AH⊥DE 于点H.∵B，E 两点关于直线AF 对称，∴AE＝AB.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝AD ，∴A E ＝AD ，∴DH＝HE ＝12DE ＝3，∴HF＝HE ＋EF ＝3＋2＝5.由(1)知，△BEF 是等边三角形，FA⊥EB，∴∠EFA＝12∠EFB＝30°.在Rt△AHF 中，cos∠HFA＝HF AF ＝32， ∴AF＝HFcos 30°＝103＝1033.类型四 【例4】 a sin A ＝b sin B ＝csin C .理由如下：如图，过A 作AD⊥BC，过点B 作BE⊥AC.在Rt△ABD 中，sin B ＝AD c ， 即AD ＝csin B ，在Rt△ADC 中，sin C ＝AD b， 即AD ＝bsin C ，∴csin B＝bsin C ，即b sin B ＝c sin C， 同理可得a sin A ＝c sin C， 则a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 变式训练4．解：(1)①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例)． 依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”)． ②点A 在线段GF 的垂直平分线上．(2)证明：如图，过点G 作GH⊥BC 于点H.∵四边形ABCD 是矩形，点E 在AB 的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90°，∴∠BCE＋∠BEC＝90°.∵四边形CEFG 为正方形，∴CG＝CE ，∠GCE＝90°，∴∠BCE ＋∠BCG＝90°，∴∠BEC＝∠BCG，∴△GHC≌△CBE，∴HC＝BE.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB ，BE ＝AB ，∴BC＝2BE＝2HC，∴HC＝BH，∴GH垂直平分BC，∴点G在BC的垂直平分线上．(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上)．证明：如图，过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N.∴∠BMN＝∠ENM＝∠ENF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝90°，∴四边形BENM为矩形．∴BM＝EN，∠BEN＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵四边形CEFG为正方形，∴EF＝EC，∠CEF＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵∠CBE＝∠ENF＝90°，∴△ENF≌△EBC，∴NE＝BE，∴BM＝BE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，AB＝BE，∴BC＝2BM，∴BM＝MC，∴FM垂直平分BC，∴点F在BC边的垂直平分线上．。
福建省福州市2019年中考数学复习第五章四边形第二节矩形菱形正方形同步训练
第二节矩形、菱形、正方形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2018·重庆A卷)下列命题正确的是( )A．平行四边形的对角线互相垂直平分B．矩形的对角线互相垂直平分C．菱形的对角线互相平分且相等D．正方形的对角线互相垂直平分2．(2018·舟山)用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )3．(2018·日照)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( )A．AB＝AD B．AC＝BDC．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO第3题图4．(2018·湘潭)如图，已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形5．(2018·陕西)如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG 、GH 和HE ，若EH ＝2EF ，则下列结论正确的是( )A ．AB ＝2EF B ．AB ＝3EFC ．AB ＝2EFD ．AB ＝5EF6．(2018·恩施州) 如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边的中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点，已知 FG ＝2，则线段 AE 的长度为( )A ．6B. 8 C ．10 D ．127．(2018·内江)如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ，已知∠BDC ＝62°，则∠DFE 的度数为( )A ．31°B ．28°C ．62°D ．56°8．(2018·天水)如图所示，点O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，OE ∥AB 交AD 于点E.若OE ＝3，BC ＝8，则OB 的长为( )A ．4B ．5C.342D.349．(2018·兰州)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，BE ∥DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是( )A.7B. 3C. 7D. 5 10．(2018·宿迁)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD ＝60°，则△OCE 的面积是( )A.3B ．2C. 2 3D ．411．(2017·黔东南州)如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，FE ⊥AB ，AF ＝2AE ，FC 交BD 于O ，则∠DOC 的度数为( )A. 60°B. 67.5°C. 75°D. 54°12．(2018·龙东)如图，在平行四边形ABCD 中，添加一个条件________， 使平行四边形ABCD 是矩形．13．(2018·南通)如图，在△ABC 中，AD ，CD 分别平分∠BAC 和∠ACB ，AE ∥CD ，CE ∥AD ，若从三个条件：①AB ＝AC ；②AB ＝BC ；③AC ＝BC 中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE 为菱形的是________(填序号)．14．(2018·湖州)如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，若tan ∠BAC ＝13，AC ＝6，则BD 的长是________．15．(2018·天水)如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为________．16．(2018·黔南州) 已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是________．17．(2017·丹东)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN，若MN＝1，BD＝23，则菱形的周长为________．18．(2018·深圳)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB ＝4，则阴影部分的面积是________．19．(2018·南平质检)如图，正方形ABCD的面积为18，菱形AECF的面积为6，则菱形的边长为________．20．(2018·莆田质检)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝5，AE＝4，则正方形EFGH的面积为________．21．(2018·郴州)如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD、BC于E、F，连接BE，DF.求证：四边形BFDE是菱形．22．(2018·舟山) 如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．23．(2018·建设兵团)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．24．(北师九上P27第11题改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE.过点C作BD的平行线交线段OE的延长线于点F，连接DF.求证：(1)△ODE≌△FCE；(2)四边形CODF是菱形．25．(2018·南通)如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F.(1)求证：CF＝AB；(2)连接BD、BF，当∠BCD＝90°时，求证：BD＝BF.26．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝5，BD＝2，求OE的长．1．(2018·建设兵团)如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是AB 、BC 边的中点，则MP ＋PN 的最小值是( )A.12B ．1C. 2D ．22．(2018·武汉)以正方形ABCD 的边AD 作等边△ADE ，则∠BEC 的度数是________．3．(2018·青岛)已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________．4．(2018·厦门质检)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O. (1)AB ＝2，AO ＝5，求BC 的长；(2)∠DBC ＝30°，CE ＝CD ，∠DCE ＜90°，若OE ＝22BD ，求∠DCE 的度数．5.(2018·扬州)如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC＝10，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．6. (2018·白银)已知矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点.(1)求证：△BGF ≌△FHC ；(2)设AD ＝a ，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．参考答案【基础训练】1．D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.D 7.D 8.B 9.C 10.A11．A【解析】如解图，连接BF ，∵点E 为AB 的中点，∴AB ＝2AE ，∵AF ＝2AE ，∴cos ∠FAE ＝12，∴∠FAE ＝60°，∴△ABF 是等边三角形，∴∠ABF ＝60°，BF ＝AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠FBC ＝∠ABF ＋∠ABC ＝150°，BF ＝BC ，∴∠BCF ＝∠BFC ＝12×(180°－150°)＝15°，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠DBC ＝45°，∴∠DOC ＝∠DBC ＋∠BCF ＝45°＋15°＝60°.12．AC ＝BD(答案不唯一) 13.② 14.2 15.24516.2 3 17．8 18.8 19.10 20.121．证明：∵EF 垂直平分BD ，∴EB ＝ED ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠EBD ＝∠FBD ，∴△EBO ≌△FBO ，∴EO ＝OF ，∴EF 与BD 互相垂直平分，∴四边形BFDE 是菱形．22．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°，又∠CEF ＝45°，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°，∴∠AFD ＝∠AEB ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE ≌△ADF(AA S )，∴AB ＝AD ，∴矩形ABCD 是正方形．23．(1)证明：∵ ▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF.在△DOE 与△BOF 中，∵⎩⎨⎧OD ＝OB ，∠DOE ＝∠BOF ，OE ＝OF ，∴△DOE ≌△BOF ；(2)解：四边形EBFD 是矩形．理由：∵OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BD ＝EF ，∴ ▱EBFD 是矩形．24．证明：(1)∵CF ∥BD ，∴∠ODE ＝∠FCE ，∵E 是CD 的中点，∴CE ＝DE ，在△ODE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠ODE ＝∠FCE ，DE ＝CE ，∠DEO ＝∠CEF ，∴△ODE ≌△FCE(A S A)；(2)由(1)知△ODE ≌△FCE.∴OD ＝FC ，∵CF ∥BD ，∴四边形CODF 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝OD ，∴四边形CODF 是菱形．25．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DF ，∴∠BAE ＝∠CFE ，∵BE ＝CE ，∠AEB ＝∠CEF ，∴△AEB ≌△FEC ，∴AB ＝CF.(2)连接AC.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ，∵AB ＝CF ，AB ∥CF ，∴四边形ACFB 是平行四边形，∴BF ＝AC ，∴BD ＝BF.26．(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠CAB ＝ ∠ACD.∵AC 平分∠BAD ，∴∠CAB ＝∠CAD ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴ AD ＝CD.又∵AD ＝AB ，∴AB ＝CD.又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB ＝AD ，∴▱ABCD 是菱形．(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O.∴AC ⊥BD.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ＝1， 在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90° .∴OA ＝AB 2－OB 2＝2.∵CE ⊥AB ，∴∠AEC ＝90°.在Rt △AEC 中，∵∠AEC ＝90°，O 为AC 的中点．∴OE ＝12AC ＝OA ＝2. 【拔高训练】1．B2．30°或150° 【解析】 分两种情况：①如解图①，等边△ADE 在正方形ABCD 内部：∠CDE ＝∠CDA －∠ADE ＝90°－60°＝30°，∵CD ＝DE ，∴∠DCE ＝75°，∴∠ECB ＝15°，同理可得∠EBC ＝15°，∴∠BEC ＝150°.②如解图②，等边△ADE 在正方形ABCD 外部：∠CDE ＝∠CDA ＋∠ADE ＝90°＋60°＝150°，∵CD ＝DE ，∴∠CED ＝15°，同理∠AEB ＝15°，∴∠BEC ＝∠AED －∠CED －∠AEB ＝60°－15°－15°＝30°.第2题解图① 第2题解图② 3.342【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°.又∵AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF ，∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠ABE ＋∠AEB ＝180°－∠BAE ＝180°－90°＝90°，∴∠DAF ＋∠AEB＝90°，∴∠AGE ＝180°－90°＝90°，∴∠BGF ＝90°.在Rt △BGF 中，点H 为BF 的中点，∴GH ＝12BF.在Rt △BFC 中，BC ＝5，CF ＝CD －DF ＝5－2＝3，根据勾股定理得BF ＝52＋32＝34，∴GH ＝34. 4．解： (1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2AO ＝2 5.在Rt △ACB 中，BC ＝AC 2－AB 2＝4.(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DCB ＝90°，BD ＝2OD ，AC ＝2OC ，AC ＝BD.∴OD ＝OC ＝12BD. ∵∠DBC ＝30°，∴在Rt △BCD 中，CD ＝12BD. ∵CE ＝CD ，∴CE ＝12BD.∵OE ＝2BD ，∴在△OCE 中，OE 2＝12BD 2.又∵OC 2＋CE 2＝14BD 2＋14BD 2＝12BD 2，∴OC 2＋CE 2＝OE 2，∴∠OCE ＝90°.∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝60°.∴∠DCE ＝∠OCE －∠OCD ＝30°.5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠ADE ＝∠BED.∵点F 是AB 的中点，∴AF ＝BF ，又∵∠AFD ＝∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD ＝BE ，又∵AD ∥BC ，∴四边形AEBD 是平行四边形．∵DA ＝DB ，∴平行四边形AEBD 是菱形；(2)∵平行四边形AEBD 是菱形，∴AB ⊥ED.∵AB ∥CD ，∴ED ⊥CD.在Rt △CDE 中，tan ∠DCB ＝3，DC ＝10，∴DE ＝310， ∵AB ＝CD ＝10，∴菱形AEBD 的面积＝12AB ·ED ＝12×10×310＝15.6．(1)证明：∵点F ，H 分别是BC ，CE 的中点，∴FH ∥BE ，FH ＝12BE.∴∠CFH ＝∠CBG.又∵点G 是BE 的中点，∴FH ＝BG.又∵BF ＝CF ，∴△BGF ≌ △FHC.(2)解：当四边形EGFH 是正方形时，可知EF ⊥GH 且EF ＝GH. ∵在△BEC 中，点G ，H 分别是BE ，EC 的中点，∴ GH ＝12BC ＝12AD ＝12a ，且GH ∥BC ，∴EF ⊥BC.又∵AD ∥BC, AB ⊥BC ，∴AB ＝EF ＝GH ＝12a ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·AD ＝12a ·a ＝12a 2.。
2019年山东省中考数学真题分类汇编 专题05 四边形 (原卷版)
A．OM＝12B．MB＝MO（（专题05四边形一、选择题1．（2019山东淄博）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2C．22D．62．（2019山东临沂）如图，在平行四边形A BCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）AC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND3．2019山东枣庄）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF 的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（）A．4B．25C．6D．264．（2019山东威海）如图，E是ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD5．2019山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为△x，ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）4四边形NFB =1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是A．B．C．D．6．（2019山东菏泽）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为△xs，APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．7．（2019山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．2D．228．（2019山东德州）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB=1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接CM．有如下结论：①DE=AF；②AN=2AB；③∠ADF=∠GMF；④△SANF：SC（）A.①②B.①③C.①②③D.②③④二、填空题9．（2019山东济宁）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是．10．（2019山东枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．11．（2019山东威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝．D CEA B12．（2019山东威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD．若∠ACB＝90°，AC＝BC，AB ＝BD，则∠ADC＝°．13．（2019山东菏泽）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．14．（2019 山东青岛）如图，在正方形纸片 A BCD 中，E 是 CD 的中点，将正方形纸片折叠，点 B 落在线段AE 上的点 G 处，折痕为 AF ．若 AD ＝4cm ，则 CF 的长为cm ．15．（2019 山东泰安）如图，矩形 ABCD 中，AB ＝36 ，BC ＝12，E 为 AD 中点，F 为 AB 上一点，将△AEF 沿 EF 折叠后，点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处，则折痕 EF 的长是 ．16．（2019 山东滨州）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC ，BD 交于点 O ，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E ，交 BD 于点 F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接 OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4△S OCF ；③AC ：BD ＝ 21 ：7；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）DCOFAEB17．（2019 山东潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AD ＝2．将∠A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A ′，折痕为 DE ．若将∠B 沿 EA ′向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B ′，则 AB ＝ ．（18．（2019 山东泰安）在平面直角坐标系中，直线 l ：y ＝x +1 与 y 轴交于点 A 1，如图所示，依次作正方形OA 1B 1C 1，正方形 C 1A 2B 2C 2，正方形 C 2A 3B 3C 3，正方形 C 3A 4B 4C 4，……，点 A 1，A 2，A 3，A 4，……在直线 l 上，点 C 1，C 2，C 3，C 4，……在 x 轴正半轴上，则前 n 个正方形对角线长的和是．三、解答题19．（2019 山东菏泽）如图，四边形 ABCD 是矩形．（1）用尺规作线段 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 E ，交 CD 于点 F （不写作法，保留作图痕迹）；（2）若 BC ＝4，∠BAC ＝30°，求 BE 的长．20．（2019 山东枣庄）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，∠CBD ＝75°，（1）请用尺规作图法，作 A B 的垂直平分线 EF ，垂足为 E ，交 AD 于 F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接 BF ，求∠DBF 的度数．21． 2019 山东青岛）如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ，F 分别为 OB ，OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．（△1）求证： ABE ≌△CDF ；（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由．22．（2019山东滨州）如图，矩形A BCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．23．（2019山东聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（△1）ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．24．（2019山东泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．25．（2019山东泰安）如图，四边形A BCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．26．（2019山东潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH ∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（△1）求证：AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．27．（2019山东临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接△AE，将ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．28．（2019山东威海）如图，在正方形A BCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．（1）求证：CE＝EF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（△3）求BEF面积的最大值．29．（2019山东潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接△EH．当HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．30．（2019山东济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠D MN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点△M，使D MN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．31．（2019山东德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）t （（2）将图 1 中的菱形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图 2，求 HD ：GC ：EB ；（3）把图 2 中的菱形都换成矩形，如图 3，且 AD ：AB =AH ：AE =1：2，此时 HD ：GC ：EB 的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．32．（2019 山东淄博）如图 1，正方形 ABDE 和 BCFG 的边 AB ，BC 在同一条直线上，且 AB ＝2BC ，取EF 的中点 M ，连接 MD ，MG ，MB ．（1）试证明 DM ⊥MG ，并求MB的值．MG（2）如图 2，将图 1 中的正方形变为菱形，设∠EAB ＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中 值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 α 的式子表示）；若无变化，说明理由．MBMG的33．（2019 山东青岛）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACB ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，OD 垂直平分 AC ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P 作 PE ⊥AB ，交 BC于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ，OD 于点 F ，G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 （s ） 0＜t ＜5），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在∠BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S （cm 2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．。
2019年中考数学复习第5章图形的相似与解直角三角形第20课时锐角三角函数与解直角三角形精讲试题word版本
第20课时锐角三角函数与解直角三角形题号,30三角形一般与圆综合考查毕节中考真题试做30°,45°,60°角的三角函数值1.(2018·毕节中考)计算：⎝⎛⎭⎪⎫－13－1－12＋3 tan 30°－(π－3)0＋||1－3.解：原式＝(－3)－23＋3×33－1＋(3－1)＝－3－23＋3－1＋3－1＝－5.解直角三角形2.(2017·毕节中考)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥DC,垂足为点E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5,AB＝8,sin D＝45,求AF的长.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB ∥CD,AD ∥BC,AD ＝BC. ∴∠D ＋∠C ＝180°,∠ABF ＝∠BEC. ∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°,∠AFE ＝∠D, ∴∠C ＝∠AFB. ∴△ABF ∽△BEC ； (2)解：∵AE ⊥DC,AB ∥DC, ∴∠AED ＝∠BAE ＝90°.在Rt △ADE 中,AE ＝AD·sin D ＝5×45＝4.在Rt △ABE 中,根据勾股定理,得 BE ＝AE2＋AB2＝42＋82＝4 5. ∵△ABF ∽△BEC, ∴AF BC ＝AB BE , 即AF 5＝845,∴AF ＝2 5.毕节中考考点梳理锐角三角函数的概念特殊角的三角函数值\ 锐角α α解直角三角形1.(2018·柳州中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,BC ＝4,AC ＝3,则sin B ＝ACAB ＝( A )A .35B .45C .37D .34(第1题图)(第3题图)2.若∠A＋∠B ＝90°,则下列各式成立的是( D )A .sin A ＝cos AB .tan A ＋tan B ＝1C .sin A ＝sin BD .sin A ＝cos B3.(2018·广州中考)如图,旗杆高AB ＝8 m ,某一时刻,旗杆影子长BC ＝16 m ,则tan C ＝__12__.4.(2018·滨州中考)在△ABC 中,∠C ＝90°,若tan A ＝12,则sin B ＝55.(2018·贵阳中考)如图①,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究a sin A 与bsin B之间关系的方法：∵sin A ＝a c ,sin B ＝bc,∴c ＝a sin A ,c ＝bsin B ,∴a sin A ＝b sin B. 根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角△ABC 中,探究a sin A ,b sin B ,c sin C之间的关系,并写出探究过程.解：a sin A ＝b sin B ＝c sin C .证明如下：过A 作AD ⊥BC 于点D,过B 作BE ⊥AC 于点E.在Rt △ABD 中,sin B ＝ADc ,即AD ＝c si n B.在Rt △ADC 中,sin C ＝ADb ,即AD ＝b sin C.∴c sin B ＝b sin C,即b sin B ＝csin C .同理可得a sin A ＝csin C ,则a sin A ＝b sin B ＝csin C.6.(2018·遵义中考)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC 与地面保持垂直,吊臂AB 与水平线的夹角为64°,吊臂底部A 距地面1.5 m .(计算结果精确到0.1 m ,参考数据sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05)(1)当吊臂底部A 与货物的水平距离AC 为5 m 时,吊臂AB 的长为______m ； (2)如果该吊车吊臂的最大长度AD 为20 m ,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)解：(1)在Rt △ABC 中,∠BAC ＝64°,AC ＝5, ∴AB ＝ACcos 64°≈5÷0.44≈11.4.∴吊臂AB 的长为11.4 m .故应填：11.4； (2)过点D 作DH ⊥地面于点H,交水平线于点E.在Rt △ADE 中,AD ＝20,∠DAE ＝64°,EH ＝1.5,∴DE ＝sin 64°×AD ≈20×0.90＝18.0,即DH ＝DE ＋EH ≈18.0＋1.5＝19.5.答：从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m .中考典题精讲精练30°,45°,60°角的三角函数值例1 (2018·广安中考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋|3－2|－12＋6 cos 30°＋(π－3.14)0.【解析】对照30°,45°,60°角的三角函数值表,然后按照实数的运算方法计算出结果.【答案】解：原式＝9＋2－3－23＋6×32＋1＝12.解直角三角形例2 (2018·潍坊中考)如图,点M 是正方形ABCD 边CD 上一点,连接AM,作DE ⊥AM 于点E,BF ⊥AM 于点F,连接BE.(1)求证：AE ＝BF ；(2)已知AF ＝2,四边形ABED 的面积为24,求∠EBF 的正弦值.【解析】(1)由正方形的性质,可得BA ＝AD,∠BAD ＝90°.由DE ⊥AM,BF ⊥AM,可得∠ABF ＝∠DAE.对于△ABF 和△DAE,可由AAS 得到△ABF ≌△DAE,结论可证；(2)设AE ＝x,由(1)中结论可得BF ＝x,DE ＝AF ＝2.利用S 四边形ABED＝S △ABE ＋S △ADE 可列方程求出x 得到EF 的长.在Rt △BFE 中利用勾股定理可求出BE 的长.最后利用正弦的定义可求结果.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形, ∴BA ＝AD,∠BAD ＝90°. ∵DE ⊥AM 于点E,BF ⊥AM 于点F, ∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°,∴∠ABF ＋∠BAF ＝90°,∠DAE ＋∠BAF ＝90°, ∴∠ABF ＝∠DAE. 在△ABF 和△DAE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB＝∠DEA，∠ABF＝∠DAE，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(AAS ),∴BF ＝AE ； (2)解：设AE ＝x,则BF ＝x,DE ＝AF ＝2. ∵四边形ABED 的面积为24, ∴12·x·x ＋12·x·2＝24, 解得x 1＝6,x 2＝－8(舍去),∴EF ＝x －2＝4. 在Rt △BEF 中,BE ＝42＋62＝213, ∴sin ∠EBF ＝EF BE ＝4213＝21313.解直角三角形的应用例3 (2018·烟台中考)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速.如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40 km /h .数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A,B 两点,并在AB 路段进行区间测速.在l 外取一点P,作PC ⊥l,垂足为点C.测得PC ＝30 m ,∠APC ＝71°,∠BPC ＝35°.上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6 s ,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70,sin 71°≈0.95,cos 71°≈0.33,tan 71°≈2.90)【解析】先根据角的正切分别得出AC ＝PC tan ∠APC,BC ＝PC tan ∠BPC,再根据线段的和与差得出AB 的长,继而根据速度＝路程时间,求得该车通过AB 路段的车速.若该车通过AB 路段的车速超过40 km /h ,则该车超速；否则,该车没有超速.【答案】解：在Rt △APC 中,AC ＝PC tan ∠APC ＝30 tan 71°≈30×2.90＝87. 在Rt △BPC 中,BC ＝PC tan ∠BPC ＝30 tan 35°≈30×0.70＝21, 则AB ＝AC －BC ＝87－21＝66, ∴该汽车的实际速度为666＝11(m /s ).又∵40 km /h ≈11.1 m /s ,11<11.1, ∴该车没有超速.1.计算：|－2|－(2 019＋2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋2 cos 30°－27.解：原式＝2－1＋2＋2×32－33＝3＋3－3 3 ＝3－2 3.2.如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,点D 为边AC 的中点,DE ⊥BC 于点E,连接BD,则tan ∠DBC 的值为( A )A .13B .2－1C .2－ 3D .143.(2018·扬州中考)如图,在平行四边形ABCD 中,DB ＝DA,点F 是AB 的中点,连接DF 并延长,交CB 的延长线于点E,连接AE.(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)若DC ＝10,tan ∠DCB ＝3,求菱形AEBD 的面积. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥CE,∴∠DAF ＝∠EBF. ∵∠AFD ＝∠BFE,AF ＝FB, ∴△AFD ≌△BFE,∴AD ＝BE.∵AD ∥EB,∴四边形AEBD 是平行四边形. 又∵DB ＝DA,∴四边形AEBD 是菱形； (2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CD ＝AB ＝10,AB ∥CD, ∴∠ABE ＝∠DCB,∴tan ∠ABE ＝tan ∠DCB ＝3. ∵四边形AEBD 是菱形, ∴AB ⊥DE,AF ＝FB,EF ＝DF, ∴tan ∠ABE ＝EFBF ＝3.∵BF ＝102,∴EF ＝3102,∴DE ＝310. ∴S 菱形AEBD ＝12AB·D E ＝1210×310＝15.4.如图,一块三角形空地上种植草皮绿化,已知AB ＝20 m ,AC ＝30 m ,∠A ＝150°,草皮的售价为a 元/m 2,则购买草皮至少需要( C )A .450a 元B .225a 元C .150a 元D .300a 元(第4题图)(第5题图)5.一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 m ,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是( B )A .斜坡AB 的坡度是10° B .斜坡AB 的坡度是tan 10°C .AC ＝1.2 tan 10° mD.AB＝1.2cos 10°m6.(2018·重庆中考A卷)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7 m,升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75,坡长CD＝2 m,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1 m,则旗杆AB的高度约为(参考数据：sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.6)( B )A.12.6 mB.13.1 mC.14.7 mD.16.3 m。
专题05一次函数的图象和性质(讲)-2019年中考数学二轮复习(原卷版)
备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题5 一次函数的图象和性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）概念1、一次函数：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数.正比例函数：特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）.这时，y 叫做x 的正比例函数.（二）函数的图象1.一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线（三）函数图象的主要特征一次函数b kx y +=的图象是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图象是经过原点（0，0）的直线；|k|越大，直线越陡，|k|越小直线越缓.（四）函数的性质1.正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小.2.一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质：（1）当k ＞0时，y 随x 的增大而增大（2）当k ＜0时，y 随x 的增大而减小（五）函数解析式的确定待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.二讲题型——题型解析（一）对一次函数图象与系数的关系的考查.例1、如图，直线m ⊥n ，在某平面直角坐标系中，x 轴∥m ，y 轴∥n ，点A 的坐标为（－4，2），点B 的坐标为（2，－4），则坐标原点为（ ）A ．O 1B ．O 2C ．O 3D ．O 4 （二）对一次函数图象与几何变换的考查.例2、如图示直线33y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当直线绕着点A 按顺时针方向旋转到与x 轴首次重合时，点B 运动的路径的长度为 ．（三）对两条直线相交或平行的考查例3、如图，已知直线l 1：y =﹣2x +4与直线l 2：y =kx +b （k ≠0）在第一象限交于点M ．若直线l 2与x 轴的交点为A （﹣2，0），则k 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜k ＜2B ．﹣2＜k ＜0C ．0＜k ＜4D ．0＜k ＜2（四） 对点的坐标规律的考查例4、如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线33y x=-上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O1的位置，使点O1的对应点O2落在直线33y x=-上，依次进行下去…若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为．例5如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线32y x=于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线32y x=于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为．（五）对函数图象上线段、距离最短的考查例6如图，直线243y x=+与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A ．（﹣3，0）B ．（﹣6，0）C ．（32-，0）D ．（52-，0） （六）对线段、面积计算的考查例7、如图，过点A （2，0）作直线l ：33y x =的垂线，垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2016A 2107的长为（ ）A ．20153()2B ．20163()2C ．20173()2D ．20183()2 （七）一次函数与几何的综合问题例8如图，已知一次函数443y x =-+的图象是直线l ，设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ． （1）求线段AB 的长度；（2）设点M 在射线AB 上，将点M 绕点A 按逆时针方向旋转90°到点N ，以点N 为圆心，NA 的长为半径作⊙N ．①当⊙N 与x 轴相切时，求点M 的坐标；②在①的条件下，设直线AN 与x 轴交于点C ，与⊙N 的另一个交点为D ，连接MD 交x 轴于点E ，直线m 过点N 分别与y 轴、直线l 交于点P 、Q ，当△APQ 与△CDE 相似时，求点P 的坐标．三讲方法——方法点睛（一）解决有关函数的问题主要要结合图象进行（1）正比例函数图象上点的纵坐标y与横坐标x之比，是固定不变的，等于常量k.图象在横轴上方的部分都有y>0；在横轴下方的部分都有y<0；与横轴的交点都有y=0.（2）直线y=kx+b（k≠0)与直线y=kx平行，是由直线y=kx平移不|b|个单位得到的，平移的方向，当b>0时，向上；当b<0时，向下.（3）对于一次函数的一次项系数k，当k>0时，y随x的增大而增大，从左向右看，直线呈上升趋势，当k<0时，y随x的增大而减小，从左向右看，直线呈下降趋势．（二）运用待定系数法时，常用的方法是：按所求的函数类型，设也解析式；把题目中提供的坐标代入所设解析式中；解这个方程或者方程组；解这个方程或方程组，得到待定系数的值；将求出的结果代入所设的解析式中，得到函数解析式.通常，有几个待定系数，就要列几个方程，也就需要几个点的坐标.（三）解决两个函数图象在同一坐标系中表示的时候，要注意相同字母的取值是一样的，解选择题时，通常用排除法.四练实题——随堂小练1.已知点A在函数11yx=-（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2.当12≤X≤2时，函数y=2x+b的图象上到少有一个点在函数1yx=的图象下方，则b的取值范围为（）A．b≥22B．b＜92C．b＜3D．22＜b＜923.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是A. B.C. D.4.规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．5.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将沿直线AB翻折，得，则点C的坐标为________．6.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A n的坐标是．7.如图，在平面直角坐标系中，直线l：33y x=与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结P A，PC，若∠CP A=∠ABO，则m的值是．9．如图，一次函数364y x=+的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．五练原创——预测提升1．已知函数y=ax+b 经过（2，4），（1，﹣1），则a ﹣b=（ ）A ．1B ．﹣5C ．5D ．112．如图，函数y=x 和y=ax+3的图象相交于点A （m ，4），则不等式x≥ax+3的解集为（ ）A ．x≥4B ．x≤4C ．x≤2D ．x≥23． 已知直线l 1：y =﹣3x +b 与直线l 2：y =﹣kx +1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组31x y b kx y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ） A ．12x y =⎧⎨=-⎩ B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．12x y =-⎧⎨=⎩ 4．如图，已知直线l ：y =2x ，分别过x 轴上的点A 1（1，0）、A 2（2，0）、…、A n （n ，0），作垂直于x 轴的直线交l 于点B 1、B 2、…、B n ，将△OA 1B 1，四边形A 1A 2B 2B 1、…、四边形A n ﹣1A n B n B n ﹣1的面积依次记为S 1、S 2、…、S n ，则S n =（ ）A ．n 2B ．2n +1C ．2nD ．2n ﹣15. 如图所示，已知点C （1，0），直线y =﹣x +7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是 ．6. 如图，点A 的坐标为（﹣4，0），直线3y x n =+与坐标轴交于点B 、C ，连接AC ，如果∠ACD =90°，则n 的值为 ．7. 直线y =kx +b 与抛物线214y x =交于A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）两点，当 OA ⊥OB 时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为 ．8.在平面直角坐标系xOy 中，直线()y kx 4k 0=+≠与y 轴交于点A.（1）如图，直线y 2x 1=-+与直线()y kx 4k 0=+≠交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 横坐标为1-.①求点B 的坐标及k 的值；②直线y 2x 1=-+与直线y kx 4=+与y 轴所围成的△ABC 的面积等于 ；（2）直线()y kx 4k 0=+≠与x 轴交于点E （0x ，0），若02<x <1--，求k 的取值范围．9. 已知点P （0x ，0y ）和直线y =k x +b ，则点P 到直线y =kx +b 的距离证明可用公式d 0021kx y b k -++计算．例如：求点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离．解：因为直线y =3x +7，其中k =3，b =7．所以点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离为：d =0021kx y b k -++=23(1)271k ⨯--++=210=105． 根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P （1，﹣1）到直线y =x ﹣1的距离； （2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q 与直线39y x =+的位置关系并说明理由； （3）已知直线y =﹣2x +4与y =﹣2x ﹣6平行，求这两条直线之间的距离．。
2019届中考数学复习《相似多边形》专题复习训练(有答案)
2019届初三中考数学复习 相似多边形 专题复习训练1．如图是相似多边形的是( )A ．①③B ．③④C ．①②D ．①④2．若△ABC 的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B 的度数相比( ) A ．增加了10% B ．减少了10% C ．增加了(1＋10%)D ．没有改变3. 若五边形ABCDE ∽五边形A 1B 1C 1D 1E 1，且五边形ABCDE 与五边形A 1B 1C 1D 1E 1的相似比k 1＝5，则五边形A 1B 1C 1D 1E 1与五边形ABCDE 的相似比k 2为( ) A ．5 B ．15C ．6D ．14. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )5. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图中的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是( )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对6. 如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 7. 下列说法正确的是( ) A ．所有的等腰三角形都相似B ．四个角都是直角的两个四边形一定相似C ．所有的正方形都相似D ．四条边对应成比例的两个四边形相似8. 如图所示，点E 、F 分别为▱ABCD 的边AD 、BC 的中点，且▱ABFE 相似于▱ADCB ，则AB ∶BC 等于( )A ．1∶4B ．4∶1C ．2∶1D ．1∶ 29. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝1，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连接AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n －1的面积为____．10. 已知：如图是两个形状相同的四边形，则α＝ ，a ＝ cm.11．已知四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD ，其相似比k ＝23，若A′B′＝24，则AB ＝________．12. 已知两个五边形相似，一个五边形各边长分别为1、2、3、4、5，另一个五边形最大的边长是8，则这个五边形最短的边长是 .13. 下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有(填序号)．14. 在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛的宽AB＝20米，长AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？请说明理由．15. 如图所示，一块长为2米，宽为1米的矩形玻璃，为了保护玻璃需要镶上宽10厘米的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？16. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，AB＝4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比k.17. 某机械厂承接一批焊接矩形钢板业务，已知这种矩形钢板在图纸上(比例尺为1∶400)的长和宽分别为3cm和2cm.此机械厂所用原料是边长为4m的正方形钢板，那么焊接一块这样的矩形钢板，至少要用几块边长为4m的正方形钢板才行？18. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′、B′、C′、D′分别是OA、OB、OC、OD的中点，试判断四边形ABCD与A′B′C′D′是否相似，并说明理由．参考答案：1---8 CDBBA DCD9. 5n22n －110. 87° 2.5 11. 3612. 8513. ①③④ 14. 解：由题意得2020＋2y ＝3030＋2x，从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)．解得x y ＝32.∴小路的宽x 与y 的比值为32时，能使矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似．15. 解：不相似，由条件知，AB EF ＝2＋0.22＝1110，BC MF ＝1＋0.21＝65，所以AB EF ≠BCMF.所以两个矩形不相似． 16. 解：(1)∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，∴DM AB ＝DCAD，设AD ＝x ，则DM＝12x ，∴12x 4＝4x ，∴x 2＝32，∴x 1＝42或x 2＝－42(负值舍去)，∴AD＝4 2.(2)k ＝DM AB ＝224＝22.17. 解：设要焊接的矩形钢板的长为xcm ，宽为ycm ，则3x ＝2y ＝1400，解得x ＝1200(cm)，y ＝800(cm)．故这种钢板的面积为1200×800＝960000(cm 2)＝96(m 2)，96÷(4×4)＝6.所以焊接一块这样的矩形钢板，至少要用6块边长为4m 的正方形钢板才行．18. 解：相似．其理由是：由三角形中位线定理可知A′B′AB ＝A′D′AD ＝D′C′DC ＝B′C′BC ＝12，∠B′A′D′＝∠BAD ，∠A′D′C′＝∠ADC ，∠D′C′B′＝∠DCB，∠A′B′C′＝∠ABC，∴四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD.。
2019年中考数学专题复习分类练习 三角函数的应用
2019年中考数学复习专题分类练习---三角函数的应用1如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，≈1.7）2.在某两个时刻，太阳光线与地面的夹角分别为37︒和45︒，树AB长6m．（1）如图1，若树与地面l的夹角为90︒，则两次影长的和CD=m；（2）如图2，若树与地面l的夹角为α，求两次影长的和CD(用含α的式子表示)．(参考数据：sin370.60︒≈)︒≈，cos370.80︒≈，tan370.753.如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°．若该楼高为26. 65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐，求广告屏幕上端与下端之间的距离．(3≈1.732，结果精确到0.1m)4.如图,已知长江路西段与黄河路的夹角为150°,长江路东段与淮河路的夹角为135°，黄河路全长AC=20km,从A地道B地必须先走黄河路经C点后再走淮河路才能到达,城市道路改造后，直接打通长江路（即修建AB路段）．问：打通长江路后从A地道B地可少走多少路程？（参考数据：≈1.4，≈1.7）5.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l 1和l 2间有一条“Z”型道路连通，其中AB 段与高速公路l 1成30°夹角，长为20km ，BC 段与AB 、CD 段都垂直．长为10km ，CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离．（结果保留根号）6.如图，湿地景区岸边有三个观景台A 、B 、C .已知1400AB =m ，1000AC =m ，点B 位于点A 的南偏西60. 7°方向，点C 位于点A 的南偏东66. 1°方向.(1)求ABC ∆的面积;(2)景区规划在线段BC 的中点D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD .试求A 、D 间的距离.(结果精确到0.1 m ，参考数据: sin53.20.80︒≈，cos53.20.60︒≈，sin60.70.8︒≈，cos60.70.49︒≈，sin66.10.91︒≈，cos66.10.41︒≈，2 1.414≈)欢迎您的下载，资料仅供参考！。
2019年中考数学复习讲义：专题(五)有理数的乘方
专题五 有理数的乘方要点归纳1．乘方:一般地，n 个相同的因数a 相乘，即an a a a a 个∙∙∙∙，记作 ，读作“a 的n 次方”，a 叫做 ，n 叫做 ; 求n 个相同因数的积的运算，叫做 ，乘方的结果叫做 ，按照结果也可读作a 的n 次幂．2．乘方的性质:负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，正数的任何次幂都是 ，0的任何正整数次幂都是 ． 3．科学记数法:把一个大于10的数写成 的形式(其中a 大于或等于1且小于10,n 为正整数)，就是科学记数法，用科学记数法表示一个n 倍整数，其中10的指数是(n-1) ．4．近似数:一个近似数， 到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，近似数就是接近于实际数，但与实际数还有差别的数．5．有理数的混合运算的运算顺序:先 ，再 ，最后 ，如果有括号，就先算括号里面的． 典例讲解 经典再现一、乘方的意义如n a 中n 叫指数，a 叫底数，n a 叫幂，表示n 个a 相乘． 例1()56-表示( )A. -6与5的积B. 6与5的积C. 5个-6的积D. 5个-6的和 【思路点拨】正确理解乘方的意义，()56-表示5个-6的积．解:C例2下列对于65-的叙述正确的是( )A.读作-5的6次幂B.底数是-5，指数是6C.表示6个5相乘的积的相反数D.表示6个-5的积 解:C【方法规律】65-与()65-有区别．例3 ()20151--的结果是( )A. 1B.-1C. 2019D.-2019 【思路点拨】()20151--表示(-1)的2019次方的相反数．解:A二、乘方的运算有理数乘方的运算有以下两种:①根据乘方的意义，先把乘方转化成乘法，再利用乘法的运算法则进行计算，②先确定幂的符号，再求幂的绝对值． 例4计算:()()()()()；；；；4344333-23-13344-⎪⎭⎫⎝⎛-（5）()20161-； （6）3112⎛⎫ ⎪⎝⎭； （7）()2323-⨯-； （8）()30.3-.【思路点拨】找准乘方运算时的底数，确定结果的符号，再计算绝对值，底数是带分数的，先要化成假分数，再作乘方运算.解：（1）()()()()()43333381-=-⨯-⨯-⨯-=； （2）43333381-=-⨯⨯⨯=-；（3）3333327444464⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（4）3333327444⨯⨯-=-=-； （5）()()()()()20162016-111111-=---=个；（6）3333133271===2282⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（7）()23238972-⨯-=-⨯=-；（8）()()()()30.30.30.30.30.027-=-⨯-⨯-=-.【方法规律】()23-与43-的底数不同；334⎛⎫- ⎪⎝⎭与334-的意义不同，计算时容易出现混淆.例5、 ()()()22232223334,4,3,3,,,442⎛⎫------- ⎪⎝⎭中，负数有_________个.【思路点拨】根据乘方的性质，正确判断出结果的符号. 解：3【方法规律】①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③0的任何正数次幂都是0；1的任何次幂都是1；1-的任何奇次幂是1-，任何偶次幂为1；a 的任何偶次幂是非负数.即20a ≥（或20na≥）三、科学记数法把一个数写成10na ⨯的形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1，而a 的整数数位只能有一位，即110a ≤<；小于10-的数也可以用科学记数法表示，其方法是先用科学记数法表示出它的相反数，再在结果前加“-”号.例6、据统计，我国2019年全年完成造林面积约6090000公顷，6090000用科学记数法可表示为（ ）. A. 66.0910⨯ B. 46.0910⨯ C. 46.0910⨯ D. 56.0910⨯ 【思路点拨】609000010na =⨯， 6.09a =，n 比整数为少1. 解：A例7、（2019.成都）正在建设的成都第二绕城高速全长超过220公里，串起了成都市二、三圈层以及周边的广汉、简阳等地，总投资达290亿元，用科学记数法表示290亿元应为（ ）A.829010⨯元B.929010⨯元C.102.9010⨯元D.112.9010⨯元 【思路点拨】290亿元=829010⨯元，再改成科学记数法表示. 解：C四、求科学记数法表示数的原数用科学记数法表示为10n a ⨯的数，其原数等于把a 的小数点向右移动n 位后得到的数，若向右移动位数不够时，应用0补上.例8、下列求原数不正确的是（ ）A.44.371043700⨯=B.64.37104370000-⨯=- C.32102000⨯= D.531030000⨯= 【思路点拨】D 选项中，“3”后面应补上5个0. 解：D例9、用科学记数法表示的数13.1410n +⨯，其原数的整数位数有（ ）A. ()1n -位B. n 位C. ()1n +位D. ()2n +位 【思路点拨】原数的整数位数是()11n ++. 解：D五、用四舍五入法取近似值取近似值的方法有：四舍五入法、去尾法、进一法，通常情况下，取近似数用四舍五入法，用四舍五入法取近似值时，根据要求精确到的数位，往后多看一位，且只能看一位，四舍五入. 例10、用四舍五入法对下列各数取近似数.(1)0.5730(精确到百分位)； （2）0.04977（精确到0.001）； （3）2.5948（保留两位小数）； （4）5.649（精确到0.1）【思路点拨】根据精确度进行四舍五入.（1）中的千分位上为3，应舍去；（2）中精确到千分位，万分位上为7，应向前一位进1；（3）中小数点后算3位上的数为4，应舍去；（4）中精确到0.1，即精确到十分位，百分位是4，应舍去.解：（1）0.57300.57≈；（2）0.049770.050≈；（3）2.5948 2.59≈；（4）5.649 5.6≈.【方法规律】（3）的结果为0.050，最末一位上的“0”不能省掉；（4）小题中，只能看到数字“4”位上，不能最末一位“9”向前一位入. 六、有理数的混合运算有理数的混合运算的顺序：先乘方（三级运算），再乘除（二级运算），最后加减（一级运算），有括号的先算括号里的，按小括号、中括号、大括号依次进行；同级运算从左至右的顺序计算.例11.计算：（1）()()()24201631143622213213⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⨯-+-÷-+⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）2222112111113232332-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+⨯÷--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【思路点拨】按混合计算的顺序进行. 解：（1）原式=()()10013410011168212221112199213999⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⨯+÷-+⨯=-+-+⨯=-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭. （2）原式=1141211132351315511222949233236926363636--+⨯÷-+=+⨯-=+-=-. 【方法规律】在做有理数混合运算时，以加减为分界线，分成几个部分，各部分分别计算. 拓展探究一、有理数的简便运算乘方是特殊的乘法，乘法的运算律可简化运算，nnn an ba b a aa b bb =个个()()()()()nn ab a b a b a b ab ==个.例1、计算：()20172016122⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路点拨】指数较大时，无法直接进行计算，两底数()2-、12⎛⎫- ⎪⎝⎭互为倒数，可结合乘方的意义和性质进行简便运算. 解：()()()()()201720162016212016211111222222222-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭个个 ()20161111212222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【方法规律】指数较大时，无法直接进行计算，这种情况下要利用乘方的意义和性质进行简便运算. 例2、求220161333++++的值.【思路点拨】幂指数较大，参加运算的数较多，无法直接进行计算，对于这样的式子要先对其进行化简，互相抵消一些项再进行计算. 解：设220161333S =++++①，则23201733333S =++++②，②－①，得2017231S =-，所以2017312S -=.【方法规律】本题使用的简便运算是错位相消，类似的像求21222n ++++、21555n ++++的题型都可以用这种方法来求. 例3、为了求2311112222n ++++的值（结果用含n 的式子表示），设计了如图所示的图形： （1）请你利用①图求2311112222n ++++的值； （2）请你利用②图再设计一个求2311112222n++++的值的几何图形. 解：（1）由①图可知2311111122222n n ++++=-； （2）由设计的几何图形如图②所示.【方法规律】本题体现了数形结合思想，利用图形面积之间的关系求式子的值，由①图可知：11122=-，221111222=--，323111112222=---，…，易得：2111112222n n++=-. 二、运用乘方解决实际问题遇到利用有理数乘方解决实际问题这类题目时，可以从特殊情形入手，逐步分析、归纳、找出其变化规律.例4你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根面条，每捏合一次，拉面的根数就扩大一倍，如图所示.（1）第四次捏合后拉成的面条是多少根？ （2）捏合到第几次后可拉成128根面条？【思路点拨】第一次捏合后拉成的面条是12根，第二次捏合后拉成的面条是22根，第三次捏合后拉成的面条是32根，…，第n 次捏合后拉成的面条是2n 根. 解：（1）4216=（根）；（2）设x 次后可拉成128根面条，则2128x=.∵72128=，∴7x =.即第四次捏合后拉成的面条是16根，捏合到第7次后可拉成128根面条. 三、有理数的偶次幂的非负性形如：2a 、2n a （n 为正整数，a 为有理数），220,0na a≥≥.例4、已知()22360x y y -+-=，求yx .【思路点拨】2,a a 都具有非负性，两个非负数相加和为0，则每一个都等于0. 解：因为()220,360x y y -≥-≥，而()22360x y y -+-=，所以()220,360x y y -=-=，即2,4y x ==，所以2416y x ==.四、科学记数法的应用例5、（1）计算：()()24210310⨯⨯⨯；()()47210410⨯⨯⨯；()()1714510710⨯⨯⨯；（2）已知式子()()101010m n p a b c ⨯⨯⨯=⨯（其中a 、b 、c 均为大于或等于1且小于10的数，m 、n 、p 均为正整数）成立，请说出m 、n 、p 之间存在的等量关系. 【思路点拨】()()()101010mnm na b a b +⨯⨯⨯=⨯⨯，结果也应该用科学记数法来表示.解：（1）()()246210310610⨯⨯⨯=⨯；()()4711210410810⨯⨯⨯=⨯；()()171432510710 3.510⨯⨯⨯=⨯；（2）当10ab <时，m n p +=；当10ab ≥时，1m n p ++=.【方法规律】()()101010mnm na b ab +⨯⨯⨯=⨯，当10ab <，用科学记数法表示为10m n ab +⨯；当10ab ≥时，用科学记数法表示为11010m n ab++⨯.五、用科学记数法表示绝对值大于10的数 把数写成科学记数法的形式，一般有两种方法：①在110a ≤<时，把已知数的小数点向左移动几位，就乘以10的几次方； ②观察已知数的整数部分的位数，整数部分位数减去1，就等于10的指数n . 例6、用科学记数法表示下列各数：（1）3000000；（2）－4800000；（3）－2545.4；（4）504万.【思路点拨】根据科学记数法的意义，要表示成10na ⨯的形式，关键在于确定a 和n ，要求a 必须满足条件110a ≤<，n 比原整数位数少1.解：（1）63000000310=⨯；（2）64800000 4.810-=-⨯；（3）32545.4 2.545410-=-⨯； （4）6504=5040000=5.0410⨯万 六、由近似数确定准确值的范围例7、近似数1.80所表示的准确数x 的取值范围是（ ）A.1.795 1.805x ≤<B.1.75 1.85x ≤<C.1.8 1.85x ≤<D.1.795 1.805x ≤≤【思路点拨】近似数1.80精确到百分位，应由千分位上的数字四舍五入得到，故当百分位上的数为9时，千分位上的数应不小于5；当百分位上的数为0时，千分位上的数应小于5. 解：A【方法规律】由近似数确定准确值的范围时，值需要在近似数的最后一位之后再取一位，数值记为0，再在这一位上加减5即可，如 1.80a ≈，可取1.800，用1.800－0.005=1.795，1.800+0.005=1.805，还要注意“舍小不含大”，即1.795 1.805x ≤<. 七、取近似数都是“四舍五入”吗？取近似值常用的是“四舍五入法”，但在实际问题中就不一定都是“四舍五入”，有时还要用“去尾法”和“进一法”.例8、每个工人每天可加工4个某种零件，现需13个这种零件，要在1天内加工出来，至少需_________个工人才能完成.【思路点拨】本题中所求近似数为人数的近似数，应用“进一法”，否则不能完成任务. 解：4【方法规律】“进一法”是把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1.例9、要用50cm 的圆钢截成了3厘米长的一段做零件，最多可以截几段（不计损耗）？ 解：50÷3=16.7，最多可以截16段.【方法规律】“去尾法”是把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去. 实战演练A 链接中考1.对于()22-与22-，下列说法正确的是（ ）A.读法相同，底数不同，结果不同B. 读法相同，底数相同，结果相同C. 读法不同，底数相同，结果相同D. 读法不同，底数不同，结果不同 2.下列各组数中，互为相反数的是（ ）A.43-与()43-- B.()32-与32- C.()42-与42- D.60.5-与()60.5-3.若a ，b 互为相反数（0a ≠，0b ≠），n 是正整数，则（ ） A. 2na 和2nb互为相反数 B. 21n a-与21n b -互为相反数C. na 和nb 互为相反数 D. 1n a-与1n b-互为相反数4.算式11115555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可表示为（ ）A.415⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.145⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ C. 415⎛⎫- ⎪⎝⎭D.以上答案均不对5.n 是一个正整数，则10n表示的是（ ）A.10个n 相乘所得的结果B.n 个10相乘所得的结果C.10后面有n 个0的数D.是一个n 位整数 6.任何一个有理数的偶数次幂（ ）A.一定是正数B.一定是负数C.一定不是负数D.一定大于它的绝对值 7.下列各式计算正确的是（ ）A. 322610660--⨯=-⨯=-B. 215125⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭C. 2352312595⎛⎫⎛⎫÷÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ()2423144-⨯-=-8.中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，若每人每天浪费水0.32L ，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为( )．A ．3.2×107LB ．3.2×106LC ．3.2×105LD ．3.2×104L 9．关于近似数1.6万，下列说法中正确的是( )．A ．精确到十分位B ．精确到万位C ．精确到千位D ．精确到个位 10．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似数，其中错误的是( )．A ．0.1(精确到0.1)B ．0.05(精确到百分位)C ．0.05(精确到千分位)D ．0.050(精确到0.001)11．如果把一个面团拉开然后对折，再拉开再对折，如此往复下去，对折10次拉出的面条根数是( )．A ．20B ．10C ．102D ．21012．计算：①225⎛⎫- ⎪⎝⎭＝＿＿＿；②225⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝＿＿＿＿；③(－3)3＝＿＿＿；④－(－3)3＝＿＿＿＿．13．有理数a 、b 满足231(2)0a b -+-=，则b a ＝＿＿＿．14．一个数的平方等于它本身的数是＿＿＿＿，一个数的立方等于它本身的数是＿＿＿＿． 15．计算：21(2)-+-＝＿＿＿＿；－24＋(3－4)5＝＿＿＿；2141425⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＿＿＿＿；()2323--⨯÷-＝＿＿＿＿＿． 16．2019年3月中旬的某一天有超过190000的游人前往武汉大学观赏樱花，其中数字190000用科学记数法表示为＿＿＿＿人．17．把47155精确到百位可表示为＿＿＿＿＿． 18．按要求求下列各数的近似数：(1)0.00356(精确到万分位)； (2)7.6278×108(精确到百万位)；(3)2.715万(精确到百位)； (4)2.9963×1010(精确到亿位)．19．计算：(1)()2224(3)2--⨯-⨯⎡--⎤⎣⎦ ；(2)29112(0.25)(5)(1)24---+-÷-；(3)(－2×3)2＋(－2×32)－62；(4)330(25991)(0.2)12.54⨯---⨯+．B 冲刺中考20．下列式子正确的是( )．A ．－24＜(－2)2＜(－2)3B ．(－2)3＜－24＜(－2)2C ．－24＜(－2)3＜(－2)2D ．(－2)3＜(－2)2＜－2421．若n a ＞0，n 为正奇数，则a( )．A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可正可负D ．以上都不对22．若a ＜0，－1＜b ＜0，则a 、ab 、ab 2按从小到大的顺序排列为( )．A ．a ＜ab ＜ab 2B ．ab 2＜a ＜abC ．ab ＜ab 2＜aD ．a ＜ab 2＜ab23．地球绕太阳转动每小时通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球转动一天(24小时)通过的路程约是( )．A ．0.264×107千米B ．2.64×106千米C ．26.4×105千米D ．264×104千米 24．下列说法正确的是( )．A ．近似数32与32.0的精确度相同B ．近似数3.2万与3.2×104精确度相同 C ．近似数5万与近似数5000的精确度相同 D ．近似数3.210是精确到百分位 25．近似数6.0的准确值a 的取值范围是( )．A ．5.5＜a ＜6.4B ．5.95≤a≤6.05C ．5.95≤a＜6.05D ．5.95＜a ＜6.05 26．由四舍五入法得到的近似数a≈2.1，b≈2.10，那么a 、b 的关系是( )． A ．a ＝b B ．a ＞b C ．a ＜b D ．以上情况都有可能27．下列结论：(1)a 2＞0；(2)(－a)4＝a 4；(3)(－a) 5＝a 5；(4)(a ＋2)2＞0；(5)(a －1)2＋2＞0；(6)(－2)m＞0，则(－1)m＝1；(7)若(－2)m＜0，则(－1)m＝－1；(8)若0＜a ＜1，则a 2＜a ；(9)21223a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值为23；(10)7－(a －3)2的最大值为7，其中正确的个数为( )． A ．7 B ．8 C ．9 D ．1028．观察下列算式并总结规律：31＝3，32＝9；33＝27；34＝81；55＝243；36＝729；37＝2187，…，用你发现的规律写出3999的末尾数字是( )．A ．1B ．3C ．9D ．7 29．在以下的各数中，最大的为＿＿＿，最小的为＿＿＿(填序号)． ①－3.141 ②－π ③－3.1 ④－3.1430．已知24(2)0a b ++-=，求(a×b )2的值．31．已知21(2)0a b ++-=，求(a ＋b)2019＋a2019的值．32．探索规律：观察由※组成的图案和算式，请猜想：1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42；1＋3＋5＋7＋9＝25＝52；(1)1＋3＋5＋7＋…＋19＝＿＿＿；(2)请猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)等于多少？(用含n 的式子表示)33．计算：(1)3221(2)(3)(4)2(3)()2⎡⎤-+-⨯----÷-⎣⎦；(2)()22015201511110.2543553⎛⎫⎛⎫-⨯÷-+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)223261(3)0.223(1)254-⎡⎤⎡⎤--++-⨯-÷⎣⎦⎢⎥⎣⎦； (4)2223333(2) 1.2512( 1.25)32248⎡⎤⎛⎫-÷-+-⨯+÷÷⨯--⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．34．在－2.2，－2.02，－2.002，－2.0202，－2.00202中最大的数除以最小的数的商为x ，求：591()10x ⎡⎤÷-⎢⎥⎣⎦的值，并且科学法表示出它的结果．35．向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需2.575s ，已知无线电波每秒传播3×105km ，求地球和月球之间的距离大约是多少千米(精确到千位)．C 决战中考36．观察下列三行数：①－2，4，－8，16，－32，64，…； ②0，6，－6，18，－30，66，…； ③－1，2，－4，8，－16，32，…． (1)第①行数是按什么规律排列的？(2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行数的第10个数，计算这个3个数的和．37．我国著名数学家华罗庚曾经说过这样一句话：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图的大正方形，逐次割成面积为12，14，18，116，132，…．请用结合的思想计算：(1)111124816+++＝＿＿＿＿＿； (2) 11111111248163264128256+++++++＝＿＿＿＿； (3) 11111248162n ++++⋅⋅⋅+＝＿＿＿＿．38．观察下列各式：13＝1＝221124⨯⨯，13＋23＝9＝221234⨯⨯；13＋23＋33＝36＝221344⨯⨯，13＋23＋33＋43＝100＝221454⨯⨯，…，回答下列问题：(1)猜想13＋23＋33＋…＋(n －1)3＋n 3＝＿＿＿(直接写出你的结果)；(2)利用你得到的(1)中的结论计算：13＋23＋33＋…＋993＋1003的值；(3)计算：①113＋123＋…＋993＋1003的值；②23＋43＋63＋…＋983＋1003的值．(温馨提示：(2a)3＝23×a 3＝8a 3)．39．观察下列式子：第一个等式a 1＝223111221222=-⨯⨯⨯⨯； 第二个等式a 2＝2233112322232=-⨯⨯⨯⨯； 第三个等式a 3＝2343113423242=-⨯⨯⨯⨯； 第四个等式a 4＝2453114524252=-⨯⨯⨯⨯； 按上述规律，回答下列问题：(1)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝＿＿＿＝＿＿＿＿； (2)式子a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝＿＿＿＿．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图①，将某四边形纸片ABCD的AB沿BC方向折过去（其中AB＜BC），使得点A落在BC上，展开后出现折线BD，如图②．将点B折向D，使得B，D两点重叠，如图③，展开后出现折线CE，如图④．根据图④，下列关系正确的是（）A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠ADB＝∠BDC D．∠ADB＞∠BDC2．如图，在△ABC中，∠B的平分线为BD，DE∥AB交BC于点E，若AB＝9，BC＝6，则CE长为（）A.185B.165C.145D.1253．如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH垂直平分AC,点H为垂足,设AB=x,AD=y,则y关于x 的函数关系用图象大致可以表示为 ( )A. B. C. D.4．长为10米的木杆斜靠在墙壁上，且与地面的夹角∠OBA＝60°，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆AB的中点P也随之下落，则点P下落的路线及路线长为（）A.线段，5B.线段，C.以点O为圆心，以AB为半径的一段弧，弧长为D.以点O为圆心，以OP为半径的一段弧，弧长为5．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示。
专题05一次函数的图象和性质(练)-2019年中考数学二轮复习
备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题5 一次函数的图象和性质（练案）一练基础——基础掌握1.定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．﹣3≤m≤1C．﹣3≤m≤3D．﹣1≤m≤0【答案】B．【分析】根据x=y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解析】∵x=y，∴x=2x+m，即x=﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故选B．考点：一次函数图象上点的坐标特征；新定义．2.已知直线l1：y=﹣3x+b与直线l2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组31 x y b kx y+=⎧⎨+=⎩的解是（）A．12xy=⎧⎨=-⎩B．12xy=⎧⎨=⎩C．12xy=-⎧⎨=-⎩D．12xy=-⎧⎨=⎩【答案】A．考点：一次函数与二元一次方程（组）．学科@网3．一次函数y=kx+b与y=bx+k在同一坐标系中的图象大致是（）【答案】C【解析】考点：一次函数图像与系数的关系学科@网 4． 如图，直线323y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标是（ ）A ．（4，23）B ．（23，4）C ．（3，3）D ．（232+，23） 【答案】B ． 【解析】考点：一次函数综合题；压轴题． 5．已知函数2)2(1+-=-m x m y 是关于x 的一次函数，则m= 。
【答案】0 【解析】试题分析：根据一次函数的自变量指数为1，可得|m1|=1，m=2或m=0，系数不为0可m2≠0，m≠2，所以得m=0．考点：一次函数的定义. 学科@网6．如图，已知函数b x y +=2与函数3-=kx y 的图象交于点P ，则不等式b x kx +>-23的解是 .【答案】x ＜4． 【解析】考点：一次函数与一元一次不等式．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的表达式是33y x =，点A 1坐标为（0，1），过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交y 轴于点A 2；再过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交y 轴于点A 3，…，按此作法进行下去，点B 4的坐标为 ，OA 2015= ．【答案】（83，8），20142．【解析】直线33y x =，点A 1坐标为（0，1），过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，可知B 1点的坐标为（3，1），以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交y 一轴于点A 2，OA 2=OB 1=2OA 1=2，点A 2的坐标为（0，2），这种方法可求得B 2的坐标为（23，2），故点A 3的坐标为（0，4），B 3的坐标为（434），3-=kx y xybx y +=24 6O P点A 4的坐标为（0，8），B 4的坐标为（83，8），此类推便可求出点A n 的坐标为（0，12n -）．所以点A 2015的坐标为（0，20142）．所以OA 2015=20142．故答案为：（83，8），20142．考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型．学科@网 8. 已知二元一次方程组522x y x y -=-⎧⎨+=-⎩的解为41x y =-⎧⎨=⎩，则在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y =x +5与直线l 2：112y x =--的交点坐标为 ． 【答案】（﹣4，1）．【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．【解析】∵二元一次方程组522x y x y -=-⎧⎨+=-⎩的解为41x y =-⎧⎨=⎩，∴直线l 1：y =x +5与直线l 2：112y x =--的交点坐标为（﹣4，1），故答案为：（﹣4，1）． 考点：一次函数与二元一次方程（组）．9. 我们规定：若m =（a ，b ），n =（c ，d ），则m n ⋅=ac +bd ．如m =（1，2），n =（3，5），则m n ⋅=1×3+2×5=13． （1）已知m =（2，4），n =（2，﹣3），求m n ⋅；（2）已知m =（x ﹣a ，1），n =（x ﹣a ，x +1），求y =m n ⋅，问y =m n ⋅的函数图象与一次函数y =x ﹣1的图象是否相交，请说明理由． 【答案】（1）﹣8；（2）不相交．【分析】（1）直接利用m =（a ，b ），n =（c ，d ），则m n ⋅=ac +bd ，进而得出答案； （2）利用已知的出y 与x 之间的函数关系式，再联立方程，结合根的判别式求出答案． 【解析】（1）∵m =（2，4），n =（2，﹣3），∴m n ⋅=2×2+4×（﹣3）=﹣8；（2）∵m =（x ﹣a ，1），n =（x ﹣a ，x +1），∴y =m n ⋅=2()(1)x a x -++=22(21)1x a x a --++，∴22(21)1y x a x a =--++，联立方程：22(21)11x a x a x --++=-，化简得：22220x ax a -++=，∵△=24b ac -=﹣8＜0，∴方程无实数根，两函数图象无交点．考点：二次函数的性质；根的判别式；一次函数的性质；新定义．10. 已知点P （0x ，0y ）和直线y =kx +b ，则点P 到直线y =kx +b 的距离证明可用公式d 0021kx y b k-++计算．例如：求点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离． 解：因为直线y =3x +7，其中k =3，b =7． 所以点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离为：d =0021kx y b k -++=23(1)271k ⨯--++=210=105． 根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P （1，﹣1）到直线y =x ﹣1的距离；（2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q 与直线39y x =+的位置关系并说明理由； （3）已知直线y =﹣2x +4与y =﹣2x ﹣6平行，求这两条直线之间的距离． 【答案】（1）22；（2）相切；（3）25． 【分析】（1）根据点P 到直线y =kx +b 的距离公式直接计算即可；（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q 到直线39y x =+，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q 与直线39y x =+相切；（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y =﹣2x +4上任意取一点，然后计算这个点到直线y =﹣2x ﹣6的距离即可．考点：一次函数综合题；综合题；阅读型．学科@网二练能力——综合运用1．P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是正比例函数12y x =-图象上的两点，下列判断中，正确的是（ ）A ．y 1＞y 2,B ．y 1＜y 2C ．当x 1＜x 2时，y 1＜y 2D ．当x 1＜x 2时，y 1＞y 2 【答案】D.考点：一次函数图象上点的坐标特征．2.如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x < ax + 4的解集为（ ）A ．23<x B ．3<x C ．23>x D ．3>x 【答案】A 【解析】试题分析：由图象可知不等式2x < ax + 4的解集为x ＜m ，因为函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），所以把点A （m ，3）代入y=2x 得m=23，所以x<23，故选A.考点：1.函数图象的交点；2.函数图像与不等式的关系.3. 已知k 、b 是一元二次方程(21)(31)0x x +-=的两个根，且k ＞b ，则函数y kx b =+的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B ．考点：1．一次函数图象与系数的关系；2．解一元二次方程因式分解法．4.如图，点A 1（2，2）在直线y =x 上，过点A 1作A 1B 1∥y 轴交直线12y x =于点B 1，以点A 1为直角顶点，A 1B 1为直角边在A 1B 1的右侧作等腰直角△A 1B 1C 1，再过点C 1作A 2B 2∥y 轴，分别交直线y =x 和12y x =于A 2，B 2两点，以点A 2为直角顶点，A 2B 2为直角边在A 2B 2的右侧作等腰直角△A 2B 2C 2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A n B n C n 的面积为 ．（用含正整数n 的代数式表示）【答案】222132n n --．【分析】先根据点A 1的坐标以及A 1B 1∥y 轴，求得B 1的坐标，进而得到A 1B 1的长以及△A 1B 1C 1面积，再根据A 2的坐标以及A 2B 2∥y 轴，求得B 2的坐标，进而得到A 2B 2的长以及△A 2B 2C 2面积，最后根据根据变换规律，求得A n B n 的长，进而得出△A n B n C n 的面积即可． 【解析】∵点A 1（2，2），A 1B 1∥y 轴交直线12y x =于点B 1，∴B 1（2，1） ∴A 1B 1=2﹣1=1，即△A 1B 1C 1面积=2112⨯=12； ∵A 1C 1=A 1B 1=1，∴A 2（3，3），又∵A 2B 2∥y 轴，交直线12y x =于点B 2，∴B 2（3，32），∴A 2B 2=3﹣32=32，即△A 2B 2C 2面积=213()22⨯=98； 以此类推，A 3B 3=94，即△A 3B 3C 3面积=219()24⨯=8132；A 4B 4=278，即△A 4B 4C 4面积=2127()28⨯=729128；…∴A n B n =13()2n -，即△A n B n C n 的面积=1213[()]22n -⨯=222132n n --．故答案为：222132n n --．考点：一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；规律型；综合题．5. 在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 1C 2…，A 1、A 2、A 3…在直线1y x =+上，点C 1、C 2、C 3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…n S ，则n S 的值为 （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．6. 如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （3-0）的两条直线分别交y 轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程2230x x --=的两个根．（1）求线段BC 的长度；（2）试问：直线AC 与直线AB 是否垂直？请说明理由； （3）若点D 在直线AC 上，且DB =DC ，求点D 的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD 上是否存在点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4；（2）垂直；（3）D （23-，1）；（4）P （33-，0），（3-，2），（﹣3，33-），（3，33+）． 【分析】（1）解出方程后，即可求出B 、C 两点的坐标，即可求出BC 的长度；（2）由A 、B 、C 三点坐标可知2OA =OC •OB ，所以可证明△AOC ∽△BOA ，利用对应角相等即可求出∠CAB =90°；（3）容易求得直线AC 的解析式，由DB =DC 可知，点D 在BC 的垂直平分线上，所以D 的纵坐标为1，将其代入直线AC 的解析式即可求出D 的坐标；（4）A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB =AP ；②A B =BP ；③AP =BP ；然后分别求出P 的坐标即可．【解析】（1）∵2230x x --=，∴x =3或x =﹣1，∴B （0，3），C （0，﹣1），∴BC =4；（2）∵A （3-0），B （0，3），C （0，﹣1），∴OA 3OB =3，OC =1，∴2OA =OB •OC ，∵∠AOC =∠BOA =90°，∴△AOC ∽△BOA ，∴∠CAO =∠ABO ，∴∠CAO +∠BAO =∠ABO +∠BAO =90°，∴∠BAC =90°，∴AC ⊥AB ；（3）设直线AC 的解析式为y =kx +b ，把A （3-0）和C （0，﹣1）代入y =kx +b ，∴103b k b-=⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：31k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为：313y x =--，∵DB =DC ，∴点D 在线段BC 的垂直平分线上，∴D 的纵坐标为1，∴把y =1代入313y x =--，∴x =23-，∴D 的坐标为（23-，1）； （4）设直线BD 的解析式为：y =mx +n ，直线BD 与x 轴交于点E ，把B （0，3）和D （23-，1）代入y =mx +n ，∴3123n m n =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：333m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BD 的解析式为：333y x =+，令y =0代入333y x =+，∴x =33-，∴E （33-，0），∴OE =33，∴tan ∠BEC =OB OE =33，∴∠BEO =30°，同理可求得：∠ABO =30°，∴∠ABE =30°．当P A =AB 时，如图1，此时，∠BEA =∠ABE =30°，∴EA =AB ，∴P 与E 重合，∴P 的坐标为（33-，0）；当P A =PB 时，如图2，此时，∠P AB =∠PBA =30°，∵∠ABE =∠ABO =30°，∴∠P AB =∠ABO ，∴P A ∥BC ，∴∠P AO =90°，∴点P 的横坐标为3-，令x =3-代入333y x =+，∴y =2，∴P （3-，2）； 当PB =AB 时，如图3，∴由勾股定理可求得：A B =23，EB =6，若点P 在y 轴左侧时，记此时点P 为P 1，过点P 1作P 1F ⊥x 轴于点F ，∴P 1B =AB =23，∴EP 1=6﹣23，∴sin ∠BEO =11FP EP ，∴FP 1=33-，令y =33-代入333y x =+，∴x =﹣3，∴P 1（﹣3，33-）；若点P 在y 轴的右侧时，记此时点P 为P 2，过点P 2作P 2G ⊥x 轴于点G ，∴P 2B =A B =23，∴EP 2=6+23，∴sin ∠BEO =22GP EP ，∴GP 2=33+，令y =33+代入333y x =+，∴x =3，∴P 2（3，33+）． 综上所述，当A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P 的坐标为（33-，0），（3-，2），（﹣3，33-），（3，33+）．考点：一次函数综合题；存在型；分类讨论；压轴题．学科@网7. 为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：1.5：2．如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y （元）与用水量xm3之间的函数关系．其中线段AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．（1）写出点B的实际意义；（2）求线段AB所在直线的表达式；（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？【答案】（1）图中B点的实际意义表示当用水25m3时，所交水费为90元；（2）94522y x=-；（3）27．考点：1．一次函数的应用；2．分段函数；3．综合题．。
2019年浙江中考数学复习方法技巧专题五：转化思想训练(含答案)
方法技巧专题五转化思想训练转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程．常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等．一、选择题1．[2019·山西] 我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A．转化思想 B．函数思想C．数形结合思想 D．公理化思想2．[2019·扬州] 已知M＝29a－1，N＝a2－79a(a为任意实数)，则M、N的大小关系为( )A．M＜N B．M＝NC．M＞N D．不能确定3．[2019·十堰] 如图F5－1所示，小华从A点出发，沿直线前进10 m后左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是( )A．140 m B．150 mC．160 m D．240 m图F5－14．[2019·徐州] 图F5－2是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )图F5－2A．1或9 B．3或5C．4或6 D．3或6二、填空题5．[2019·烟台] 运行程序如图F5－3所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．图F5－36．[2019·达州] 如图F5－4，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连结BQ.若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为________．图F5－47．[2019·宿迁] 如图F5－5，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为________．图F5－5三、解答题8．如图F5－6①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连结AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果，不必说明理由．图F5－6参考答案1．A2．A [解析] ∵N－M＝a2－79a－(29a－1)＝a2－a＋1＝(a－12)2＋34＞0，∴M＜N.故选A.注：此题把比较两个式子的大小转化为比较两个代数式的差的正负．3．B [解析] ∵多边形的外角和为360°，这里每一个外角都为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15.∴小华一共走的路程＝15×10＝150(m)．故选B.注：把问题转化为正多边形的周长．4．D [解析] 如图，把原图形扩充成矩形，则图中两个阴影部分的面积相等，于是可列方程x(9－x)＝6×(9－6)．整理，得x2－9x＋18＝0，解得x1＝3，x2＝6.故选D.注：此题体现了转化思想(把不规则图形转化为规则图形)和方程思想．5．x＜8 [解析] 由题意，得3x－6<18，解得x＜8.6．24＋9 3 [解析] 如图，连结PQ，则△APQ为等边三角形．∴PQ＝AP＝6.易知△APC≌△AQB，∴QB＝PC＝10.由勾股定理的逆定理，可知∠BPQ＝90°.∴S四边形APBQ＝S△BPQ＋S△APQ＝12×6×8＋34×62＝24＋9 3.故答案为24＋9 3.注：此题体现了分散向集中转化，即通过旋转把PA，PB，PC集中到△PBQ中．7．4或2 3 [解析] 设AD的中点为P1，无论AB多长，△P1BC都是等腰三角形，即点P1始终是符合条件的一个点．(1)如图①，当以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆与直线AD相切时，符合条件的点有3个，此时AB＝BC＝4；(2)如图②，分别以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆经过点P1时，符合条件的点也有3个．此时BP1＝BC＝4，AB＝2 3.综上所述，BA的长为4或2 3.注：将等腰三角形的个数转化为直线与圆的交点个数．8．解：(1)证明：如图，延长ED交AG于点H.∵O 为正方形ABCD 对角线的交点， ∴OA ＝OD ，∠AOG ＝∠DOE＝90°， ∵四边形OEFG 为正方形，∴OG ＝OE ， ∴△AOG ≌△DOE ， ∴∠AGO ＝∠DEO. ∵∠AGO ＋∠GAO＝90°， ∴∠DEO ＋∠GAO＝90°. ∴∠AHE ＝90°，即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：(i)α由0°增大到90°的过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG′，∴在Rt △OAG ′中，sin ∠AG ′O ＝OA OG′＝12，∴∠AG ′O ＝30°， ∵OA ⊥OD ，OA ⊥AG ′， ∴OD ∥AG ′.∴∠DOG ′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.(ii)α由90°增大到180°的过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求得∠BOG′＝30°， 所以α＝180°－30°＝150°.综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°. ②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 理由：当AF′的长最大时，点F′在直线AC 上，如图所示．∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝1， ∴AC ＝BD ＝2，AO ＝OD ＝22. ∴OE ′＝E′F′＝2OD ＝ 2. ∴OF ′＝（2）2＋（2）2＝2. ∴AF ′＝AO ＋OF′＝22＋2.∵∠DOG′＝45°，∴旋转角α＝360°－45°＝315°.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝32或t＝72，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第9个图形中所有点的个数为（）A.61B.72C.73D.863．已知直线y＝kx﹣2经过点（3，1），则这条直线还经过下面哪个点（）A．（2，0）B．（0，2）C．（1，3）D．（3，﹣1）4．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．5．一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（）A．86 B．68 C．97 D．736．今年3月12日，学校开展植树活动，植树小组16名同学的树苗种植情况如下表：那么这16名同学植树棵树的众数和中位数分别是（）A．5和6B．5和6.5C．7和6D．7和6.57．下列运算正确的是（）A ．232a a a +=B ．326(a )a -=C ．222(a b)a b -=-D ．326(2a )4a -=-8．下列运算正确的是（ ） A ．5210()a a -= B ．6262144a a a a-÷⋅=- C ．32264()a b a b -=D ．23a a a -+=-9．如图，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数ky x=在第一象限的图象经过点B ，则OAC ∆和BAD ∆的面积之差OAC BAD S S ∆∆-为( )A ．2kB ．6kC ．k 21 D ．k10．如图，将边长为10的正三角形OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，C 是AB 边上的动点（不与端点A ，B 重合），作CD ⊥OB 于点D ，若点C ，D 都在双曲线y ＝kx上（k ＞0，x ＞0），则k 的值为（ ）A ．B ．C ．9D ．11．如果a+b ＝12，那么a b a b b a+--22的值是（ ） A ．12B ．14C ．2D ．412．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为( )A ．22B ．24C ．D ．二、填空题13．如图，点A B C ，，在⊙O 上，若40CBO =∠°，则∠A 的度数为_____.14．数据-5，-3，-3，0，1，3的众数是_______.15．如图，已知矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，P 是位似中心，若点B 的坐标为()2,4，点E 的坐标为()1,2-，则点P 的坐标为______．16．如图，已知A （12，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y ＝1x图象上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是_____．17．某公路沿线有A ，B ，C 三个站点，甲、乙两车同时分别从A 、B 站点出发，匀速驶向C 站，最终到达C 站．设甲、乙两车行驶x （h ）后，与B 站的距离分别为y 1、y 2（km ），y 1、y 2与x 的函数关系如图所示，则经过___小时后两车相遇．18x 的取值范围为_____． 三、解答题19．某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件． （1）求出销售量y 件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求出销售该品牌童装获得的利润W （元）与销售单价x 元）之间的函数关系式；（3）若装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC=CD，过点C作⊙O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．（1）求证：AF⊥EF；（2）若cosA=45，BE=1，求AD的长．21．如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．（1）在图1中，以AB为边画直角三角形△ABD（D与C不重合），使它与△ABC全等．（2）在图2中，以AB为边画直角三角形△ABE，使它的一个锐角等于∠B，且与△ABC不全等．22．如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．(1)求证：四边形OCED为平行四边形；(2)求证:△PCE≌△EDQ(3)如图2,延长PC,QD交于点R.若∠MON=150°,求证:△ABR为等边三角形。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题5 二元一次方程(组)及其应用(含解析)
二元一次方程(组)及其应用一.选择题1. （2019•山东省德州市•4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（ ）A．B．C．D．【考点】二元一次方程组【分析】本题的等量关系是：绳长①木长＝4.5；木长①绳长＝1，据此可列方程组求解．【解答】解：设绳长x尺，长木为y尺，依题意得，故选：B．【点评】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．2（2019•湖南长沙•3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，故选：A ．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．3．（2019•浙江嘉兴•3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为（ ） A ． B ． C ．D ．【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．【解答】解：设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为：．故选：D ．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．4. ( 2019甘肃省兰州市) （4分）≪九章算术≫是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程为 （ ） A. B.⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 65165⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 65156 C.D.⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 54165⎩⎨⎧-=-=+x y y x y x 54156【答案】C ．【考点】利用方程求解实际问题. 【考察能力】抽象概括能力. 【难度】中等【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x +6y ＝1(2) 互换其中一只，恰好一样重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x +y ＝5y +x ， 故选C. 5．（2019•浙江宁波•4分）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ） A ．31元 B ．30元 C ．25元 D ．19元 【分析】设每支玫瑰x 元，每支百合y 元，根据总价＝单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y＝x+7，再将其代入5x+3y+10①8x中即可求出结论．【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，依题意，得：5x+3y+10＝3x+5y①4，∴y＝x+7，∴5x+3y+10①8x＝5x+3（x+7）+10①8x＝31．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．6. （2019•湖南邵阳•3分）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元可列方程组．【解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则所列方程组为，故选：D．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．7（2019•湖北天门•3分）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（ ）A．3种B．4种C．5种D．9种【分析】可列二元一次方程解决这个问题．【解答】解：设2m的钢管b根，根据题意得：a+2b＝9，∵A.b均为整数，∴，，，．故选：B．【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．8. （2019•湖北孝感•3分）已知二元一次方程组，则的值是（ ）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【分析】解方程组求出x、y的值，再把所求式子化简后代入即可．【解答】解：，②﹣①×2得，2y＝7，解得，把代入①得，+y＝1，解得，∴＝．故选：C．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．9.（2019•浙江衢州•4分）已知实数m，n满足，则代数式m2-n2的值为________ 。
课标通用安徽省2019年中考数学总复习单元检测5四边形试题解析版
3
7
2-1
A.4
B.16
C. 2
D. 2-1
答案 D
解析∵正方形 ABCD 的边长为 1,∴∠DCA=45°,AC= 2.又∵正方形 AB1C1D1 是由正方形 ABCD 旋转 45°
而得到的,∴∠OB1C=90°,B1C=
2-1.∴四边形
AB1OD
S 的面积=S△ADC-
△
B1OC
=
1
1
2×1×1-2×(
答案 5.5 或 0.5
1
解析如图 1,当 E 在线段 AD 上时,在菱形 ABCD 中,BE=BC=EF=5,因为 M 是 EF 的中点,所以 EM=2EF=2.5.在
矩形 ABCD 中,∠A=90°,AB=4.在 Rt△ABE 中,由勾股定理得 AE= BE2 - AB2=3,所以 AM=AE+EM=5.5;如 图 2,当点 E 在线段 AD 外时,同理可求 AM=EM-AE=3-2.5=0.5.故选填 5.5 或 0.5.
A.4
B.5Leabharlann 34C. 2D. 34
答案 B 解析∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠ABC=90°,AB∥CD,AB=CD,点 O 是 AC 的中点. ∵OE∥AB,∴OE∥CD, ∴OE 是△ACD 的中位线, ∴CD=2OE=6,∴AB=6. 在 Rt△ABC 中,AB=6,BC=8,∴AC=10. ∵OB 是 Rt△ABC 斜边的中线,
A.24 答案 B
B.25
C.26
D.27
解析设长方形纸片长、宽分别为 x、y,正方形纸片边长为 z,
∵四边形 OPQR 是正方形,
∴RQ=RO,∴x-z=z-y,∴x=2z-y①; ∵▱KLMN 的面积为 50,
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热点4 函数的基础知识
（时间：100分钟分数：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的）
1．当2
3
<m<1时，点P（3m-2，m-1）在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（）
3
P（a，-b）关于原点的对称点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在电影院内，如果将“12排4号”记作（12，4），那么“3排6号”应表示为（） A．（3，6） B．（6，3） C．（4，12） D．6号3排
5．下列数据中不能确定物体位置的是（）
A．某市政府位于北京路32号 B．小明住在某小区3号楼7号
C．太阳在我们的正上方 D．东经130°，北纬54°的城市
6．以等腰三角形底角的度数x为自变量（单位：°），顶角的度数y为因变量的函数关系式为（）
A．y=180°-2x（0°≤x<90°） B．y=180°-2x（0°<x<90°）
C．y=180°-2x（0°<x≤90°） D．y=180°-2x（0°≤x≤90°）
7．某班同学在探究弹簧长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的数据如下表：
则y关于x的函数图象是（）
8．已知点A的坐标为A（3，m），若直线AB垂直于x轴，则点B的横坐标为（）
A．3 B．-3 C．m D．不能确定
9．已知点P的坐标为（-2-b2），则点P在第（）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
10．已知点A、点B在x轴上，分别以A、B为圆心的两圆相交于M（a，5）、N（9，b），则
a+b的值为（）
A．14 B．-14 C．-4 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．函数
x的取值范围是________．
12．如图，如果○士所在的位置的坐标为（-1，-2），○相所在的位置的坐标为（2，•-2），那么○炮所在的位置的坐标为_________．
13．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（2
，
2），•请你用另一种方法确定A点的位置______．
14．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A
（1，0），B（5，0），C（5，3），D（1，3），边
CD上有一点E（4，3），过点E的直线与AB交
于点F，若直线EF平分矩形的面积，则F点的
坐标为_________．
15．已知点A（a，b），点B（4，3），且AB∥x轴，
则a≠_______，b=_______．
16．已知点M（x，y）在第四象限，它到两个坐标
轴的距离和等于17，且到x轴距离比到y轴的
距离大3，则x=_______，y=_______．
17．在直角坐标系中，已知两点A（0，2），B（4，1），点P是x轴上一点，则PA+PB的最小值是__________．
18．根据指令[S，A]（S，0°<A<180°）机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离S．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴的正方向，若给机器人下了一个指令（4，60°），则机器人应移到点的坐标为_________．
三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．画矩形ABCD，使AB=6，BC=4，在矩形所在的平面内建立适当的平面直角坐标系，并求此时A、B、C、D的坐标．
20．如图，已知点A，点B的坐标分别为A（1，3），B（5，0），在x轴上是否存在点P，•使△PAB为等腰三角形？若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知：四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0）．请确定这个四边形的面积．
22．如图，平面直角坐标系中，等边△ABO的顶点A的坐标是（1，a），求点B•的坐标及S△ABO．
23．（1）请在如图所示的方格纸中，将△ABC向上平移3格，再向右平移6格，•得到△A1B1C1，再将△A1B1C1按顺时针方向绕点B1旋转90°，得到△A2B1C2，最后将△A2B1C2以点C2•为位似中心放大到2倍，得到△A3B2C2．
（2）请在方格纸的适当位置画上坐标轴（一个小正方形的边长为1个单位长度），•在你所建立的平面直角坐标系中，点C、C1、C2的坐标分别为C（_______），C1（_______），C2（_________）．
24．如图，在平面直角坐标系中，A（-3，4），B（-1，2），O为原点，求△AOB的面积．
25．在平面直角坐标系中，将坐标为（0，0），（2，4），（2，0），（4，4）•的点用线段依次连结起来形成一个图案．
（1）将这四个顶点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2部，将所得的四个点用线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有什么变化？ （2）横坐标保持不变，纵坐标加3呢？ （3）横坐标分别乘-1呢？ 答案
一、选择题
1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．D 二、填空题
11．-3<x ≤5 12．（-3，1）
13．在O 点的东北方向且距O 点的距离为
14．（2，0）• 15．4，3 16，7，-10 17．5 18．（2， 三、解答题
19．解：答案不唯一，略． 20．解：P （-3，0），（0，0）或（
15
8
，0）． 21．解：过点B 作BE ⊥AD ，过点C 作CF ⊥AD ， 则S 四边形ABCD =S △ABE +S 梯形BCFE +S △CDE ． =
12×3×6+12（8+6）·（14-3）+12
×2×8 =9+77+8=94． 22．解：设B （x ，0），∵△ABO 为等边三角形， ∴OA=OB=AB ，∴x=2，点B 的坐标为B （2，0）．
S △ABO =
1
2
·OB ·│y A │ 23．解：答案不唯一，略．
24．解：延长AB 交y 轴于C ，S △AOB = S △AOC -S △BOC =
12×OC ×3-1
2
×OC ×1=OC ．
设AB所在直线方程为y=kx+b，把A（-3，4），B（-1，2）代入得
1,
1. k
b
=-⎧
⎨
=
⎩
∴y=-x+1，∴C（0，1）．•
∴OC=1，∴S△AOB=1．
25．解：（1）横向拉长为原来的2倍．（2）向上平移3个单位长度．
（3）关于原点成中心对称．。