2021年高三数学上学期期中联考试题 理(含解析)新人教A版

2021年高三数学上学期期中联考试题理（含解析）新人教A版
【试卷综评】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。

紧扣考纲，注重双基.本次期末考试有很多题目源于课本。

2、突出重点和数学思想. 试题对本部分各节知识考察较为全面，一方面突出了重点知识重点考察，另一方面突出数学知识和数学思想的考察。

对学生的综合能力要求较多，在知识交汇点处设置考题。

第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【题文】1．设复数，，若，则的值为( )
A． B． C． D．
【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4
【答案】【解析】A解析：=，
∵，∴．即x=﹣2．故选：A．
【思路点拨】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数，然后由虚部为0即可求
出x的值．
【题文】2．若，则正数的值为( )
A．0 B．1 C．0或 D．
【知识点】定积分．B13
【答案】【解析】B解析：=，
解得k=1或k=0（舍去），故选：B.
【思路点拨】根据定积分的计算即可．
【题文】3.函数的定义域是 ( )
A． B． C． D．
【知识点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．B1 B7
【答案】【解析】D 解析：要使函数有意义，需,即0≤x＜1
故函数的定义域为,故选D ．
【思路点拨】令被开方数大于等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出x 的范围即为定义域．
【题文】4.平面向量，的夹角为，，， 则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【知识点】平面向量数量积的运算．F3
【答案】【解析】A 解析：由,得；又因为平面向量，的夹角为，，所以根据已知条件可得：．故选A ．
【思路点拨】根据已知条件可求出，又知夹角以及，从而能求出。

【题文】5. 已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2
【答案】【解析】B 解析：∵，∴，即（x ﹣2）（x+1）＞0，
∴x ＞2或x ＜﹣1，∵是的充分不必要条件，∴k ＞2，故选：B ．
【思路点拨】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【典例剖析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．
【题文】6. 若10,0,cos(),cos()224342π
πππβαβα<<-<<+=-=则（ ） A. B ． C. D ．
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值．C7
【答案】【解析】C 解析：∵∴，,∴sin （），sin （）=
∴cos[（）﹣（）]=cos （）cos （）+sin （）sin （）=,故选C
【思路点拨】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin （）和sin （）的值，进而利用cos[（）﹣（）]通过余弦的两角和公式求得答案．
【题文】7. 设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最大值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【知识点】简单线性规划．E5
【答案】【解析】D 解析：由题意作出其平面区域，
则由目标函数的最大值为8，，
则由得，≤4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）．故选D．
【思路点拨】由题意作出其平面区域，求出目标函数的最大值为8时的最优解，利用基本不等式求解．
【题文】8．已知数列是等差数列，若a xx+a xx＜0，a xx•a xx＜0，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（）
A．4029 B．4028 C．4027 D．4026
【知识点】等差数列的性质．D2
【答案】【解析】A解析：∵{a n}是递增的等差数列，又∵a xx+a xx＜0，a xx•a xx＜0
∴a xx＜0，∴a xx＞0，∴数列的前xx项为负数，从第xx项开始为正数，
由求和公式和性质可得S4027===4027a xx＜0，
S4028==xx（a1+a4028）=xx（a xx+a xx）＜0，
S4029===4029a xx＞0，
∵S n取得最小正值时n等于4029,故选：A
【思路点拨】由题意易得列的前xx项为负数，从第xx项开始为正数，由求和公式和性质可得S4027＜0，S4028＜0，可得答案．
【题文】9. 在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，．
关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中正确说法的序号为（）
A．①B．①②C．①②③D．②③
【知识点】命题的真假判断与应用．A2
【答案】【解析】B解析：∵ =（e x）•+（e x）*0+*0=1+e x+，
对于①，∵1+e x+≥1+=3（当且仅当x=0时取“=”），∴f（x）min=3，故①正确；
对于②，∵f（x）=1+e x+=1+e x+e﹣x，∴f（﹣x）=1+e x+e﹣x=1+e x+e﹣x=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，故②正确；
对于③，∵f′（x）=e x﹣e﹣x=，∴当x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）的单调递增区间为[0，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为①②，故选：B．
【思路点拨】依题意，可得f（x）=1+e x+e﹣x，对于①，可由基本不等式1+e x+≥1+=3判断其正误；对于②，利用偶函数的定义可判断其正误；
对于③，由f′（x）≥0，求得其单调递增区间，可判断其正误．
【题文】10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在方向的投影为y （O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
【知识点】函数的图象．B8
【答案】【解析】C解析：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为，连接BG，可得，即∠BGM= ，所以tan∠BGA= ，由图可得当x= 时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；
又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．
【思路点拨】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x 的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．【典例剖析】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．
【题文】二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置)
【题文】11.设集合，，若,则的值是．
【知识点】交集及其运算．A1
【答案】【解析】-1解析：因为集合，，若，
又a2≥0，∴当a2=0时，a=0，此时N={0，0}，不符合集合元素的互异性，故a≠0，
当a2=1时，a=±1，a=1时，N={1，1}，不符合集合元素的互异性，故a≠1，
a=﹣1，此时N={﹣1，1},故a=﹣1．故答案为：﹣1。

【思路点拨】根据M∩N=N，分情况进行讨论。

【题文】12.若函数
1
2
1
2
,0,
()2,0,
(3),0,
x x
f x x
x x
-
⎧
>
⎪
⎪
=-=
⎨
⎪
⎪+<
⎩
且,若是偶函数，且在内是减函数，则整数的值
是__________．
【知识点】函数奇偶性的性质.B4
【答案】【解析】1或3解析：由分段函数f（x）可得，
b=f（f（f（0）））=f（f（﹣2））=f（1）=1，
由于是偶函数，且在内是减函数，
则a2﹣4a﹣1＜0，解得2﹣＜a＜2+，
由于a为整数，则a=0，1，2，3，4
检验：只有a=1，3时，函数y=x﹣4为偶函数，故答案为：1或3．
【思路点拨】运用分段函数表达式，求得b=1，再由幂函数的单调性得到a2﹣4a﹣1＜0，解得a，再求整数a，检验函数的奇偶性，即可得到a．
【题文】13.已知函数的部分图像如图，
令则．
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；数列的求和．C4 D4
【答案】【解析】0解析：由图象可知，T=，解得T=π，故有．
函数的图象过点（，1）故有1=sin（2×+φ），|φ|＜，故可解得φ=，从而有f（x）=sin （2x+）．
a1=sin（2×+）=1，a2=sin（2×+）=
a3=sin（2×+）=﹣，a4=sin（2×+）=﹣1
a5=sin（2×+）=﹣，a6=sin（2×+）=
a7=sin（2×+）=1，a8=sin（2×+）=
…
观察规律可知a n的取值以6为周期，且有一个周期内的和为0，且xx=6×335+4，
所以有：a xx=sin（2×+）=﹣1．
则a1+a2+a3+…+a xx=a2011+a xx+a xx+a xx=1+=0．
故答案为：0．
【思路点拨】先根据图象确定ω，φ的值，从而求出函数f（x）的解析式，然后分别写出数列a n的各项，注意到各项的取值周期为6，从而可求a1+a2+a3+…+a xx的值．
【题文】14. 定义域为的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是．
【知识点】抽象函数及其应用；函数的零点．B9 B10
【答案】【解析】解析：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，
函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．
∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
则有g（2）＞f（2），可得 log a（2+1）＞f（2）=﹣2，
即log a3＞﹣2，∴3＜，解得-＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，
故答案为：（0，）．
【思路点拨】令x=﹣1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．
【题文】三、选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分）
【题文】15. (1)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆在点处的切线方程为．【知识点】简单曲线的极坐标方程．N3
【答案】【解析】ρcosθ=2．解析：由ρ=2cosθ得，ρ2=2ρcosθ，则x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，
在点M（2，0）处的切线方程为x=2，所以切线的极坐标方程是：ρcosθ=2．
故答案为：ρcosθ=2．
【思路点拨】求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可．
【题文】(2)（不等式选讲选做题）已知函数．若不等式的解集为，则实数的值为 ．
【知识点】绝对值不等式的解法．N4
【答案】【解析】1 解析：∵函数，故有不等式可得，∴，解得．
再根据不等式的解集为，可得，∴，故答案为1．
【思路点拨】由不等式可得，解得．再根据不等式的解集为，可得，从而求得a 的值．
【题文】四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【题文】16．（本小题满分12分）
已知向量，向量，函数.
(1)求的最小正周期；
(2)已知，，分别为内角，，的对边，为锐角，，，
且恰是在上的最大值，求，和的面积.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用．C7
【答案】【解析】(1) ；(2) ，，
解析：(1)21()()sin 1cos 2
f x m n m x x x =+⋅=+++
………………3分
因为，所以 ……………………5分
(2) 由(1)知： 当时,
由正弦函数图象可知,当时取得最大值。

…………8分
所以, …………………9分
由余弦定理， ∴∴ ………10分
从而 ……………………12分
【思路点拨】(1) 首项利用向量的数量积求出三角函数的关系式，进一步利用恒等变换把函数转化成正弦型函数，最后求出最小正周期． (2) 利用(1)求出A 的大小，再利用余弦定理求出b 的长，最后求出三角形的面积．
【题文】17. (本小题满分12分)
已知函数（）在区间上有最大值和最小值．
设．
（1）求、的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系．B5 B9
【答案】【解析】(1) (2)
解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，
故，解得． ………………5分
（2）由已知可得，所以可化为，
化为，令，则，因，故，
记，因为，故， 所以的取值范围是．……12分
【思路点拨】（1）由函数，，所以在区间上是增函数，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为，故有，，求出的最大值，从而求得k的取值范围．
【题文】18．（本小题满分12分）
xx年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。

甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素满足，且,该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。

【知识点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．K6
【答案】【解析】(1) 35 (2) 14（3）
解析：（1）乙厂生产的产品总数为；…………………2分
（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；…………4分（3），……………………5分，……8分
的分布列为
………………11分
均值…………………12分
【思路点拨】（1）利用分层抽样方法能求出乙厂生产的产品总数．（2）样品中优等品的频率为，由分层抽样方法能求出乙厂生产的优等品的数量．（3）由题意知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值．
【题文】19 ．（本小题满分12分）
如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．
（1）求证：⊥
（2）若，，为的中点，求二面角的余弦值.
【知识点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．G4 G5 G11【答案】【解析】(1) 见解析； (2)
解析：(1)证明：三棱柱为直三棱柱，
平面，又平面，
-平面，且平面，
. 又平面,平面,，
平面，又平面，
⊥…………………………5分
(2)由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系
平面，其垂足落在直线上,
.
在中，，AB=2，,
在直三棱柱中，. 在中，
,
则(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,
（0，2，2）
设平面的一个法向量 则 即 可得
设平面的一个法向量 则 即 可得
平面与平面的夹角的余弦值是 ………12分 （或的法向量即为平面则平面BC A AD 11A AD BC,⊥ 在中，，AB=2,
则BD=1 可得D(
平面与平面的夹角的余弦值是 ………12分） 【思路点拨】(1) 由已知得平面，，．由此能证明． (2) 由（1）知,如图,以B 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．
【题文】20.（本小题满分13分）
已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，，成等差数列；
（1）求数列的通项公式；
（2）已知（），记，若对于恒成立，求实数的范围。

【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合.D3 D4 D5
【答案】【解析】(1) ；(2)
解析：（1）2132312111,,,2,2(1)(2),=-2
q S S S S S S a q q a q q ∴=+∴++=+设公比为，成等差得， 311411111+=1+=-=-()22
n n n a a a q a a a q -∴==-7又（），，所以16…………4分 （2）， 23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+
++-⋅+⋅
1
1122(2)(1)2212
n n n n T n n +++-∴=--⋅=-⋅+-………10分 若对于恒成立，则，
， ， 令，121211(2)21(1)()02121(21)(21)n n n n n n
n n f n f n +++++--⋅-+-=-=<---- 所以为减函数， …………13分
【思路点拨】(1) 设出等比数列的公比，利用对于任意的有，，成等差得代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列{a n }的通项公式可求； (2) 把（1）中求得的a n 和已知代入整理，然后利用错位相减法求T n ，把T n 代入后分离变量m ，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．
【题文】21．（本小题满分14分）
已知函数
（1）当时，求的最小值；
（2）在区间内任取两个实数,若不等式恒成立，求实数a 的取值范围；
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（3）求证：（其中）.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．B12
【答案】【解析】(1) ； (2)（3）见解析
解析：（1）
得上递减，上递增。

. …………………………………4分
（2），
表示点与点连成的斜率，又，
，即函数图象在区间任意两点连线的斜率大于1，
即内恒成立……………………….6分
所以，当恒成立.
设
若
当上单调递减；当上单调递增……8分
又故…………… 9分
（3）由（2）得，，∴，∴，
∴，
=
=1﹣，
∴+++…+＜．
【思路点拨】（1）把a=0代入函数解析式，然后直接利用导数求最小值；（2）把化为，表示点与点连成的斜率，，即函数图象在区间（2，3）任意两点连线的斜率大于1，即f′（x）
=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）内恒成立．然后利用分离变量法结合导数得答案；
（3）由（2）得，，即得到，然后利用错位相减法求数列的和，放缩后得答案．28588 6FAC 澬bnX•38857 97C9 韉t37964 944C 鑌25016 61B8 憸 SLL22059 562B 嘫
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