高考数学一轮复习 限时集训(四十一)数学归纳法 理

限时集训(四十一) 数学归纳法
(限时：45分钟 满分：81分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．如果命题P (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立，若P (n )对n ＝2也成立，则下列结论正确的是( )
A ．P (n )对所有正整数n 都成立
B ．P (n )对所有正偶数n 都成立
C ．P (n )对所有正奇数n 都成立
D ．P (n )对所有自然数n 都成立 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2
＋…＋a n ＋1
＝1－a n ＋2
1－a
(a ≠1)”，在验证n ＝1时，左端
计算所得的项为( )
A ．1
B ．1＋a
C ．1＋a ＋a 2
D ．1＋a ＋a 2
＋a 3
3．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *
)的过程，由n
＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )
A ．1项
B ．k 项
C ．2
k －1
项
D ．2k
项
4．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n
＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N *
) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N *) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N *
) D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N *
)
5．在数列{a n }中，a 1＝1
3，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )
A.1
n －1n ＋1
B.1
2n 2n ＋1
C.
1
2n －12n ＋1
D.1
2n ＋12n ＋2
6．设函数f (n )＝(2n ＋9)·3n ＋1
＋9，当n ∈N *时，f (n )能被m (m ∈N *
)整除，猜想m 的最
大值为( )
A ．9
B ．18
C ．27
D ．36
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．用数学归纳法证明“2n >n 2
＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________．
8．对大于或等于2的自然数 m 的n 次方幂有如下分解方式：
22
＝1＋3,32
＝1＋3＋5,42
＝1＋3＋5＋7；23
＝3＋5,33
＝7＋9＋11,43
＝13＋15＋17＋19. 根据上述分解规律，若n 2
＝1＋3＋5＋…＋19, m 3
(m ∈N *
)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．
9．若数列{a n }的通项公式a n ＝
1n ＋12
，记c n ＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过
计算c 1，c 2，c 3的值，推测c n ＝________.
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．用数学归纳法证明：12
＋32
＋52
＋…＋(2n －1)2
＝ 1
3
n (4n 2－1)． 11.设0<a <1，定义a 1＝1＋a ，a n ＋1＝1a n ＋a ，求证：对任意n ∈N *
，有1<a n <11－a .
12．已知数列{a n }，其中a 2＝6且a n ＋1＋a n －1
a n ＋1－a n ＋1
＝n .
(1)求a 1，a 3，a 4；
(2)求数列{a n }的通项公式； (3)设数列{b n }为等差数列，其中b n ＝
a n
n ＋c
且c 为不等于零的常数，若S n ＝b 1＋b 2＋…＋
b n ，
求1S 1＋1S 2＋…＋1S n
.
答 案
限时集训(四十一) 数学归纳法
1．B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7．5 8.15 9.
n ＋2
n ＋1
10．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12
＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时等式成立，即12
＋32
＋52
＋…＋(2k －1)2
＝
1
3
k (4k 2－1)． 则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k
2
－1)＋4k 2
＋4k ＋1
＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2
＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2
－4k ) ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2
－1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2
－1]． 即当n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)，(2)可知，对一切n ∈N *
，等式都成立．
11．证明：(1)当n ＝1时，a 1＝1＋a >1，又a 1＝1＋a <1
1－a ，显然命题成立．
(2)假设n ＝k (k ∈N *
)时，命题成立，即1<a k <11－a
. 即当n ＝k ＋1时，由递推公式， 知a k ＋1＝1
a k
＋a ，
由假设可得(1－a )＋a <1a k ＋a <1＋a <1
1－a .
于是当n ＝k ＋1时，命题也成立，即1<a k ＋1<11－a
. 由(1)(2)可知，对任意n ∈N *
， 有1<a n <1
1－a .
12．解：(1)∵a 2＝6，
a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，a 3＋a 2－1
a 3－a 2＋1
＝2，
a 4＋a 3－1
a 4－a 3＋1
＝3，解得a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28.
(2)由上面的a 1，a 2，a 3，a 4的值可以猜想a n ＝n (2n －1)． 下面用数学归纳法加以证明：
①当n ＝1时，a 1＝1×(2－1)＝1，结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论正确，即a k ＝k 2k －1，
则当n ＝k ＋1时，有
a k ＋1＋a k －1
a k ＋1－a k ＋1
＝k ，
∴(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)a k －(k ＋1)
＝(k ＋1)·k (2k －1)－(k ＋1)＝(k ＋1)(2k 2
－k －1) ＝(k ＋1)(2k ＋1)(k －1)(k －1≠0)． ∴a k ＋1＝(k ＋1)[2(k ＋1)－1]． 即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，{a n }的通项公式a n ＝n 2n －1.
(3)∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即
2a 22＋c ＝a 11＋c ＋a 3
3＋c
. ∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15且c ≠0， 由上式解得c ＝－1
2，
∴b n ＝
a n n －12＝n 2n －112
2n －1＝2n .
故S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋1)． ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1
.。