湖北省麻城博达学校高三数学综合测试试卷(文科)

湖北省麻城博达学校2008届高三数学综合测试试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的考号、班级、姓名等用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上. 2．每小题选出答案后，用钢笔或圆珠笔将答案填写在答题卷上.
一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，答案填在答题卷上.
1. 已知集合}112|{},10|{≤-=<<=x x T x x S 则S∩T 等于
A ．S
B ．T
C ．}1|{≤x x
D ．φ
2. 函数sin y x x =的周期为
A ．
2
π
B ．π
C ．π2
D ．π4 3. 若n
x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+13的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含x 的整数次幂的项共有
A ．2项
B ．3项
C ．5项
D ．6项
4. 函数
log (3)1a y x
=+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny ++=上，其中0mn >，则12
m n
+的最小值为
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
5. 已知等差数列{}n a 中，315,a a 是方程2
610x x --=的两根，则7891011a a a a a ++++
等于
A.18
B.18-
C. 15
D.12
6. 先后连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n)与向量(－1，1)的夹角
90>θ 的概
率是
A ．
21 B ．31 C ． 127 D ． 12
5 7. 正三棱锥S —ABC 中，若侧棱34=SA ，高SO =4,则此正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是
A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
8. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
24y x
=的准线重合。

设双曲线与抛物线的一个交点为P ,抛物线的焦点为F ，则||PF 等于 A ．21 B ．18 C
． D ．4 9. 已知函数()2sin (0)=>f x x ωω在区间]3
,4[π
π-上的最小值是2-则ω的最小值等于
A ．
23 B.3
2
C.2
D.3 10. 如果数列{}n a 满足，1,221==a a 且1
1
11++---=-n n n n n n n n a a a a a a a a （n ≥2），则此数列的第12
项为 A ．
122
1 B ．11
21 C ．121 D ．61
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二． 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 答案填在答题卷上. 11.
函数y =
_________.
12. 设x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≥+-≤0,063
y x y x x 则该不等式组表示的平面区域 ,则z=2x +y 的最大值_________.
13. 两个三口之家，拟乘两艘小游艇一起水上游，每艘游艇最多只能坐4个人，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能独坐一艘游艇，则不同的乘坐方法共有__________. 14. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且745
3n n A n B n +=
+，则使得n n
a b 为整数的正整数n 的个数是 .
15. 取棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体.则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为2
3a ；⑤体积为3
6
5a . 以上结论正确的是 .（要求填上的有正确结论的序号）
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
已知(3sin ,cos )22
=x x a ,(cos ,cos )22
=-x x
b ,函数()=⋅f x a b . (1)求)(x f 的单调递增区间；
(2)若(0,)2
π
∈x ，()f x =16-,求cos x 的值.
17.（本小题满分12分）
某工厂组织工人参加上岗测试，每位测试者最多有三次机会，一旦某次测试通过，便可上岗工作，不再参加以后的测试；否则就一直测试到第三次为止。

设每位工人每次测试通过的概率依次为0.2，0.4，0.5。

(1) 若有3位工人参加这次测试，求至少有一人不能上岗的概率。

(2) 若有4位工人参加这次测试，求恰有2人通过测试的概率。

18.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，C 1C=CB=CA=2，AC ⊥CB. D 、E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点.
（1）求B A 1与平面A 1C 1CA 所成角的大小； (2)求二面角B —A 1D —A 的大小；
（3）在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ？ 若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分12分） 已知曲线C ：
2
21y x λ
+=．
（1）由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，点P 分EF 所成的比为1
3
-，求点P 的轨迹. P 的轨迹可能是圆吗？请说明理由；
（2）如果直线l 的斜率为2，且过点M （0，2-），直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又
9
MA MB
2
?-
uu r uu r ，求曲线C 的方程．
20.（本小题满分12分） 已知：函数.3)(2
3
x ax x x f --=
（1）若)(x f 在),1[+∞∈x 上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若方程f(x)=(1)32
--x a (a>0)至多有两个解,求实数a 的取值范围.
21.(本小题满分14分)
数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2
,,n n n a S a 成等差数
列.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若b n =a +n 4
1
-n (n ∈*N ), B n 是数列{b n }的前n 项和,
求证：不等式 B 1n +≤4B n ，对任意n ∈*N 皆成立．
(3)令.}{,)
12)(12(21n n a a a n T n C C n n
n
项和的前求数列--=+
综合测试(五)参考答案
一、选择题 ACBCC DCDCD
二、填空题11.)3,2[ 12. 15 13. 48 14. 5 15. ①②⑤ 三、解答题 16. 解：（１）
2
1)6sin(21cos 21sin 232cos 2cos 2sin 3)(2--=--=-=⋅=πx x x x x x x f ……4分
由3
223
22
26
2
2π
ππ
ππ
ππ
π
π+
≤≤-
+
≤-
≤-
k x k k x k 得 )(Z k ∈ 所以)(x f 的单调递增区间为]3
22,3
2[π
ππ
π+
-k k )(Z k ∈ ………6分 （２）由)(x f =6
1-
得：31)6sin(=-πx 366,20ππππ<-<-∴<<x x
∴,3
2
2)6
cos(=
-
π
x ………8分
∴-⋅-
=+
-
=6
cos
)6
cos(]6
)6
cos[(cos π
π
π
π
x x x 6
sin
)6
sin(π
π
⋅-
x
=6
1
62213123322-=⨯-⨯…………12分 17. 解：1) 每位工人通过测试的概率为5
4
2112115111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
--…………2分
每位工人不能通过测试的概率为
5
1
.…………4分 3人中至少有一人不能通过测试的概率125615413
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-.…………6分
(2) 4位工人中恰有2人通过测试的概率为P=C 24(2
2
)5
1()5
4
⋅=
625
96
…………12分 。

18. 解：（1）∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱 ∴CC 1⊥底面ABC ∴CC 1⊥BC
∵AC ⊥CB ∴BC ⊥平面A 1C 1CA ………………2分
∴C BA 1
∠为B A 1
与平面A 1C 1CA 所成角2
2
arctan arctan
11==∠C A BC C BA ∴B A 1与平面A 1C 1CA 所成角为2
2
arctan
……………4分 （2）分别延长AC ，A 1D 交于G. 过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连结BM ∵BC ⊥平面ACC 1A 1 ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影
∴BM ⊥A 1G ∴∠CMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角……6分 平面A 1C 1CA 中，C 1C=CA=2，D 为C 1C 的中点 ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG 中， 5
5
2=
∴CM 5C M B t a n
=∠∴, 即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan …………………8分
（3）在线段AC 上存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD………10分
其位置为AC 中点，证明如下：
∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱柱 ， ∴B 1C 1//BC ∵由（1）BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA
∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ，F 为AC 中点 ∴C 1F ⊥A 1D ∴EF ⊥A 1D ……11分 同理可证EF ⊥BD, ∴EF ⊥平面A 1BD …………12分 ∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面 ,点F 唯一 解法二：（1）同解法一……………………4分
（2）∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱住 C 1C=CB=CA=2 , AC ⊥CB D 、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点, 建立如图所示的坐标系得
C （0，0，0） B （2，0，0） A （0，2，0） C 1（0，0，2） B 1（2，0，2） A 1（0，2，2）
D （0，0，1）
E （1，0，2）………………6分
)
2,2,2()
1,0,2(1-=-=∴BA BD 设平面A 1BD 的法向量为n (1,,)=l m r
⎩⎨⎧=μ-=λ⎩
⎨⎧=μ+λ+-=μ+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴2102220
20BA n 0n 1得即 n (1,1,2)\=-r ……………8分
平面ACC 1A 1的法向量为m r
=（1，0，0）
1cos n,m 6
<>=
=
r r …9分 即二面角B —A 1D —A 的大小为6
6
arccos
……………10分 （3）在线段AC 上存在一点F ，设F （0，y ，0）使得EF ⊥平面A 1BD
欲使EF ⊥平面A 1BD 由（2）知，当且仅当n r
//…………11分
)2,y ,1(-= 1=∴y … ……13分
∴存在唯一一点F （0，1，0）满足条件. 即点F 为AC 中点……12分 19.解：（1）设00(,),(,)E x y P x y ，则0(,0)F x ， ∵点P 分EF 所成的比为13- ∴ 1
3
EP PF =- ∴ ()()0001
,,3
x x y y x x y --=-
--
∴0023x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
代入2
2
001y x λ+=中，得2
2419y x λ
+=为P 点的轨迹方程. 当4
9
λ=
时，轨迹是圆。

……6分 （2）由题设知直线l
的方程为2y -， 设()()1122,,,A x y B x y
联立方程组2221y y x λ
⎧=-⎪
⎨+=⎪⎩ ，消去y 得：(
)2240x λλ+-+-=.
∵ 方程组有两解 ∴ 20λ+≠且0∆> ∴2λ>或0λ<且2λ≠- …………8分 又已知9
2
MA MB ⋅=
，M 、A 、B 三点共线，由向量知识得MA MB MA MB ⋅=⋅或 MA MB MA MB ⋅=-⋅ ，而 ()()
121222MA MB x x y y ⋅=++⋅
+121212
3x x x x ==
∴1233()22
x x =
-或 又 ∵ 1242x x λλ-=+ ∴
433()222λλ-=-+或 解得2
5
λ=（舍去）或14λ=- ∴ 曲线C 的方程是2
2
114
y x -=. ……………１2分 20.解析：（1）0323)(2
≥--='ax x x f ………2分 1≥∴x ),1
(23x
x a -≤
∴ 当x≥1时，
)1(23x x -是增函数，其最小值为0)11(2
3
=-.0≤∴a ………6分 （2）
:023)(2
2a x a x a ax x x f -===--='或得 有∴>,0a
)(3
x f a
x 时-=∴有极大值1275)3()(3+=
-=a a f x f 极大
)(x f a x 时=有极小值,,1)()(3
+-==a a f x f 极小 ………8分
∵若方程f(x)=(1)32--x a (a>0)至多有两个解,∴f(a)≥0或f(3
a
-)≤0, ………10分 ∴13
+-a ≥0或
127
53
+a ≤0 (舍) 解得0<a≤1. ………12分 21（1）解：由已知：对于*
N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立
∴2
1112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② …………………2分
①--②得2112
2----+=n n n n n a a a a a , ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a
∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2）
∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 ………3分, 又n=1时，21112S a a =+， 解得1a =1 ∴n a n =.(*
N n ∈) ……4分
（2）b n = n+4
1
-n , 所以数列{b n }的前n 项和41(1)
32
n n n n S -+=+……6分 ∴对任意的n ∈*
N ， 1141(1)(2)
41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭
21
(34)02
n n =-+-≤．……8分
所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*
N 皆成立．(注：这里的S n 都换为B n ) (3)由（1）知n a n
22
=∴
121
121)12)(12(21
1---=--=++n n n n n n b
………12分 1
21
1)121121(...)121121()1211(11322--=---++---+--
=++n n n n T ………14分。