曲线的参数方程和与普通方程的互化

2、参数方程和普通方程 的互化
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数。
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x t an , （为参数） y cot .
y都是某个变数t的函数即并且对于t的每一个允许值由上述方程组所确定的点mxy都在这条曲线上那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程联系xy之间关系的变数叫做参变数简称参数
第二讲
参 数 方 程
1、参数方程的概念
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数t的函数，即
x f (t ) y g (t )
步骤：（1）消参；
(3)
y=t2+1/t2
（2）求定义域。
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2பைடு நூலகம்2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
练习 1.化下列参数方程为普通 方程 x t 1 （ 1 ） y 1 2 t x sin t (3) 2 y sin t 1 x t (5) t y 2 x t (2) 2 y t 1 t t x ( e e ) 2 (4) y 1 (e t e t ) 2
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的 点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫 做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数 叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有 物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的 变数。 （2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程y=2x-4 （x≥0）。
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范 围保持一致。否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
）； （B）抛物线的一部分，这部分过（ 1， 2
1 （C）双曲线的一支，这支过点（–1， ）； 2
1 （D）抛物线的一部分，这部分过（–1，） 2
分析: 一般思路是：化参数方程为普通方程 求出范围、判断。 2 解: x2= (cos sin ) =1+sin=2y， 2 2
普通方程是x2=2y，为抛物线。 x | cos sin | 2 sin( ) ，又0<<2，
4 所以x 2, 2 . 所以普通方程是x y , x 2, 2
2
例２、求参数方程
x | cos sin |, 2 2 (0 2 ) 表示（ B ） y 1 (1 sin ) 2
1 （A）双曲线的一支，这支过点（1， ）： 2 1
为参数。
2 2 x 3 1 t x －3 1 t （2）参数方程是 或 y 2t y 2t
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3 cos y 3 sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
x= sin cos (2) ( 为参数). y 1 sin 2
解： (1)因为x t 1 1 所以普通方程是y 2 x （ 3 x 1)
这是以（1， 1）为端点的一条射线（包括端点） (2)因为：x sin cos 2 sin( )
2 2 2 4
0<x 2 ，故应选（B） 说明: 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法 是最好的方法。
x y 1的参数方程。 例3 求椭圆 9 4
2
2
(1)设x=3cos，为参数；
(2)设y=2t，t为参数.
x 3cos 解：（1）参数方程是 y 2sin
（2）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒 等式消元等）消去参数化为普通方程。 如：①参数方程
x a r cos , 消去参数 y b r sin .
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
x t , ②参数方程 （t为参数） y 2 t 4.
小
结
1、曲线的参数方程的意义； 曲线的参数方程与普通方程的互化： 2、
引入参数
普通方程
消去参数
参数方程