人教新课标版数学高二选修4-1【知能演练】2-3圆的切线的性质及判定定理

一、选择题
1．已知圆的半径为6.5 cm，圆心到直线l的距离为4.5 cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是
()．A．0B．1C．2D．不能确定
解析圆心到l的距离是4.5 cm小于圆的半径6.5 cm，故圆与l相交．
答案 C
2．下列说法中正确的个数是
()．
①垂直于半径的直线是圆的切线；
②过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
③过切点且垂直于切线的直线必过圆心；
④过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
⑤同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析①不正确，因为垂直于半径的直线不一定是圆的切线；②正确；③正确；④不正确，必须是过半径的外端点且垂直于这条半径的直线才是圆的切线；⑤正确．
答案 B
3．如图所示，已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°，过C
点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的
半径为
()．
A.5
3 3 B.
5
6 3
C．10 D．5 解析连接OC，则有∠COP＝60°，
OC⊥PC，可求OC＝5
3 3.
答案 A
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝
3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与
AC相切于C，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线
段BD的长为
()．
A．1 B.1
2 C.
1
3 D.
1
4
解析⊙O与AC相切于C，则∠ACB＝90°，又AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，连接OE，且设⊙O的半径为R，则由△OEB∽△ACB，
∴OB＝OE·AB
AC ＝5
4R，
∴BC＝OC＋OB＝R＋5
4R＝9
4R＝3，
∴R＝4
3，∴BD＝BC－2R＝3－8
3
＝1
3.
答案 C
二、填空题
5．若直线l与半径为r的⊙O相交，且圆心O到直线l的距离为5，则r的取值范围是__________．
解析由直线与圆相交的等价条件易得．
答案(5，＋∞)
6．如图所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的
延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝________.
解析连接OB，则OB⊥AB，
∴∠AOB＝90°－∠A＝70°，
∴∠BOD＝180°－∠AOB＝110°，
又OB＝OD，
∴∠OBD＝1
2(180°－∠BOD)＝35°，
∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.
答案55°
7．如图所示，直线AB与⊙O相切于点P，CD是⊙O的直径，
C、D与AB的距离分别为4 cm、2 cm，则⊙O的半径为
________．
解析利用圆的切线及梯形中位线的知识可知⊙O的半
径为3 cm.
答案 3 cm
8．如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为4 cm，
则过AB、BC中点的弦EF的长是________ cm.
解析利用圆内半径与弦的关系，并结合圆内接四边形
的知识连接OB交EF于H，连接OE，则OH＝2 cm，则HE＝42－22＝23 cm，∴EF＝4 3 cm.
答案4 3
三、解答题
9．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC于点D，试判断△AED的形状，并说明理由．
解△AED为直角三角形，理由如下：
连接OE，∵ED为⊙O切线，
∴OE⊥ED.
∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠OEA，
∴OE∥AC，∴AC⊥DE，
∴△AED为直角三角形．
10．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系？
解过E作EF⊥CD于F，
∵DE平分∠ADC，
CE平分∠BCD，
∠A＝∠B＝90°，
∴AE＝EF＝BE＝1
2AB.
∴以AB为直径的圆的圆心为E，
∴EF是圆心E到CD的距离，且EF＝1
2AB，
∴以AB为直径的圆与边CD是相切关系．
11．(拓展深化)如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin B＝1
2，∠
D＝30°.
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若AC＝6，求AD的长．(1)证明如图，连接OA，
∵sin B＝1
2，∴∠B＝30°，∵∠AOC
＝2∠B，∴∠AOC＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°，
∴AD是⊙O的切线．
(2)解∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6，∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，
∴AD＝3AO＝6 3.。