九年级数学一元二次方程的几种解法

系数一半的平方，得
写成（）2 的形式，得 开平方，得
解这两个方程，得
练习： 2 x 3 7 x. 解： 3 7 2 x x. 二次项系数化1：两边同时
2
除以二次项系数，得
2
2
移项：将常数项移到等号一边，得 配方：左右两边同时加上一次项
系数一半的平方，得
7 3 x . 2 2 2 2 7 7 7 3 2 x x . 2 2 4 4 x2
∴ x=0.
2=0 (a≠0) ax 形如
的一元二次方程的解法： ax2=0, 解：x2=0，
∴ x=0.
4x2=36, 解：x2=9， ∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
4x2-36=0. 解： 4x2=36, x2=9，
∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
形如 ax c 0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
2+c=0 (a≠0,c≠0) ax 一元二次方程
ax2=0
(a≠0)
（１）化为一般形式后， （２）二次项的系数是否为0
是判断一元二次方程的关键.
例１、方程 3xx 1 2x 2 8 是否 为一元二次方程？如果不是，说明理由； 如果是，指出它的二次项、一次项系数 及常数项.
2
x 2
2
5.
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 的形式，得
x 2
2
5.
x 4 x 1.
2
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 的形式，得
x 2
2
5.
x 4 x 1.
2
配方：左右两边同时加上一个常
数，凑成完全平方，得
x 4 x 4 1 4.
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（ ）2 的形式；
5、开平方：化成一元一次方程；
6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
三、练习
练习
（1） （2）
1、填空：
2
x 8x __ x _ .
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , x1 1, x2 6. 2 2 2 2
2
(4)
1 解： 3 y 6 y 1 0, y 2 y 3 , 1 2 y 2 y 1 1, 3 4 4 2 y 1 , y 1 , 3 3
解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8.
移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.
合并同类项，得
3x2-5x-12=0.
∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３， 一次项系数是 - 5，常数项是 – 12.
练习：说出下列方程的二次项系数、一 次项系数和常数项： 2 （1） x 3x 2 0. 答：a=1, b=3, c= -2.
2
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 的形式，得
x 2
2
5.
x 2 4 x 1 0.
x 4 x 1.
2
配方：左右两边同时加上一个常
数，凑成完全平方，得
x 4 x 4 1 4.
2
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 的形式，得
x 2
2
x 5x __ x _ .
2 2
（3）
（4）
4 2 x x __ x __ . 3 3 2 2 x x __ x __ . 4
2
（5）
x px __ x __ .
2 2
练习
（1） （2）
1、填空：
2
16 x 4 x 8x __ _ .
移项：将常数项移到等号一边，得
配方：左右两边同时加上一次项
系数一半的平方，得
写成（）2 的形式，得 开平方，得 解这两个方程，得
解：
练习：x 6 x 7 0.
2
移项：将常数项移到等号一边，得
配方：左右两边同时加上一次项
系数一半的平方，得
x 6 x 7.
2
2
x 6 x 9 7 9.
2
x 4 x 4 1 4.
2
x 4 x 4 5.
2
写成（）2
的形式，得
x 2
2
5.
开平方，得 解这两个方程，得
x 2 5. x1 2 5, x2 2 5.
练习：x 解： 二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
2
6 x 7 0.
x 3
2
5,
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
(2)
2t 7t 4 0.
2
2 2
7 解： 2t 7t 4, t t 2, 2 7 7 7 t t 2 , 2 4 4
2 2 2
2 3 2 x 5
（不是整式方程） （不是整式方程） （不是一元方程）
x x5
x 2y 3 0
2
2
2xx 3 2x 1 （不是二次方程）
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0, b≠0, c≠0)
ax2+bx+c=0
(a≠0) 不完全的
2
（3）
（4）
5 25 2 2 x 5x __ 4 x_ 2 . 4 2 4 2 2 x x __ 9 x __ 3 .


（5）
3 9 3 3 2 2 x x __ 64 x __ 8 . 4 2 p p 2 2 x px __ 2 . 4 x __
写成（）2 的形式，得 开平方，得
7 49 24 . x 4 16 16
2
解这两个方程，得
7 25 x . 4 16 2 x1 , x2 3. 1 4 4 4 4 1 2 x ,x . 7 5 7 5
解法2：配方法
配方法的基本步骤：
的一元二次方程的解法：
2=0 (a≠0) ax 形如
的一元二次方程的解法： 2x2=0, 解：x2=0，
∴ x=0.
2=0 (a≠0) ax 形如
的一元二次方程的解法： 5x2=0, 解：x2=0，
∴ x=0.
2=0 (a≠0) ax 形如
的一元二次方程的解法： -3x2=0, 解：x2=0，
一元二次方程的几种解法
引例
剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使 它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 解：设这块铁片的宽为x cm，那么它的 长为（x+5) cm. 根据题意，得 x（x+5)=150. 去括号，得 x2+5x=150.
第十二章 一元二次方程
12.1
用公式解一元二次方程 第一节
x 2 4 x 1 0.
x 4 x 1.
2
配方：左右两边同时加上一个常
数，凑成完全平方，得
x 4 x 4 1 4.
2
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 的形式，得 开平方，得 解这两个方程，得
x 2
2
5.
x 2 5. x1 2 5, x2 2 5.
6 x x 5 0.
答：a=6, b=1, c= -5.
例2、 已知：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围. 解：∵ 原方程是一元二次方程， ∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ . 2
二、一元二次方程的解法
2=0 (a≠0) ax 形如
（2）
2 x 5x 3 0. 答：a=-2, b=-5, c= 3.
2
（3）
3x 5 x 2. 3x 5x 2 0.
2
2
答：a=3, b=-5, c= 2.
（4）2 x 1

3x 2 3. 6x
2 2
4 x 3x 2 3,
x 6 x 9 2.
2
写成（）2
的形式，得
x 3
2
2.
开平方，得 解这两个方程，得
x 3 2. x1 3 2 , x2 3 2.
练习： 2x 解： 二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
2
3 7 x.
移项：将常数项移到等号一边，得 配方：左右两边同时加上一次项
7 81 7 32 49 ,t , t 4 16 4 16 16 7 9 7 9 t1 , t 2 , 4 4 4 4 1 t1 4, t 2 . 2
2
(3)
x 5x 6 0.
2
解： x 2 5 x 6,
2
5.
x 2 5.
x 2 5.
即：x1 2 5, x2 2 5.
2x 2 5.
2
解：系数化1，得 x 2
2
5 , 2
2x 2 5.
2
5 解：系数化1，得 x 2 , 2 开平方，得 5 x2 . 2
一、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
1、只含一个未知数的 一元方程； 2、未知数的最高次数是2的 二次方程； 3、整式方程.
x 5x 150 x 5x 150 0
2
2
( x 3) 7 x 6 x 2 0
2、用配方法解下列方程：
(1)
(2) (3) (4)
x 6 x 4 0;
2
2t 7t 4 0;
2
x 5 x 6 0;
2
3 y 1 6 y.
2
(1)
x 6 x 4 0.
2
解：
x 6 x 4,
2 2
x 6 x 9 4 9,
2
3 2 x , 2 3 2 3 2 x1 , x2 . 2 2
2 -3x +7=0.
解： 3 x
2
2
7 ,
7 x , 3 7 x , 3 21 x , 3 21 x1 , x2 3
21 . 3
x 2
将(x-2)看作一个 整体, 开平方，得:
2
5.
解：
移项：将常数项移到等号一边，得
x 2 4 x 1 0.
x 4 x 1.
2
配方：左右两边同时加上一个常
数，凑成完全平方，得
x 4 x 4 1 4.
2
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 的形式，得
x 2
2
5.
解：
移项：将常数项移到等号一边，得
2
c x . a c 当ac<0时 ， x . a 当ac＞0时 ，此方程无实数解.
2
ax c.
2
解法1、直接开平方法
如 x2=8, 2x2=9, -3x2+7=0,……等等.
2 x =8.
解：x 8, x 2 2.
2 2x =9.
解：
9 x , 2 9 x , 2
2
x2
10 2
或
x2
10 . 2
解这两个一元一次方程，得
2 x1 2 , 10
2 x2 2 . 10
解法1：直接开平方法
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0)
或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)
的一元二次方程都可用直接开平 系数一半的平方. a2±2ab+b2=(a±b)2.
3x 解： 二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
2
12x 3 0.
x 4 x 1 0.
2
移项：将常数项移到等号一边，得
配方：左右两边同时加上一次项
系数一半的平方，得
x 4 x 1.
2
2
3x 5 x 0 1 2 x 1 0 2
2
4x 0
2
2 3 2 x 5
（不是整式方程） （不是整式方程） （不是一元方程）
x x5
x 2y 3 0
2
2
2
2xx 3 2x 1
去括号： 2x 6x 2x 1
2
合并同类项： 6 x 1.