2016年中考数学一轮复习第十七讲锐角三角函数与解直角三角形专题训练

第17讲 锐角三角函数与解直角三角形
考纲要求
命题趋势
1．理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．
2．掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形． 3．利用解直角三角形的知识
解决简单的实际问题.
中考中主要考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形．题型以解答题和填空题为主，试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点.
知识梳理
一、锐角三角函数定义
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .
∠A 的正弦：sin A ＝∠A 的对边
斜边＝________；
∠A 的余弦：cos A ＝∠A 的邻边
斜边＝________；
∠A 的正切：tan A ＝∠A 的对边
∠A 的邻边
＝________.
它们统称为∠A 的锐角三角函数．
锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．
二、特殊角的三角函数值
三、解直角三角形 1．定义：
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角) 2．直角三角形的边角关系：
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c . (1)三边之间的关系：____________； (2)锐角之间的关系：____________；
(3)边角之间的关系：sin A ＝a
c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝b a
. 3．解直角三角形的几种类型及解法：
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，c ＝a sin A ，b ＝
a
tan A (或b ＝c 2
－a 2
)；
(2)已知斜边和一个锐角(如c ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，a ＝c ·sin A ，b ＝c ·cos
A (或b ＝c 2－a 2)；
(3)已知两直角边a ，b ，其解法为：c ＝a 2＋b 2
，
由tan A ＝a
b
，得∠A ，∠B ＝90°－∠A ；
(4)已知斜边和一直角边(如c ，a )，其解法为：b ＝c 2
－a 2
，由sin A ＝a c
，求出∠A ，∠B ＝90°－∠A .
四、解直角三角形的应用
1．仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点________与水平距离之比，常用i 表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面________．
自主测试
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( )
A ．sin A ＝32
B ．tan A ＝12
C ．cos B ＝
3
2
D ．tan B ＝ 3 2．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．24 3．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝
32，计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13－1
的值．
考点一、锐角三角函数的定义
【例1】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则sin A 的值是( )
A ．513
B ．1213
C ．512
D ．135
解析：∵在Rt △ABC 中，AB ＝13，BC ＝5，∴sin A ＝BC AB ＝5
13
，故选A.
答案：A
方法总结 求锐角三角函数值时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的关键是：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的公式．解题的前提是在直角三角形中，如果题目中无直角时，必须想办法构造一个直角三角形．
触类旁通1 如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB ＝4，BC ＝5，则tan ∠AFE 的值为( )
A ．43
B ．35
C ．34
D ．45 考点二、特殊角的三角函数值 【例2】如果△ABC 中，sin A ＝cos B ＝2
2
，则下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形 解析：由sin A ＝cos B ＝
2
2
可知，∠A ＝∠B ＝45°， 所以∠C ＝90°，所以△ABC 是等腰直角三角形． 答案：C
方法总结 特殊角的三角函数值在中考当中出现的概率很大，同学们应该熟记，但不要死记，可以结合图形，根据定义理解记忆．
触类旁通2 计算：|－2|＋2sin 30°－(－3)2
＋(tan 45°)－1
. 考点三、解直角三角形
【例3】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在AC ，AB 上，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，
AE ＝6，cos A ＝35
.
求：(1)DE ，CD 的长；(2)tan ∠DBC 的值．
解：(1)∵DE ⊥AB ，∴∠DEA ＝90°.在Rt △AED 中，cos A ＝AE AD ，即6AD ＝3
5
.∴AD ＝10.
根据勾股定理得DE ＝AD 2
－AE 2
＝102
－62
＝8.
又∵DE ⊥AB ，DC ⊥BC ，BD 平分∠ABC ， ∴DC ＝DE ＝8.
(2)∵AC ＝AD ＋DC ＝10＋8＝18，在Rt △ABC 中，cos A ＝AC AB ，即18AB ＝3
5
，∴AB ＝30.根据勾股
定理得BC ＝AB 2
－AC 2
＝302
－182
＝24.
∴在Rt △BCD 中，tan ∠DBC ＝DC BC ＝824＝1
3
.
方法总结 解这类问题主要是综合运用勾股定理、锐角三角函数定义、直角三角形的两个锐角互为余角．解题时应尽量使用原始数据，能用乘法运算就尽量不用除法运算． 触类旁通3 如图是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝3
3
，则边BC 的长为( )
A ．303cm
B ．203cm
C ．103cm
D ．53cm
考点四、解直角三角形在实际中的应用
【例4】某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如图所示，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α.测得A ，B 之间的距离为4米，tan α＝1.6，tan β＝1.2，试求建筑物CD 的高度．
分析：求建筑物CD 的高度关键是求DG 的长度，先利用三角函数用DG 表示出GF ，GE 的长，利用EF ＝GE －GF 构建方程求解．
解：设建筑物CD 与EF 的延长线交于点G ，DG ＝x 米． 在Rt △DGF 中，tan α＝DG GF ，即tan α＝x GF
. 在Rt △DGE 中，tan β＝DG GE ，即tan β＝x GE
. ∴GF ＝
x tan α
，GE ＝
x tan β.∴EF ＝x tan β－x
tan α
. ∴4＝x
1.2－x
1.6.解方程，得x ＝19.
2.∴CD ＝DG ＋GC ＝19.2＋1.2＝20.4(米)．
答：建筑物CD 高为20.4米．
方法总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是转化和构造，即把实际问题转化为数学问题，并构造直角三角形，利用解直角三角形的知识去解决，解题时要认真审题，读懂题意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含义，然后再作图解题．
1．(2012四川乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为( )
A ．12
B ．22
C ．3
2
D ．1 2．(2012浙江舟山)如图，A ，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC ＝a 米，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝40°，则AB 等于( )米．
A ．a sin 40°
B ．a cos 40°
C ．a ta n 40°
D ．a
tan 40°
3．(2012福建福州)如图，从热气球C 处测得地面上A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A ，D ，B 在同一直线上，则AB 两点的距离是( )
A ．200米
B ．2003米
C ．2203米
D ．100(3＋1)米
4．(2012山东济宁)在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin B －222＝0，则∠C ＝__________.
5．(2012湖南株洲)数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米．
6．(2012湖南衡阳)如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD ，试根据图中的数据，求出坝底宽AD .(i ＝CE :ED ，单位：m)
7．(2012山东潍坊)校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A ，B ，使∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°.
(1)求AB 的长(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)；
(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )
A ．
53 B ．255 C ．52 D ．23
2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A ＝b a
.则下列关系式中不成立的是( )
A ．tan A ·co t A ＝1
B ．sin A ＝tan A ·cos A
C ．cos A ＝cot A ·sin A
D ．tan 2A ＋cot 2
A ＝1
3．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为( )
(第3题图)
A ．h sin α
B ．h tan α
C ．h
cos α
D ．h ·sin α 4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤高BC ＝5 m ，则坡面AB 的长度是( ) A ．10 m B ．103m C ．15 m D ．53m
(第4题图)
5．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 地，他先沿正东方向走了200 m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B ，C 两地相距__________m.
6．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于__________．
7．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，CD ＝5 cm ，求AB 的长．
8．综合实践课上，小明所在的小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸AB ∥CD ，河岸AB 上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD 的M 处测得∠α＝36°，然后沿河岸走50米到达N 点，测得∠β＝72°.请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR (结果保留两位有效数字)．
(参考数据：sin 36°≈0.59.cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08) 参考答案 导学必备知识 自主测试 1．D 2．B
3．解：∵sin(α＋15°)＝
32，∴α＝45°，∴原式＝22－4×2
2
－1＋1＋3＝3. 探究考点方法
触类旁通1．C 由折叠过程可知，CF ＝BC ＝5，根据勾股定理得DF ＝3，所以AF ＝AD －DF ＝2，设AE ＝x ，则EF ＝BE ＝4－x ，在Rt △AEF 中，(4－x )2＝22＋x 2
，解得x ＝32，所以tan ∠
AFE ＝AE AF ＝322＝34
.
触类旁通2．解：原式＝2＋2×12
－3＋1－1
＝1.
触类旁通3．C 因为tan ∠BAC ＝BC AC ，所以BC ＝AC ×tan ∠BAC ＝30×3
3
＝103(cm)． 品鉴经典考题
1．C 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，∴sin A ＝BC AB ＝BC 2BC ＝1
2
.
∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴sin B ＝
3
2
，故选C. 2．C 在Rt △ABC 中，AC ＝a 米，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝40°，∴tan 40°＝AB AC
，∴AB ＝a tan 40°.
3．D 由题意得∠A ＝30°，∠B ＝45°.
AD ＝
CD tan A ＝1003(米)，BD ＝CD
tan B
＝100(米)，
则AB ＝AD ＋BD ＝1003＋100＝100(3＋1)(米)． 故选D.
4．75° 由题意得：cos A －12＝0，sin B －2
2＝0，
∴cos A ＝12，sin B ＝
2
2
，
∴∠A ＝60°，∠B ＝45°，∴∠C ＝75°.
5．10 3 在直角三角形中，tan 60°＝旗杆的高度
10，所以旗杆的高度＝103(米)．
6．解：如图所示，过点B 作BF ⊥AD ，可得矩形BCEF .
∴EF ＝BC ＝4，BF ＝CE ＝4. 在Rt △ABF 中，AB ＝5，BF ＝4. 由勾股定理可得：AF ＝52
－42
＝3(m)．
又∵在Rt △CED 中，i ＝CE ED ＝1
2，
∴ED ＝2CE ＝2×4＝8(m)．
∴AD ＝AF ＋FE ＋ED ＝3＋4＋8＝15(m)． 7．解：(1)由题意得，在Rt △ADC 中，
AD ＝CD tan 30°＝21
3
3
＝213≈36.33；
在Rt △BDC 中，BD ＝
CD
tan 60°＝21
3
＝73≈12.11，
所以AB ＝AD －BD ≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)． (2)校车从A 到B 用时2秒，
所以速度为24.2÷2＝12.1(米/秒)， 因为12.1×3 600＝43 560，
所以该车速度为43.56千米/时，大于40千米/时， 所以此校车在AB 路段超速． 研习预测试题 1．A 2．D 3．A 4．A 5．200 6．1
2
7．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°.∴AD ＝DB .
又∵Rt △CBD 中，CD ＝5 cm ，
∴BD ＝10 cm.∴BC ＝53cm ，AB ＝2BC ＝103cm. 8．解：过点F 作FG ∥EM 交CD 于G .
则MG＝EF＝20米，∠FGN＝∠α＝36°.
∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°.
∴∠FGN＝∠GFN，
∴FN＝GN＝50－20＝30(米)．
在Rt△FNR中，
FR＝FN·sin β＝30×sin 72°≈30×0.95＝28.5≈29(米)．
故河宽FR约为29米．
11。