高二下册期中考试数学理试题及答案(人教版)

高二年级第二学期期中练习
数 学（理科）
学校 班级 姓名 成绩 本试卷共100分.考试时间90分钟.
一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数12i z =-的虚部是
A. 2-
B. 2
C.2i -
D. 2i 2.下列导数运算错误．．的是（ ） A. 21()'2x x --=- B.(cos )'sin x x =- C. (ln )'1ln x x x =+ D. (2)'2ln 2x x = 3. 函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的极大值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.若函数()f x 的导函数'()(2)e x f x x x -=-，则下列关系一定成立的是
（ ）
A.(2)0f >
B. (0)(1)f f >
C. (2)(1)f f <
D. (2)(3)f f >
5. 已知两个命题：
:p “若复数12,z z 满足120z z ->，则1z >2z .”
:q “存在唯一的一个实数对(,)a b 使得i i(2i)a b -=+.” 其真假情况是（ ）
A.p 真q 假
B. p 假q 假
C. p 假q 真
D. p 真q 真 6．若小球自由落体的运动方程为2
1()2
s t gt =
（g 为常数）
，该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为（ ）
A ．2v
v > B ．2v v < C ．2v v = D ．不能确定
7.如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y . ① k 的取值范围是1(0,)e
.
② 12
11k x x <<. ③ 当12(,)x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒为负.
以上结论中所有正确结论的序号是（
A.①
B.①②
C.①③8.已知函数32()f x ax
bx cx d =+++()f x 的图象可能是（ ）
9.计算
1+2i
i
=_________. 10．20
(3)x dx -=⎰_____________.
11.已知()1
x
f x x =
- ，则'()f x =______________． 12. 方程(1)1x x e -=的解的个数为_______________.
三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.（本小题12分） 已知函数cx bx ax x f ++=2
3
)(，其导函数为)('x f 的部分值如下表所示：
（Ⅰ）实数c 的值为___________；当x = ________时，()f x 取得极大值．．．（将答案填写在横线上）. （Ⅱ）求实数a ，b 的值.
（Ⅲ）若()f x 在(,2)m m +上单调递减，求m 的取值范围.
14.（本小题10分）
如图，四棱锥B ACDE -的底面ACDE 满足 DE //AC ，AC =2DE . （Ⅰ）若DC ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，求证：平面ABE ⊥平面BCD ; （Ⅱ）求证：在平面ABE 内不存在直线与DC 平行；
某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第 （2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容.
（Ⅰ）证明：欲证平面ABE ⊥平面BCD ，
只需证_______________________________，
由已知AB ⊥BC ，只需证_________________， 由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立， 所以平面ABE ⊥平面BCD .
（Ⅱ）证明：假设________________________________________，
又因为DC ⊄平面ABE ，所以//DC 平面ABE . 又因为平面ACDE I 平面ABE =AE , 所以__________________， 又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，
所以AC DE =，这与_______________________________矛盾， 所以假设错误，原结论正确.
15.（本小题12分）
已知函数()ln f x x ax =+（a ∈R ）. （Ⅰ）若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线与直线x y 2=平行，求实数a 的值及该切线方程； （Ⅱ）若对任意的),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围.
16. （本小题8分）
请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答： 问题1：已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 具有性质P ：
对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与
j i
a a 两数中至少有一个属于A .若数集{}14,2,3,a a 具有性质P ，求
,a a 的值.
问题2：已知数集1212,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 具有性质P ：
对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .若数集{}14,1,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.
17. （本小题10分）
已知函数1
()(0)f x x x
=>，对于正数1x ，2x ，…，n x (n ∈N +)，记12n n S x x x =+++L ，如图，由点(0,0)，(,0)i x ，(,())i i x f x ，(0,())i f x 构成的矩形的周长为i C (1,2,,)i n =L ，都满足4i i C S =(1,2,,)i n =L . （Ⅰ）求1x ；
（Ⅱ）猜想n x 的表达式（用n 表示），并用数学归纳法证明.
数 学（理科）
一、选择题：本大题共8小题， 每小题4分，共32分.
AABD CCCD
二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分，共16分.
9.2i - 10. 4- 11. 2
1
(1)x -- 12. 1
三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.（本小题12分） （Ⅰ）6， 3. ------------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）解：2'()32f x ax bx c =++，
--------------------------------------------------------------5分
由已知表格可得'(1)8,'(3)0,f f =⎧⎨=⎩解得2,
32.a b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩---------------------------------------------7分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得2'()2462(3)(1)f x x x x x =-++=--+，-----------------------8分 由'()0f x <可得(,1)x ∈-∞-(3,)+∞U ，------------------------------------------------9
因为()f x 在(,2)m m +上单调递减，
所以仅需21m +≤-或者3m ≥， ------------------------------------------------------11分
所以m 的取值范为3
m ≥或3m ≤-.-----------------------------------------------------12分 14.（本小题10分）
（Ⅰ）证明：欲证平面ABE ⊥平面BCD ，
只需证
由已知AB ⊥BC ----------------------------------------------------4分
由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立， 所以平面
------------------------------------6分
又因为DC I 平面ABE =AE ,
------------------------------------------8分
所以AC DE =-----------------------------------------------10分
所以假设错误，原结论正确.
15.（本小题12分） （
Ⅰ
）
解
：
11'()ax f x a x x
+=
+=，
0x >.----------------------------------------------------------2分
由已知可得'(1)12f a =+=，解得
1a =.---------------------------------------------------3分
因为(1)1f =，所以在点))1(,1(f 处的切线方程为21y x =-.------------------------4分
（Ⅱ）解1：若对任意),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，即1ln x
a x
-≤成立.------------6分
设1ln ()x g x x
-=，
--------------------------------------------------------------7分 2
ln 2
'()x g x x
-=
，令'()0g x =，解得2e x =， 则'(),()g x g x 的情况如下：
分
所以()g x 的最小值为22(e )e g -=-， ------------------------------------------10分
所以，依题意只需实数a 满足2e a -≤-，---------------------------------------11分
故所求a 的取值范围是2(,e ]--∞-.
--------------------------------------------12分
解2：当0a ≥时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞
又因为11
(1)ln(1)11f a a a
+=+++>，所以不符题意，舍.--------------------6分
当0a <时，令'()0f x =，得1
x a
=-.----------------------------------------------7分
所以'(),()f x f x 随x 的变化如下表所示：
分
所以()f x 的最大值为1
()f a -，------------------------------------------------------10分
所以，依题意只需11
()ln()11f a a
-=--≤即可，解得2e a -≤-.---------------11分
综上，a 的取值范围是
2(,e ]--∞-.---------------------------------------------------12分
16. （本小题8分）
解：对于集合中最大的数4a ，因为444a a a +>，443a a +>，441a a +>-----------------2分
所以44a a -,43a -,41a -,41
a a -都属于该集合.--------------------------------------------4分
又因为14013a a ≤<<<，所以44a a -<43a -<41a -41a a <-.-----------------------6分 所以1440a a a =-=,431a -=,------------------------------------------------------------------7分
即
140,4a a ==.-------------------------------------------------------------------------------------8分
17. （本小题10分）
（Ⅰ）解：由题意知，1
2(())2()i i i i i
C x f x x x =+=+(1,2,,)i n =L ，
所以
1
2i i
i
S x x =+(1,2,,)i n =L .--------------------------------------------------------------1分
令i ＝1，得111
1
2S x x =+，
又11S x =，且1
x ＞0，故11x =.---------------------------------------------------------------2分
（Ⅱ）解：令i ＝2，得222
1
2S x x =+，
又212S x x =+，11x =，且2x ＞0，故21x =；------------------------------------3分 令i ＝3，得333
12S x x =+
，
由此猜想
，n x =(n ∈
N +).-------------------------------------------------------5分
下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，11x =，命题成立；---------------------------------------------------------6分
②假设n ＝k
时命题成立，即k x =(k ∈N +)， -----------------------------7分
则当n ＝k ＋1时，11112k k k S x x +++=+，又11k k k S S x ++=+，12k k k
S x x =+， 故111
11
()2k k k k k x x x x x ++++
+=+
，
由k x =
，得2
1110k k x +++-=，--------------------------------------8分
所以1k x +
).-------------------------------------------9
分
即当n ＝k ＋1时命题成立。

综上所述，对任意自然数n
，都有n x =.--------------------------------10分。