涉及变限积分的隐函数求导.

涉及变限积分的隐函数求导方案

相关例题1
设 x y2 yx cost2 dt ，求 d y ．
0
dx
解答：
在方程两端对 x 求导，得
1 2 yy y 1cosy x2 ，
从而解得
y

1 cosy x2 cosy x2 2y
cosy x2 2 y 0 ．
题目
设 2x tanx y xy sec2 t dt x y， 0
求 d2 y ． d x2
解题方法1
利用隐函数求导法和积分上限函数的求导公式，求得隐函数的导数．
解题步骤1
等式两端对 x 求导，得
2 sec2x y 1 y sec2x y 1 y ，解得 y sin2x y．从而
因此
d
y

cos t
1
(1 e1sin t
)．
d x 4t
相关例题3
设 y et2d t xy sin 1 t2 d t 0 ，求 d y ．
0
0
dx
解答：
两端对 x 求导得
ey2 y sin 1 x2 y2 y xy 0，
从而解得
y

y sin(1 x2 ey2 x sin(1
y2) x2 y2)
(
e y2

xsin
1
x2
y2
0 )．
人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。

高等数学--隐函数的求导法则

高等数学--隐函数的求导法则第五节隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数,00(,)0F x y =,00(,)0y F x y ≠,则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =,它满足条件00()y f x =,并有d d x yF y x F =-. 说明:1)定理证明略,现仅给出求导公式的推导:将()y f x =代入(,)0F x y =,得恒等式(,())0F x f x ≡,等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂, 由于0y F ≠于是得d d x yF y x F =-. 2) 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y x x y y yF F F F F F F F F F F F --=--- 2232x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=-.例1 验证方程sin e 10x y xy +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =,并求22d d ,00d d y yx x x x ==. 解设(,)sin e 1x F x y y xy =+--,则 1) e x x F y =-,cos y F y x =-连续; 2)(0,0)0F =; 3) (0,0)10y F =≠.因此由定理1可知,方程sin e 10x y xy +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =.d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-, 22d 0d y x x =d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-.隐函数存在定理还可以推广到多元函数.一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数,而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数,且000(,,)0F x y z =,000(,,)0z F x y z ≠,则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =,它满足条件000(,)z f x y =,并有x z F z x F ∂=-∂,y zF zy F ∂=-∂. 说明:定理证明略,现仅给出求导公式的推导:将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =,得(,,(,))0F x y f x y ≡,将上式两端分别对x 和y 求导,得0=∂∂⋅+xz F F z x ,0=∂∂⋅+y zF F z y .因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠,于是得x z F z x F ∂=-∂,y zF zy F ∂=-∂. 例2设22240x y z z ++-=,求22zx∂∂.解设222(,,)4F x y z x y z z =++-,则2x F x =,24z F z =-, 2242x z F z x xx F z z∂=-=-=∂--, 2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---.二、方程组的情形在一定条件下,由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩, 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数2 2y x yu +=,22y x xv +=. 事实上, 0xu yv -=⇒u y x v =⇒1=⋅+u y xx yu ⇒22yx y u +=,2222yx x y x yy x v +=+⋅=. 下面讨论如何由组求u ,v 的导数.隐函数存在定理 3 设(,,,)F x y u v ,(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又0000(,,,)0F x y u v =,0000(,,,)0G x y u v =,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi )行列式)(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂在点0000(,,,)P x y u v 不等于零,则方程组(,,,)0F x y u v =,(,,,)0G x y u v =,在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩,.它们满足条件000(,)u u x y =,000(,)v v x y =,且有1(,)(,)x v x v u v uvF FG G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂,1(,)(,)u x u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂, 1(,) (,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂,1(,)(,)uy u y u v uvF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂.说明:方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组各方程两边求偏导数,然后解关于各偏导数的方程组,其偏导数xu ∂∂,x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定;偏导数y u ∂∂,yv ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定.例3设0xu yv -=,1yu xv +=,求u x ∂∂,v x ∂∂,uy∂∂和v y ∂∂. 解两个方程两边分别对x 求偏导,得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,. 当220x y +≠时,解之得22u xu yvx x y ∂+=-∂+,22v yu xv x x y ∂-=∂+. 两个方程两边分别对y 求偏导,得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,. 当220x y +≠时,解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+,22v xu yvy x y ∂+=-∂+. 另解将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩,,即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩,. 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++,2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++. 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+,22u xv yu y x y ∂-=∂+,22v yu xv x x y ∂-=∂+,22v xu yvy x y ∂+=-∂+. 例4设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数,又(,)0(,)x y u v ∂≠∂. 1) 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==.2)求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数. 解1)将方程组改写成下面的形式 (,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩,,则按假设(,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂, 由隐函数存在定理3,即得所要证的结论.2)将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组,即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩, 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得10.x u x v u x v x y u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩, 由于0J ≠,故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂,1v y x J u∂∂=-∂∂. 同理,可得1u x y J v ∂∂=-∂∂,1v x y J u ∂∂=∂∂.。

积分变限函数求导

积分变限函数求导积分变限函数是微积分中的重要概念之一，它在求导、积分和微分方程等方面有着广泛的应用。

本文将从积分变限函数的定义、求导的方法和几个实例来介绍积分变限函数的求导过程。

我们来看积分变限函数的定义。

积分变限函数是指在一个定积分中，积分的上限或下限是一个变量的函数。

通常表示为：F(x)=∫_[a(x)]^[b(x)] f(t)dt其中，a(x)和b(x)是关于x的函数，f(t)是被积函数。

这个函数的求导过程比较复杂，需要用到一些特定的求导规则。

接下来，我们来介绍积分变限函数的求导方法。

根据求导的定义，我们可以将积分变限函数的导数理解为对积分上限和下限的求导。

具体求导的步骤如下：1. 对积分上限求导：将积分上限视为一个新的变量，然后对这个变量进行求导。

根据链式法则，可以得到：d/dx ∫_[a(x)]^[b(x)] f(t)dt = f(b(x)) * d/dx b(x)2. 对积分下限求导：同样地，将积分下限视为一个新的变量，然后对这个变量进行求导。

同样地，根据链式法则，可以得到：d/dx ∫_[a(x)]^[b(x)] f(t)dt = -f(a(x)) * d/dx a(x)将上述两个结果相加，即可得到积分变限函数的导数：d/dx ∫_[a(x)]^[b(x)] f(t)dt = f(b(x)) * d/dx b(x) - f(a(x)) * d/dx a(x)接下来，我们通过几个实例来演示积分变限函数的求导过程。

例1：求导y = ∫_[0]^[x^2] t^3 dt根据上述求导的方法，我们可以得到：dy/dx = (x^2)^3 * (2x) - 0^3 * 0 = 2x^7所以，积分变限函数 y = ∫_[0]^[x^2] t^3 dt 的导数为 dy/dx = 2x^7。

例2：求导y = ∫_[0]^[sin(x)] t^2 dt同样地，根据上述求导的方法，我们可以得到：dy/dx = sin(x)^2 * cos(x) - 0^2 * 0 = sin(x)^2 * cos(x)所以，积分变限函数y = ∫_[0]^[sin(x)] t^2 dt 的导数为dy/dx = sin(x)^2 * cos(x)。

变限积分求导公式总结

变限积分求导公式总结1. 引言变限积分是微积分中的一个重要概念，求导是微积分中的基本操作之一。

本文将总结变限积分求导的公式以及其推导过程，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

2. 变限积分的定义在进行变限积分求导之前，我们首先来回顾一下变限积分的定义。

设函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么称下述极限为函数f(x)在区间[a, b]上的变限积分：∫[a, x] f(t)dt其中，x为可变的上限。

在本文中，我们将以x作为变量，而不仅仅是上限的符号。

3. 变限积分的求导公式对于变限积分的求导，我们有以下公式可以使用：3.1. Newton-Leibniz公式如果函数f(x)在区间[a, b]上可导，那么变限积分的求导公式为：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x)这个公式也被称为Newton-Leibniz公式，它表明在条件允许的情况下，求变限积分的导数可以直接将积分的被积函数求导，并将x代入。

3.2. Leibniz公式如果函数f(x)在区间[a, b]上可导，那么变限积分的求导公式为：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x) - f(a)这个公式也被称为Leibniz公式，它与Newton-Leibniz公式类似，但多了一个常数项f(a)。

4. 推导过程为了更好地理解和应用变限积分的求导公式，我们来简要推导一下这些公式。

4.1. Newton-Leibniz公式的推导根据变限积分的定义，我们有：∫[a, x] f(t)dt = ∫[a, b] f(t)dt - ∫[x, b] f(t)dt对上式两边关于x求导，应用定积分的求导法则，得到：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = d/dx ∫[a, b] f(t)dt - d/dx ∫[x, b] f(t)dt根据牛顿-莱布尼兹公式的定义，积分的导数等于被积函数，即：d/dx ∫[a, b] f(t)dt = f(x)同时，右边的第二项d/dx ∫[x, b] f(t)dt可以通过换元法转化为：d/dx ∫[a, b] f(t)dt - d/dx ∫[a, x] f(t)dt代入上式中得到：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x) - d/dx ∫[a, b] f(t)dt + d/dx ∫[a, x] f(t) dt整理得到：2d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x)最终化简得到：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x)/2这就是Newton-Leibniz公式。

涉及变限积分的隐函数求导方案

涉及变限积分的隐函数求导方案隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它用于求解含有隐含变量的方程的导数。

在计算中，有时会遇到含有变限积分的隐函数，这时需要采用变限积分的链式法则来求导。

本文将介绍涉及变限积分的隐函数求导方案，并给出详细的步骤和示例。

一、变限积分的求导法则在介绍隐函数求导方案之前，首先需要了解变限积分的求导法则。

对于形如\[ F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt \]的变限积分，其中$a(x)$和$b(x)$是$x$的函数，$f(x,t)$是$x$和$t$的函数。

根据变限积分的求导法则，有：\[ F'(x)=f(x,b(x))\cdot b'(x)-f(x,a(x))\cdota'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{{\partial f(x,t)}}{{\partial x}}dt \]其中，$b'(x)$和$a'(x)$分别表示$b(x)$和$a(x)$的导数。

当需要求解包含变限积分的隐函数的导数时，可以采用如下步骤：步骤1：首先，对隐函数两边同时对$x$求导。

\[ \frac{{d}}{{dx}}(F(x))=\frac{{d}}{{dx}}\left(\int_{a(x)}^ {b(x)}f(x,t)dt\right) \]根据变限积分的求导法则，有：\[ F'(x)=f(x,b(x))\cdot b'(x)-f(x,a(x))\cdota'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{{\partial f(x,t)}}{{\partial x}}dt \]步骤 2：将 $ F'(x) $ 表示为 $ \frac{{dF}}{{dx}} $，即：\[ \frac{{dF}}{{dx}}=f(x,b(x))\cdot b'(x)-f(x,a(x))\cdota'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{{\partial f(x,t)}}{{\partial x}}dt \]步骤3：根据隐函数的定义，将$F(x)$表示为$y$，即$y=F(x)$。

变限积分函数的求导和应用

变限积分函数的求导和应用作者：朱忠华来源：《教育教学论坛》2017年第38期摘要：变限积分函数是微积分中一类具有特殊形式的函数，它是联结众多知识点的纽带，是学生学习的重点和难点，在微积分中有广泛的应用。

本文介绍了积分上限函数的概念及其特有的求导性质，并结合实例深入讲解变限积分函数的求导以及其在微积分各主要内容中的应用。

关键词：变限函数；不定积分；定积分；导数；连续中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）38-0211-03一、前言一元函数微积分[1-3]部分主要涉及六个概念，即极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分以及三个定理即微分中值定理、积分中值定理、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）。

在这六个概念中，除了不定积分，其他五个概念都是某种形式的极限，所以它们由极限联系了起来。

为了要说明不定积分与其他概念的联系时，引入了积分上限函数，得出了牛顿—莱布尼兹公式，从而揭示了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系，不但解决了定积分的计算问题，同时微积分的六个重要概念也就相互联系了起来[4]。

二、变限积分函数的定义与性质1.定义。

对于闭区间[a，b]上连续的函数f（x），设x为[a，b]上的任一点，定积分f（t）dt显然存在，当x在[a，b]上任意变动时，对于每一个取定的x的值，f（t）dt就有一个对应的值，这样就在[a，b]上定义了一个新的函数，称为变上限积分，又称为积分上限函数，一般记为Φ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]。

这个概念是一个较抽象的概念，我们可以结合几何解释：Φ（x）表示一个以f（x）为曲边的曲边梯形的面积，当x给一个确定的值，Φ（x）有一个确定的值，所以又称Φ（x）=f （t）dt为面积函数。

记Ψ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]称为变下限积分，又称为积分下限函数。

Φ（x），Ψ（x）统称为变限积分函数。

因Ψ（x）=f（t）dt=-f（t）dt也可化为积分上限函数，所以本文主要讨论积分上限函数的情况。

变限积分求导公式--加上自己理解

当积分上限为被积函数的自变量时变限积分在某一点的导数等于被积分函数在这一点的值就是说积分这一导数即为被积分函数在这一点的值
变限积分求导公式 --加上自己理解
自己理解：当积分上限为被积函数的自变量时，变限积分在某一点的导数等于被积分函数在这一点的值，就是说积分这一点的增量为被积分函数在这一点的值乘以自变量增量区间大小，求导求出来的就是这一点的导数即为被积分函数在这一点的值。自变量增量区间为某个函数时，此函数也需要进行求导方可平衡。

变限积分函数求导

变限积分函数求导一、定义设函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，设x 为区间[a,b] 上的一点，考察定积分\int _a^xf(x)dx=\int _a^xf(t)dt如果上限x在区间[a,b] 上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分\int _a^xf(t)dt 都有一个对应值，所以它在区间[a,b] 上定义了一个函数，记为\Phi(x)=\int _a^xf(t)dt该函数就是积分上限函数。

二、变限积分函数求导公式如果函数f(x) 连续，\phi(x) 和\varphi(x) 可导，那么变限积分函数的求导公式可表示为\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f[\varphi(x)]\varphi'(x )-f[\phi(x)]\phi'(x)[推导过程]记函数f(x)的原函数为F(x)，则有F'(x)=f(x) 或\int f(x)dx=F(x)+C 。

则对\Phi(x)=\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt 应用牛顿-莱布尼茨公式\int_a^bf(x)=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)可得\Phi(x)=\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=F(x)|_{\phi(x)}^{\varphi(x)}=F[\var phi(x)]-F[\phi(x)] 。

由函数和的求导法则[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x) 可得\Phi^{'}(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=\{F[\varphi(x)]-F[\ phi(x)]\}'=\{F[\varphi(x)]\}'-\{F[\phi(x)]\}'由复合函数的求导法则\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x) 可得\Phi^{'}(x)=\{F[\varphi(x)]\}'-\{F[\phi(x)]\}'=F'[\varphi(x)]\varphi'(x)-F'[\phi (x)]\phi'(x)由F'(x)=f(x) 可知F'[\varphi(x)]=f[\varphi(x)] F'[\phi(x)]=f[\phi(x)] ，则上式可改写为\Phi^{'}(x)=F'[\varphi(x)]\varphi'(x)-F'[\phi(x)]\phi'(x)=f[\varphi(x)]\varphi '(x)-f[\phi(x)]\phi'(x)三、定理定理1 如果函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，则积分上限函数\Phi(x)=\int _a^xf(t)dt 在[a,b] 上具有导数，且导数为\Phi^{'}(x)=\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x) 。

变限积分求导公式,被积函数不用求导

变限积分求导公式是微积分中的重要内容，它在实际问题求解和理论研究中具有广泛的应用。

本文将从基本概念、变限积分的求导方法以及被积函数不用求导的情况下，推导出变限积分求导公式，并对其应用进行简要介绍。

一、基本概念1. 变限积分变限积分是指积分的上下限不是常数，而是随着变量的变化而变化的积分。

通常表示为$\int_{a(x)}^{b(x)}f(x)dx$，其中$a(x)$和$b(x)$是$x$的函数，$f(x)$是被积函数。

2. 导数在微积分中，导数是用来描述函数变化率的概念。

对于函数$y=f(x)$，它的导数$f'(x)$表示在$x$处的斜率或变化率。

二、变限积分求导方法在变限积分求导中，我们需要首先了解以下几个基本定理：1. 定积分的导数定理设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，则定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$是$b$的函数，在区间$[a,b]$上可导，且其导数为$\frac{d}{db}\int_{a}^{b}f(x)dx=f(b)$。

2. Leibniz积分求导法则设$f(x,\alpha)$在区域$D$上连续，$\alpha$可导，则对于$\alpha \in [a(x),b(x)]$，函数$I(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,\alpha)dx$是$x$的可导函数，且有$I'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partialx}f(x,\alpha)dx+\frac{\partial}{\partial \alpha}f(x,b(x))\cdot b'(x)-\frac{\partial}{\partial \alpha}f(x,a(x))\cdot a'(x)$。

三、变限积分求导公式在使用Leibniz积分求导法则时，如果被积函数不用求导，则可以简化求导公式。

设函数$f(x,\alpha)$在区域$D$上连续，$\alpha$可导，对于$\alpha \in [a(x),b(x)]$，函数$I(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,\alpha)dx$，若$f(x,\alpha)$不对$\alpha$求导，则$I'(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,\alpha)dx$。

变限积分求导公式

变限积分求导公式变限积分求导公式是微积分中的一个重要内容，通过这些公式可以简化积分运算，方便地求出函数的导数。

本文将详细介绍常见的变限积分求导公式，并通过实例进行说明。

首先，我们回顾一下变限积分的定义及其求导的基本性质。

对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上定义，我们可以将其积分表示为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx$$其中，$a$和$b$是积分的上下限，$dx$表示在$x$方向上的微小增量。

求取这个积分的导数称为变限积分求导。

在求解变限积分求导时，我们通常采用求导中的基本运算法则和求积分中的一些特殊性质。

下面，我们将介绍一些常见的变限积分求导公式：1. 基础公式：对于常数函数$c$，其变限积分求导结果为零，即$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}cdx=0$$这是由于在区间$[a,b]$上$c$是一个常数，其导数为零。

2. 可加性公式：如果函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上都是可导的，那么变限积分的求导满足可加性，即$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}\left[f(x)+g(x)\right]d x=\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x)dx+\frac{d}{dx}\int_{a}^ {b}g(x)dx$$这是由于求导是线性运算的性质。

3. 换元公式：对于函数$f(x)$和$g(x)$，如果相等关系$x=g(t)$成立，并且$g'(t)$存在且连续，那么有$$\int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)dt=\int_{g(a)}^{g(b)}f( x)dx$$利用此公式，可以将变限积分的求导转化为函数求导的问题。

4. 积分级数公式：如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上存在$x$的幂级数展开形式$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...$$其中，$a_0,a_1,a_2,...$是常数，并且级数在区间$[a,b]$内一致收敛，那么有$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}\frac{d}{dx}f(x)dx$$这是由于可积函数的级数展开形式的求导结果与对应的级数展开形式的求导结果相等。

含参变量的变限积分求导的莱布尼茨公式

变限积分求导的莱布尼茨公式是微积分中重要的公式之一，它可以帮助我们求出含有参数的变限积分的导数。

在实际问题中，我们经常会遇到含有参数的变限积分，例如物理学中的路径积分、工程学中的变力做功等等。

理解和掌握莱布尼茨公式对于解决实际问题至关重要。

在本文中，我们将深入探讨含参变量的变限积分求导的莱布尼茨公式，首先介绍变限积分的定义和性质，然后推导莱布尼茨公式的具体形式，最后通过实例演示其应用。

希望通过本文的讲解，读者能够对莱布尼茨公式有一个全面的理解，并能够灵活运用于实际问题中。

一、变限积分的定义和性质1. 变限积分的定义对于函数f(x, y)在区域D上的某条曲线L，我们可以定义其在曲线L上的变限积分为：∫[y1,y2] f(x, y) dy其中x的取值范围是由曲线L所确定的。

2. 变限积分的性质（1）变限积分的线性性质设函数f(x, y)和g(x, y)在区域D上可积，常数a和b，则有：∫[y1,y2] (af(x, y) + bg(x, y)) dy = a∫[y1,y2] f(x, y) dy + b∫[y1,y2] g(x, y) dy（2）变限积分的保号性质若在区域D上，f(x, y) ≥ 0，则有：∫[y1,y2] f(x, y) dy ≥ 0以上是关于变限积分的基本定义和性质，下面我们将推导含参变量的变限积分求导的莱布尼茨公式。

二、莱布尼茨公式的推导对于含参变量的变限积分：F(y) = ∫[a(y), b(y)] f(x, y) dx我们希望求出其关于y的导数F'(y)。

根据变限积分的定义，我们知道F(y)是一个关于y的函数，因此我们需要求出其导数。

根据变限积分的定义，我们有：F(y+Δy) - F(y) = ∫[a(y+Δy), b(y+Δy)] f(x, y+Δy) dx - ∫[a(y), b(y)] f(x, y) dx利用定积分的加法性质，我们将上式中的两个积分合并得到：F(y+Δy) - F(y) = ∫[a(y), a(y+Δy)] f(x, y+Δy) dx + ∫[b(y), b(y+Δy)] f(x, y+Δy) dx接下来，我们将利用泰勒公式对f(x, y+Δy)展开，然后对展开式进行积分。

积分变限函数求导公式

积分变限函数求导公式分变限（IntegrationByParts）是一种利用积分计算积分形式的方法，它可以将复杂的积分问题简化为计算几个基本函数的积分问题。

积分变限有许多应用，例如估计确定型积分，解决积分方程以及分析带有参数的变分问题等。

在学习积分变限的过程中，求导是一个重要部分。

首先，让我们来看看积分变限的求导公式。

对于二元函数$f(x,y)$，积分变限的求导公式为：$$frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} int_{a}^{b} f(x,y)mathrm{d}y = f(x,b)-f(x,a) + int_{a}^{b}frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$$这里，$a$和$b$是某一区间$[a,b]$上$f(x,y)$的定义域中的两端点，$f(x,y)$是在定义域内有定义的函数，$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$是此函数在定义域内的变量$x$的偏导数。

从上述公式中，可以看出，积分变限的求导结果分为两部分：首先，计算$f(x,b)-f(x,a)$，其结果即为上式右端第一项；其次，计算$int_{a}^{b} frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$，其结果即为上式右端第二项。

若要求出上式右端第二项，即$int_{a}^{b}frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$，就需要求出函数$f(x,y)$的偏导数$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$，将其代入上式，即可求得积分变限的求导结果。

为了求得函数$f(x,y)$的偏导数$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$，我们需要使用泰勒展开公式（Taylor’s Formula）。

泰勒展开公式是个关于多变量函数的展开公式，它可以把一个具有多个变量的函数展开为更多函数的和。

积分变限函数的导数

积分变限函数的导数
积分变限函数的导数是指在一个函数的下限、上限发生微小变化时，导数的变化量。

这种函数的导数可以通过求导法则来计算。

具体来说，如果一个函数f(x)可以表示为积分的形式，即f(x)=∫
g(t,x)dt，则在求f(x)的导数时，需要使用积分变限函数的导数公式，即：
df(x)/dx = g(x,x) + g(x,x)/x
其中，g(x,x)是函数f(x)的下限和上限都是x时的积分值，即： g(x,x) = ∫x to x g(t,x)dt = 0
而g(x,x)/x是g(x,x)关于x的偏导数，表示在函数f(x)的下限和上限都是x时，导数随着x的微小变化而变化的量。

因此，积分变限函数的导数可以看作是一个多元函数的偏导数，它的求导方法与一般的多元函数相同。

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变限积分求导公式总结

变限积分求导公式总结变限积分求导是微积分中的重要内容，它是对定积分的一种推广，可以用来求解一些复杂的函数导数。

在实际问题中，变限积分求导也有着重要的应用价值。

本文将对变限积分求导的公式进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1. 定积分的定义。

在介绍变限积分求导之前，我们首先来回顾一下定积分的定义。

设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n份，每份的长度为Δx，取任意一点ξi属于[xi-1, xi]，其中i=1,2,...,n。

那么定积分的近似值可以表示为：∑f(ξi)Δx。

当Δx趋于0时，这个近似值的极限就是定积分的值，即：∫[a, b]f(x)dx。

2. 变限积分的定义。

现在，我们来看看什么是变限积分。

设函数f(x, t)在区域D={(x, t)|α≤x≤β, φ(t)≤t≤ψ(t)}上连续，那么对于每一个t，函数f(x, t)在区间[α, β]上构成一个函数φ(t)到ψ(t)的函数，这个函数的积分称为变限积分，记作：∫[α, β]f(x, t)dx。

3. 变限积分的导数。

接下来，我们来总结一下变限积分的导数公式。

设函数f(x, t)在区域D={(x, t)|α≤x≤β, φ(t)≤t≤ψ(t)}上连续，且在D内具有连续的偏导数，那么变限积分∫[α, β]f(x, t)dx对于t的导数存在，且有：d/dt∫[α, β]f(x, t)dx=∫[α, β]∂f/∂t dx+ f(β, t)ψ'(t) f(α, t)φ'(t)。

其中∂f/∂t表示对f(x, t)关于t的偏导数。

这个公式就是变限积分的导数公式，它可以帮助我们求解一些复杂的函数导数。

4. 示例分析。

为了更好地理解变限积分的导数公式，我们来看一个具体的例子。

考虑函数f(x, t)=x^2+t在区域D={(x, t)|0≤x≤t, 0≤t≤1}上，我们要求∫[0, t]x^2+t dx对t的导数。

考研高数重要知识点讲解：变限积分求导.doc

考研高数重要知识点讲解：变限积分求导.doc变限积分指的是积分上限和下限随着变量x的变化而变化的积分形式。

求变限积分的导数时，需要使用洛必达法则或利用积分基本公式求导。

下面讲解变限积分求导的具体方法。

一、使用洛必达法则求导洛必达法则是求解形如$\frac{f(x)}{g(x)}$的不定式极限的一种方法。

在求变限积分在某一点x处的导数时，可以将变限积分写成如下形式：$$F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt$$假设当$a(x)=b(x)=x$时，该积分在x处连续可导，那么可以将该积分利用洛必达法则求导：$$F’(x)=[f(x,x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f(x,t)}{\partialx}dt]-\frac{\partial a(x)}{\partial x}f(x,a(x))+\frac{\partial b(x)}{\partial x}f(x,b(x))$$其中$f(x,x)$表示取极限$\lim_{t\to x}f(x,t)$时的值，即f(x,t)在t=x处的极限值。

二、利用积分基本公式求导利用积分基本公式进行求导时，需要先将变限积分化成定限积分形式，然后再使用积分基本公式求导。

对于变限积分：可以将其改写成定限积分形式：然后分别对两个积分进行求导运算，再利用链式法则即可得到变限积分在某一点x处的导数。

三、注意事项在对变限积分进行求导时，需要注意以下几个问题：1.变限积分必须在某一点处连续可导，否则不能直接使用求导公式。

2.如果变限积分可以化为定限积分形式，求导时可以直接使用积分基本公式求导公式，这样计算起来更加方便。

3.变量的求导时需要使用链式法则，对求导公式进行适当的变换，才能得到正确的结果。

综上所述，求解变限积分的导数需要根据具体的情况选择使用不同的方法，同时需要注意求导时需要注意的问题，合理运用各种方法，才能得到正确的结果。

隐函数求导法则(2)

对等式ex xz sin tdt两边同时对x求导数， 0t
根据变上限积分求导公式有
ex sin(x z) (1 dz ),
xz
dx
dz 1 ex (x z) , dx sin(x z)
所以，du dx
f1'
y x
f
' 2
[1
ex (x sin( x
z) z)
]
f3'
.
12
2. 二元隐函数F(x, y, z) 0求导公式
解令 F(x, y) ln x2 y2 arctan y x
1 ln(x2 y2 ) arctan y
Fx
(
x,
y
)
2 2x 2(x2 y2 )
Fy( x, y)
y x2
1 y
y2 xx2
x2 y2
,
x x2
x
y y2
,
则
dy Fx x y .
dx Fy y x
9
例3 设u f (x, y, z)有连续一阶偏导数，又
1
问题1 是不是所有的二元方程都能确定一个
隐函数？
不是。例如：x2 y2 c 0
当c 0时，不能确定一个隐函数。
当c 0时,能确定一个隐函数。
问题2 是不是所有的隐函数都可以显化成显函数？
不是。例如：2x y3 1 0
y 3 2x 1
x ln( xy) 不能显化为显函数 y
显函数
x
x y
y
z yz z xz x ez xy , y ez xy ,
dz
z x
dx
z y
dy
ez
yz xy

变限积分求导莱布尼茨公式

变限积分求导莱布尼茨公式莱布尼茨公式是微积分中的一个重要公式，用于求解含有变限积分的函数的导数。

它是由德国数学家莱布尼茨在17世纪提出的，被广泛应用于物理学、工程学等领域的求解中。

在介绍莱布尼茨公式之前，我们先来回顾一下定积分的定义。

定积分是微积分中的一个重要概念，表示函数在一定区间上的累积效果。

而变限积分是定积分的一种特殊形式，其积分的上限和下限是变量。

对于一个函数f(x)，如果将其积分的上限和下限分别用x和a表示，那么变限积分的定义可以表示为：F(x) = ∫[a,x] f(t) dt其中F(x)是变限积分的结果，表示函数f(x)在区间[a,x]上的累积效果。

现在的问题是，如何求解这个变限积分的导数呢？莱布尼茨公式给出了求解变限积分的导数的方法。

根据莱布尼茨公式，对于一个函数f(x)的变限积分F(x)，其导数可以表示为：F'(x) = d/dx ∫[a,x] f(t) dt = f(x)这个公式的意义在于，求解变限积分的导数可以直接对被积函数f(x)进行求导。

也就是说，变限积分的导数等于被积函数本身。

莱布尼茨公式的证明可以通过分析变限积分的定义和导数的定义来进行。

首先，我们将变限积分的定义展开：F(x) = ∫[a,x] f(t) dt = lim(n->∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δxi其中，xi是区间[a,x]上的任意一点，Δxi是xi与xi+1之间的差值。

根据导数的定义，我们可以得到：F'(x) = lim(h->0) [F(x+h) - F(x)] / h将F(x)代入上式，展开求导过程，可以得到：F'(x) = lim(h->0) [∫[a,x+h] f(t) dt - ∫[a,x] f(t) dt] / h 根据积分的性质，我们可以得到：F'(x) = lim(h->0) [∫[x,x+h] f(t) dt] / h将积分展开，可以得到：F'(x) = lim(h->0) [f(x+θh) * h] / h其中，θ是一个介于0和1之间的数。

变限积分求导例题

变限积分求导例题摘要：一、变限积分的概念及性质二、变限积分求导的方法1.基本初等函数的求导2.复合函数的求导3.反函数的求导4.隐函数的求导5.参数方程的求导6.微分方程的求导三、求解实例四、总结与拓展正文：一、变限积分的概念及性质变限积分是数学分析中的一个重要概念，它是指在区间[a, b]上对函数f(x)进行积分，其中a和b是变量，称为积分变量。

用符号∫f(x)dx（a≤x≤b）表示。

变限积分具有以下性质：1.线性性质：∫af(x)dx + ∫bf(x)dx = ∫abf(x)dx2.保号性：当a≤x≤b时，f(x)≥0，则∫abf(x)dx≥0；当a≤x≤b时，f(x)≤0，则∫abf(x)dx≤03.可加性：若f(x)在[a, b]上可积，g(x)在[b, c]上可积，则f(x) + g(x)在[a,c]上可积，即∫af(x)dx + ∫bg(x)dx = ∫abf(x)dx+ ∫bcg(x)dx4.代数运算性质：∫cf(x)dx = c∫f(x)dx，∫f(x)dx + ∫g(x)dx = ∫(f(x) +g(x))dx二、变限积分求导的方法1.基本初等函数的求导：对于基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，可以直接应用求导公式进行求导。

2.复合函数的求导：复合函数的求导遵循链式法则，即f(g(x))" = f"(g(x)) * g"(x)。

3.反函数的求导：反函数的求导可以通过交换变量，然后利用原函数的求导公式进行求导。

4.隐函数的求导：对隐函数f(x) = φ(y)，先求出φ"(y)，然后利用链式法则求导。

5.参数方程的求导：对于参数方程x = f(t)，先求出x关于t的导数，然后将导数表示为关于x的导数。

6.微分方程的求导：对微分方程y" = f(x, y)，先求出f关于x和y的偏导数，然后求解偏微分方程。

三、求解实例下面我们通过一个具体的实例来说明如何求解变限积分：求解∫0^πsinxdx。