西工大线性系统理论第二章
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性系统理论
第二章 线性系统的运动分析
本章主要对线性动态系统的行为特性进行分析。系统
分析包括定性分析和定量分析。定性分析主要研究系统的 稳定性，能控性和能观测性等一般性质，定量分析主要确 定习题在外部激励作用下的运动（响应）特性，本章研究 状态空间描述下线性系统的运动行为，即进行习题的定量
分析。
线性系统理论
（2.1）
根据微分方程理论，如果方程（2.1）满足 Lipschitz
u(t ) ，状态 条件，则对给定的x0 初始条件及分段连续输入 方程的解x(t ) 唯一确定，且连续地依赖于初始条件x0 。
线性系统理论
齐次状态方程及其解
当外部输入 u(t ) 0 时，
（2.2） x(t ) Ax(t ), x(t0 ) x0 , t 0 式（2.2）称为齐次状态方程。仿照标量指数函数， 定义如下的矩阵指数函数 1 1 e At I At A2t 2 Ak t k 2! k 0 k ! 这里 为 常阵， 为 时变矩阵 A n n n e At n
1 22 1 ii e I At A t A t 2! i! t n e AT enAt e At e At 将 t 划为 个小区间，令 T n n个 At 故只要计算出 e 值就可以了。
At
线性系统理论
显然
1 2 2 1 A T AiT i 2! i! Pade提出用下式逼近（2.8）式 e AT I AT
A Pdiag 1 2
矩阵指数 e At 满足
A1t e At Pdiag e
n P 1
e A2t
1 e Ant P （2.6）
线性系统理论
当矩阵 A 仅含 m个不同的重特征值时，只能化为约当 型，则存在非奇异变换矩阵 使得 P
A PJP1 J 为约当型矩阵，矩阵指数 e At 为 e At Pe jt P1
x( s) ( sI A) 1 x 0
sx(s) x(0) Ax(s)
线性系统理论
故
x( s )
1 1 ( sI A ) x0
于是
1 （2.5） ( sI A ) 式（2.5）给出了e At 的闭合形式，间接表明 e At 的幂级
§2.1 线性定常系统的运动分析
§2.2
§2.3 §2.4 §2.5
线性定常系统的状态转移矩阵及脉
线性时变系统的运动分析 线性离散时间系统 线性离散时间系统的运动分析
冲响应矩阵
线性系统理论
2.1线性定常系统的运动分析
考虑如下的线性定常系统
x(t ) Ax (t ) Bu (t ) x(t0 ) x0,t 0
线性系统理论
且有
d At e A dt t 0
满足积分关系 e At dt A1e At C0 C0 为常数
（5）对于给定方阵 A ，(e At ) k ekAt , k 0,1, 2, （e 6At ） 阵。
e At A1 C0
F ，若 AF FA ，即 A 和 F 是可 （7）对 n n 常阵 A ，
1 i i i 1 A T 2
线性系统理论
二阶和三阶 Pade 近似表达式为
F2 ( AT ) ( I 1 1 1 1 AT A2T 2 )( I AT A2T 2 ) 1 2 12 2 12
（2.10）
F3 ( AT ) ( I 1 1 1 3 3 1 1 1 3 3 AT A2T 2 A T )( I AT A2T 2 AT ) 2 10 120 2 10 120
线性系统理论
对于线性定常系统（2.2），状态解由下式给
出
x(t ) e At x0
t 0
x(t ) 现在给予证明，设式（2.2）的解
向量幂级数，即 e At b0 b1t b2t 2 bk t k
k 0
（2.2） 可展为如下的
t0
该式满足方程式（ 2.2）故 b1 2b2t 3b3t 2 Ab0 Ab1t Ab2t 2
这时
J1t e At Pdiag e
（2.7）
e J 2t
1 e J nt P
线性系统理论
现举例说明如下
J1 A P 0
其中
1 J1 0 0 1 0 1 1
0 1 P J2
1
0
2 J2 0
1 2
线性系统理论
A A A A e I At ( I t ( I t ( ( I t ( I t )) ))) 2 3 i i 1 赋 i 与 i 1 的计算结果满足给定精度时，则 可表示 i 1 e At 为 项之和。
At
方法2（非奇异变换法）：若 A 的 n 个特征值 1 , 2 , , n 为两两相异，则存在非奇异变换矩阵 P 使
n1 Ι n2 A n1 an1Ι n3 A n2 an2 Ι
0 A1 a1Ι 0 A 0 a0 Ι
线性系统理论
an1 tr( A n1 ) 1 an2 tr( A n2 ) 2 1 an3 tr( A n3 ) 3
)b0
t0
线性系统理论
考虑到当 t0 0 时，x(t0 ) x(0) x0 b0 ，于是 1 1 x(t ) ( I At A2t 2 A3t 3 ) x0 e At x0 2! 3! 从前面的讨论知，矩阵指数 e At 对方程（2.2）
的解具有重要作用，它可以看作是一种线性算子，将系统 的初始状态 x(0) 经时间 t 后变换为 x(t ) 。对式（2.2）进行 拉氏变换有
线性系统理论
上式左右两边t k (k 0,1, ) 的系数向量应相等，则得
到
1 1 Ab1 A2b0 2 2! 1 1 3 1 k b3 Ab2 A b0 ; ; bk A b0 3 3! k! b1 Ab0 ; b2
x(t ) 可表示为 这样， 1 1 x(t ) ( I At A2t 2 A3t 3 2! 3!
(2.8)
1 (2.9) F （ AT ) I AT ( I 0.5 AT ) 1 1 At ( sI A ) e 式（2.7）为一阶近似表达式。由 ， 令s 1 及 A 0.5 AT ,可将（2.9）式展为级数
1 2 2 F1 ( AT ) I AT A T 2
线性系统理论
经计算
e
J1t
1t e 0 0
te e
1t
1t
0
1 2 1t t e 2! 1t te e1t
e J 2t
e2t 0
te2t 2t e
1t e 0 At e P 0 0 0
e At
1
数是收殓的。
线性系统理论
矩阵指数的基本性质
（1） lim e At I
t 0
（2）令 t 和 为两个自变量，且满足
e A(t ) e At e A e A e At （3） e At 为非奇异矩阵，且满足
(e At )1 e At
（4） e At 满足微分方程 d At e Ae At e At A dt
1 a0 tr( A 0 ) n
式中tr( A i ) 表示矩阵 A i 的迹。
线性系统理论
证明 伴随阵 ( s) 还可表示为
( s ) adj( sI A) 11 ( s ) 12 ( s ) n1 ( s ) n 2 ( s ) nn ( s )
由于行列式的导数等于逐列求导所得行列式之和，故 有
线性系统理论
1 a12 a1n s ann an1 0 0 an 2
s a11 0 0 1 11 ( s ) 22 ( s ) nn ( s ) ii ( s )
i 1 n
s a11 0 a13 1 0 0 an 3
F1 ( AT ), F2 ( AT ), F3 ( AT )
分别有前3、5、7与式（2. 8）
对应相同。
线性系统理论
方法4（拉普拉斯变换法）
已知
e At L1 ( sI A) 1
式中 ( sI A) 1称为预解矩阵，当维数较低时，直接求 逆是方便的，但当维数较高时，求逆计算甚难，Faddeev 给出了一种递推求法。 令
te
1t
e1t 0 0 0
1 2 1t t e 2! te1t e1t 0 0
0 0 0 e2t 0
0 0 1 P 0 2t te e2t
线性系统理论
方法3（ Pade 近似法）
这种方法实际是用有限多项式逼近的一种逼近算法，
按照矩阵指数e At 的定义，对任意 t
s n 1 n [ s ( s ) n ( s )] ii ( s ) i1 ( s) 1 [an1s n1 2an2 s n2 na0 ] (s)
线性系统理论
上式两边对应 s i 项的系数应相等。
a1n s ann
( s)
an1
线性系统理论
考虑到 A( sI A) 1 [ sI ( sI A)]( sI A) 1 s ( sI A) 1 I
1 ( A n1s n1 A n2 s n2 A 0 ) ( s) 上式两端取迹 1 1 tr[ A( sI A) ] [tr( A n1 ) s n1 tr( A n2 ) s n2 tr( A0 )] ( s)
1 ( sI A) ( s ) ( s)
1
线性系统理论
其中
( s) det( sI A) s n an1s n1
a0 0
( s) adj( sI A) n1s n1 n2 s n2
面的递推关系给出
( s) 为系统的特征多项式， ( s) 为伴随阵。 { i } 和 {ai } 由下
（2.11）
线性系统理论
它们的级数展开式分别为
1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 5 AT AT AT AT 2! 3! 4! 72 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 5 1 6 6 F3 ( AT ) I AT A T A T A T A T A T 2! 3! 4! 5! 6! F2 ( AT ) I AT
1n ( s )
其中 11 ( s )表示 ( sI A) 的代数余子式。对式（2.12） 两边取迹
1 n tr( sI A) ii ( s) ( s) i1
1
线性系统理论
再看 ( s) 对 s 的导数。
s a11 d d ( s ) det( sI A) det ds ds an1 a12 an 2 a1n ann
交换的，则
e( AF )t e At eFt eFt e At
线性系统理论
矩阵指数 e At 的计算数的定义 1 1 e At I At A2t 2 A3t 3 2! 3! 一般可取有限时间函数项之和满足给定的精度要求即
可。若 A 的最大特征值与最小特征值相差不大时，这种方 法可以得到较好的效果。为了适合计算机计算， e At 可以写 成如下的递推关系式
第二章 线性系统的运动分析
本章主要对线性动态系统的行为特性进行分析。系统
分析包括定性分析和定量分析。定性分析主要研究系统的 稳定性，能控性和能观测性等一般性质，定量分析主要确 定习题在外部激励作用下的运动（响应）特性，本章研究 状态空间描述下线性系统的运动行为，即进行习题的定量
分析。
线性系统理论
（2.1）
根据微分方程理论，如果方程（2.1）满足 Lipschitz
u(t ) ，状态 条件，则对给定的x0 初始条件及分段连续输入 方程的解x(t ) 唯一确定，且连续地依赖于初始条件x0 。
线性系统理论
齐次状态方程及其解
当外部输入 u(t ) 0 时，
（2.2） x(t ) Ax(t ), x(t0 ) x0 , t 0 式（2.2）称为齐次状态方程。仿照标量指数函数， 定义如下的矩阵指数函数 1 1 e At I At A2t 2 Ak t k 2! k 0 k ! 这里 为 常阵， 为 时变矩阵 A n n n e At n
1 22 1 ii e I At A t A t 2! i! t n e AT enAt e At e At 将 t 划为 个小区间，令 T n n个 At 故只要计算出 e 值就可以了。
At
线性系统理论
显然
1 2 2 1 A T AiT i 2! i! Pade提出用下式逼近（2.8）式 e AT I AT
A Pdiag 1 2
矩阵指数 e At 满足
A1t e At Pdiag e
n P 1
e A2t
1 e Ant P （2.6）
线性系统理论
当矩阵 A 仅含 m个不同的重特征值时，只能化为约当 型，则存在非奇异变换矩阵 使得 P
A PJP1 J 为约当型矩阵，矩阵指数 e At 为 e At Pe jt P1
x( s) ( sI A) 1 x 0
sx(s) x(0) Ax(s)
线性系统理论
故
x( s )
1 1 ( sI A ) x0
于是
1 （2.5） ( sI A ) 式（2.5）给出了e At 的闭合形式，间接表明 e At 的幂级
§2.1 线性定常系统的运动分析
§2.2
§2.3 §2.4 §2.5
线性定常系统的状态转移矩阵及脉
线性时变系统的运动分析 线性离散时间系统 线性离散时间系统的运动分析
冲响应矩阵
线性系统理论
2.1线性定常系统的运动分析
考虑如下的线性定常系统
x(t ) Ax (t ) Bu (t ) x(t0 ) x0,t 0
线性系统理论
且有
d At e A dt t 0
满足积分关系 e At dt A1e At C0 C0 为常数
（5）对于给定方阵 A ，(e At ) k ekAt , k 0,1, 2, （e 6At ） 阵。
e At A1 C0
F ，若 AF FA ，即 A 和 F 是可 （7）对 n n 常阵 A ，
1 i i i 1 A T 2
线性系统理论
二阶和三阶 Pade 近似表达式为
F2 ( AT ) ( I 1 1 1 1 AT A2T 2 )( I AT A2T 2 ) 1 2 12 2 12
（2.10）
F3 ( AT ) ( I 1 1 1 3 3 1 1 1 3 3 AT A2T 2 A T )( I AT A2T 2 AT ) 2 10 120 2 10 120
线性系统理论
对于线性定常系统（2.2），状态解由下式给
出
x(t ) e At x0
t 0
x(t ) 现在给予证明，设式（2.2）的解
向量幂级数，即 e At b0 b1t b2t 2 bk t k
k 0
（2.2） 可展为如下的
t0
该式满足方程式（ 2.2）故 b1 2b2t 3b3t 2 Ab0 Ab1t Ab2t 2
这时
J1t e At Pdiag e
（2.7）
e J 2t
1 e J nt P
线性系统理论
现举例说明如下
J1 A P 0
其中
1 J1 0 0 1 0 1 1
0 1 P J2
1
0
2 J2 0
1 2
线性系统理论
A A A A e I At ( I t ( I t ( ( I t ( I t )) ))) 2 3 i i 1 赋 i 与 i 1 的计算结果满足给定精度时，则 可表示 i 1 e At 为 项之和。
At
方法2（非奇异变换法）：若 A 的 n 个特征值 1 , 2 , , n 为两两相异，则存在非奇异变换矩阵 P 使
n1 Ι n2 A n1 an1Ι n3 A n2 an2 Ι
0 A1 a1Ι 0 A 0 a0 Ι
线性系统理论
an1 tr( A n1 ) 1 an2 tr( A n2 ) 2 1 an3 tr( A n3 ) 3
)b0
t0
线性系统理论
考虑到当 t0 0 时，x(t0 ) x(0) x0 b0 ，于是 1 1 x(t ) ( I At A2t 2 A3t 3 ) x0 e At x0 2! 3! 从前面的讨论知，矩阵指数 e At 对方程（2.2）
的解具有重要作用，它可以看作是一种线性算子，将系统 的初始状态 x(0) 经时间 t 后变换为 x(t ) 。对式（2.2）进行 拉氏变换有
线性系统理论
上式左右两边t k (k 0,1, ) 的系数向量应相等，则得
到
1 1 Ab1 A2b0 2 2! 1 1 3 1 k b3 Ab2 A b0 ; ; bk A b0 3 3! k! b1 Ab0 ; b2
x(t ) 可表示为 这样， 1 1 x(t ) ( I At A2t 2 A3t 3 2! 3!
(2.8)
1 (2.9) F （ AT ) I AT ( I 0.5 AT ) 1 1 At ( sI A ) e 式（2.7）为一阶近似表达式。由 ， 令s 1 及 A 0.5 AT ,可将（2.9）式展为级数
1 2 2 F1 ( AT ) I AT A T 2
线性系统理论
经计算
e
J1t
1t e 0 0
te e
1t
1t
0
1 2 1t t e 2! 1t te e1t
e J 2t
e2t 0
te2t 2t e
1t e 0 At e P 0 0 0
e At
1
数是收殓的。
线性系统理论
矩阵指数的基本性质
（1） lim e At I
t 0
（2）令 t 和 为两个自变量，且满足
e A(t ) e At e A e A e At （3） e At 为非奇异矩阵，且满足
(e At )1 e At
（4） e At 满足微分方程 d At e Ae At e At A dt
1 a0 tr( A 0 ) n
式中tr( A i ) 表示矩阵 A i 的迹。
线性系统理论
证明 伴随阵 ( s) 还可表示为
( s ) adj( sI A) 11 ( s ) 12 ( s ) n1 ( s ) n 2 ( s ) nn ( s )
由于行列式的导数等于逐列求导所得行列式之和，故 有
线性系统理论
1 a12 a1n s ann an1 0 0 an 2
s a11 0 0 1 11 ( s ) 22 ( s ) nn ( s ) ii ( s )
i 1 n
s a11 0 a13 1 0 0 an 3
F1 ( AT ), F2 ( AT ), F3 ( AT )
分别有前3、5、7与式（2. 8）
对应相同。
线性系统理论
方法4（拉普拉斯变换法）
已知
e At L1 ( sI A) 1
式中 ( sI A) 1称为预解矩阵，当维数较低时，直接求 逆是方便的，但当维数较高时，求逆计算甚难，Faddeev 给出了一种递推求法。 令
te
1t
e1t 0 0 0
1 2 1t t e 2! te1t e1t 0 0
0 0 0 e2t 0
0 0 1 P 0 2t te e2t
线性系统理论
方法3（ Pade 近似法）
这种方法实际是用有限多项式逼近的一种逼近算法，
按照矩阵指数e At 的定义，对任意 t
s n 1 n [ s ( s ) n ( s )] ii ( s ) i1 ( s) 1 [an1s n1 2an2 s n2 na0 ] (s)
线性系统理论
上式两边对应 s i 项的系数应相等。
a1n s ann
( s)
an1
线性系统理论
考虑到 A( sI A) 1 [ sI ( sI A)]( sI A) 1 s ( sI A) 1 I
1 ( A n1s n1 A n2 s n2 A 0 ) ( s) 上式两端取迹 1 1 tr[ A( sI A) ] [tr( A n1 ) s n1 tr( A n2 ) s n2 tr( A0 )] ( s)
1 ( sI A) ( s ) ( s)
1
线性系统理论
其中
( s) det( sI A) s n an1s n1
a0 0
( s) adj( sI A) n1s n1 n2 s n2
面的递推关系给出
( s) 为系统的特征多项式， ( s) 为伴随阵。 { i } 和 {ai } 由下
（2.11）
线性系统理论
它们的级数展开式分别为
1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 5 AT AT AT AT 2! 3! 4! 72 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 5 1 6 6 F3 ( AT ) I AT A T A T A T A T A T 2! 3! 4! 5! 6! F2 ( AT ) I AT
1n ( s )
其中 11 ( s )表示 ( sI A) 的代数余子式。对式（2.12） 两边取迹
1 n tr( sI A) ii ( s) ( s) i1
1
线性系统理论
再看 ( s) 对 s 的导数。
s a11 d d ( s ) det( sI A) det ds ds an1 a12 an 2 a1n ann
交换的，则
e( AF )t e At eFt eFt e At
线性系统理论
矩阵指数 e At 的计算数的定义 1 1 e At I At A2t 2 A3t 3 2! 3! 一般可取有限时间函数项之和满足给定的精度要求即
可。若 A 的最大特征值与最小特征值相差不大时，这种方 法可以得到较好的效果。为了适合计算机计算， e At 可以写 成如下的递推关系式