2020版新设计一轮复习数学(文)通用版讲义：第一章第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
一、基础知识批注——理解深一点
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.
2．四种命题及其相互关系
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；
①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；
②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．
充要关系与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
③若A＝B，则p是q的充要条件．
二、常用结论汇总——规律多一点
1．四种命题中的等价关系
原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．
2．等价转化法判断充分条件、必要条件
p 是q 的充分不必要条件，等价于綈q 是綈p 的充分不必要条件．其他情况以此类推．
三、基础小题强化——功底牢一点
(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“x 2＋2x －8<0”是命题．( )
(2)一个命题非真即假．( )
(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )
(4)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
(二)选一选
1．“x ＝－3”是“x 2＋3x ＝0”的( )
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 由x 2＋3x ＝0，解得x ＝－3或x ＝0，则当“x ＝－3”时一定有“x 2＋3x ＝0”，反之不一定成立，所以“x ＝－3”是“x 2＋3x ＝0”的充分不必要条件．
2．命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )
A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c
B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b
C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b
D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c
解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．
3．(2018·唐山一模)若x ∈R ，则“x >1”是“1x
<1”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 当x >1时，1x <1成立，而当1x <1时，x >1或x <0，所以“x >1”是“1x <1”的
充分不必要条件．
(三)填一填
4．“若a ，b 都是偶数，则ab 是偶数”的逆否命题为________．
解析：“a ，b 都是偶数”的否定为“a ，b 不都是偶数”，“ab 是偶数”的否定为“ab
不是偶数”，故其逆否命题为“若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”．
答案：若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数
5．设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的____________条件．
解析：a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，若a ⊥b ，则a·b ＝0，
即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，解得x ＝2或x ＝－12
， ∴x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12
， ∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
考点一 四种命题及其真假判断
[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题：
①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．
其中真命题是( )
A ．①②
B ．②③
C ．④
D ．①②③
[解析] ①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．
[答案] D
[解题技法]
1．由原命题写出其他三种命题的方法
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即
得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
2．判断命题真假的2种方法
[提醒] (1)对于不是“若p ，则q”形式的命题，需先改写；
(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．
[题组训练]
1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )
A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1
B ．若－1<x <1，则x 2<1
C ．若x >1或x <－1，则x 2>1
D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1
解析：选D 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若綈q ，则綈p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．
2．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4 解析：选C
因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，
则原命题的逆否命题为真命题．
原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，
则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
考点二 充分、必要条件的判断
判断充分、必要条件的三种常用方法为定义法、集合法、等价转化法.
[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12
”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] (1)定义法
当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.
(2)集合法
由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12
”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，
当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12
， 即“x 3＜1” “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12
”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． (3)等价转化法
因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，
所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，
因为綈q ⇒綈p 但綈p
綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．
[答案] (1)B (2)A (3)A
[解题技法] 判断充分、必要条件的3种方法
[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．
[题组训练]
1.[集合法]已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 若x 2<1，则－1<x <1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．
2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2
<θ<π，则cos θ<0，则m·n <0成立；当θ＝π时，m·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m·n <0”
是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．
3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 设p ：xy ≠1，q ：x ≠1或y ≠1，
则綈p ：xy ＝1，綈q ：x ＝1且y ＝1.
可知綈q ⇒綈p ，綈p 綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件．
故p 是q 的充分不必要条件，
即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．
考点三 根据充分、必要条件求参数的范围
[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．
[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，
所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，
由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .
则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，
1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.
所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．
[答案] [0,3]
[变透练清]
1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，
所以{ 1－m ＝－2，＋m ＝10，解得{
m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．
2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若綈P 是綈S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．
解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，
∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，
∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S
P .
∴[－2,10][1－m,1＋m ]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧
1－m <－2，
1＋m ≥10.
∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．
[解题技法] 根据充分、必要条件求参数范围的方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
[课时跟踪检测]
1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )
A ．逆命题
B ．否命题
C ．逆否命题
D ．否定 解析：选B 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．
2．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题
B ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题
C ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题
D ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题
解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A 、D ，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
3．原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命
题真假性的判断依次如下，正确的是()
A．真，假，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．
4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．
5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③B．②
C．②③D．①②③
解析：选A本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．
6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选C由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，
即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.
因为a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，
所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .
由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，
能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，
所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．
7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．
8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A ．m >14
B ．0<m <1
C ．m >0
D ．m >1
解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14
，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.
9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．
解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．
答案：充要
10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案：3
11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围
为________．
解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.
又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.
故实数m 的取值范围为[3,8)．
答案：[3,8)
12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：
①“若x ＋y ＝π2
，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题； ②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；
③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)．
解析：对于①，“若x ＋y ＝π2
，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2
，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．
答案：①②④
13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．
(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．。