2018版数学《课堂讲义》北师大版选修4-4练习：第二讲 参数方程 章末质量评估(二)

章末质量评估(二)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1.参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，
y ＝sin θ·
cos θ (θ为参数)表示的曲线为( )
解析 x 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋2y ，
∴y ＝12x 2－12，且x ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4∈[－2，2]，故选C.
答案 C
2.椭圆⎩⎨⎧x ＝a cos θ，
y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0，2π]，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ
＝( ) A.π B.π
2 C.2π
D.32π
解析 ∵点(－a ，0)中x ＝－a ，∴－a ＝a cos θ， ∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 答案A
3.若双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－2＋tan θ，y ＝1＋2
cos θ(θ为参数)，则它的渐近线方程为( ) A.y －1＝±
1
2(x ＋2) B.y ＝±
12x
C.y －1＝±2(x ＋2)
D.y ＝±2x
解析 把参数方程化为普通方程为（y －1）24－(x ＋2)2＝1，
∴a ＝2，b ＝1，焦点在y 轴上，渐近线的斜率±a
b ＝±2，
中心坐标为(－2，1)，∴渐近线方程为y －1＝±2(x ＋2). 答案 C
4.若P (2，－1)为圆⎩⎨⎧x ＝1＋5cos θ，
y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所
在的直线方程为( ) A.x －y －3＝0 B.x ＋2y ＝5 C.x ＋y －1＝0
D.2x －y －5＝0
解析 ∵由⎩⎨⎧x ＝1＋5cos θ，
y ＝5sin θ，消去θ得(x －1)2＋y 2＝25
∴圆心C (1，0)，∴k CP ＝－1，∴弦所在的直线的斜率为1 ∴弦所在的直线方程为y －(－1)＝1·(x －2)， 即x －y －3＝0. 答案 A
5.下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝|t |，y ＝t
B.⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t
C.⎩⎨⎧x ＝tan t ，
y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t
D.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t
解析 注意参数范围，可利用排除法.普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1
tan 2t ＝1
x 2，即x 2y ＝1，故排除C. 答案 D
6.直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心
解析 把圆的参数方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝4，得到半径为2，圆心为(0，0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系. 答案 D
7.方程⎩⎨⎧x ＝e t
＋e －t ，y ＝e t
－e
－t (t 为参数)的图形是( ) A.双曲线左支 B.双曲线右支 C.双曲线上支
D.双曲线下支
解析 ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4. 且x ＝e t ＋e －t ≥2, e t ·e －t ＝2.∴表示双曲线的右支.
答案 B
8.双曲线⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－2＋tan θ，y ＝1＋2
cos θ (θ为参数)的渐近线方程为( ) A.y －1＝±
1
2(x ＋2) B.y ＝±
1
2x C.y －1＝±2(x ＋2)
D.y ＋1＝±2(x －2)
解析 根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程，得（y －1）24－(x ＋2)2
＝
1，可知这是中心在(－2，1)的双曲线，利用平移知识，结合双曲线的渐近线的概念即可. 答案 C
9.设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆⎩⎨⎧x ＝r cos φ，
y ＝r sin φ (φ是参数)的位置关系是
( ) A.相交 B.相切
C.相离
D.视r 的大小而定
解析 根据已知圆的圆心在原点，半径是r ，则圆心(0，0)到直线的距离为d ＝|0＋0－r |
cos 2θ＋sin 2θ
＝r ，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切.
答案 B
10.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A.π B.2π C.12π
D.14π
解析 根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3φ－3sin φ，
y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝
0代入，得cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z ).
而x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )， 根据选项可知选C. 答案 C
二、填空题(每小题5分，共30分)
11.已知圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），
y ＝r （sin φ－φcos φ） (φ为参数)上有一点的坐标为(3，
0)，则渐开线对应的基圆的面积为________. 解析 把已知点(3，0)代入参数方程得 ⎩
⎨⎧3＝r （cos φ＋φsin φ），0＝r （sin φ－φcos φ）.
①② ①×cos φ＋②×sin φ得r ＝3，所以，基圆的面积为9 π. 答案 9π
12.对任意实数k ，直线y ＝kx ＋b 与椭圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝1＋4sin θ(0≤θ＜2π)恒有公共点，
则b 的取值范围是________.
解析 椭圆的普通方程是（x －3）24＋（y －1）2
16＝1.令x ＝0，得y
＝－1或3，直线y ＝kx ＋b 对任意的实数k ，恒过点(0，b ).要使直线与椭圆恒有公共点，根据图像得b ∈[－1，3]. 答案 [－1，3]
13.曲线⎩⎨⎧x ＝t 2
－1，
y ＝2t ＋1
(t 为参数)的焦点坐标为________.
解析 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(
x ＋1)，该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、
向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1). 答案 (0，1)
14.已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，
y ＝1＋2sin θ，则C 上各点到l 的距离的最
小值为________.
解析 圆方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4， ∴d ＝
|1－1＋4|12＋（－1）
2＝22， ∴距离最小值为22－2. 答案 22－2
15.在圆的摆线上有点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝π
4对应点的坐标为________.
解析 首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），
y ＝r （1－cos φ） (φ为参数)，
把点(π，0)代入可得⎩⎨⎧π＝r （φ－sin φ），
0＝r （1－cos φ）⇒cos φ＝1，
则sin φ＝0，φ＝2k π (k ∈Z )， 所以，r ＝π2k π＝1
2k (k ∈N ＋).
∴x ＝12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－22＝π－228k ，y ＝12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22＝2－24k .
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π－228k ，2－24k
16.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________.
解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，其普通方程为x 2＋y 2＝2y ，ρcos θ＝－1的
普通方程为x ＝－1，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2
＝2y ，x ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，
y ＝1，
点(－1，1)的极坐标为
⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，3π4. 答案 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，3π4
三、解答题(每小题10分，共40分)
17.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2t ，
y ＝2＋2
2t (t 为参数)，
直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.
解
将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2t ，y ＝2＋2
2t
代入抛物线方程y 2
＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝
4⎝
⎛⎭⎪⎫
1－22t ，
解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.
18.如图所示，连接原点O 和抛物线y ＝2x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹. 解 因为抛物线标准方程为x 2＝12y ， 所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，
y ＝12t
2
(t 为参数)，
得M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t 2，t 2
2.设P (x ，y )，则M 是OP 的中点，
所以⎩⎪⎨⎪⎧12t ＝0＋x 2，12t 2＝0＋y 2，即⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2 (t 为参数)，
消去参数t ，得y ＝x 2.
所以，点P 的轨迹方程为y ＝x 2，它是以y 轴为对称轴，焦点为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，14的抛物线.
19.A 为椭圆x 225＋y 2
9＝1上任意一点，B 为圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，求|AB |的最大值和最小值.
解 化椭圆普通方程为参数方程⎩⎨⎧x ＝5cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)，圆心坐标为C (1，0)，
再根据平面内两点之间的距离公式可得|AC |＝（5cos θ－1）2＋9sin 2θ ＝16cos 2
θ－10cos θ＋10＝
16⎝ ⎛
⎭
⎪⎫cos θ－5162＋13516， 所以，当cos θ＝516时，|AC |取最小值为315
4； 当cos θ＝－1时，|AC |取最大值为6.
所以，当cos θ＝516时，|AB |取最小值为315
4－1； 当cos θ＝－1时，|AB |取最大值为6＋1＝7.
20.设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，
y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方
程为⎩
⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数).
(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率.
(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围.
解 (1)由已知得直线l 经过的定点是P (3，4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.
(2)由圆C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，
y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2，
由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，
y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通
方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，
当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k |
k 2
＋1<2，由此解得k >21
20.
直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2120，＋∞.
模块检测A
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3
D. 2
解析 结合图形，用a 表示出点M 的坐标，代入双曲线方程得出a ，b 的关系，进而求出离心率.不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为(2a ，3a ). ∵M 点在双曲线上， ∴4a 2a 2－3a 2
b 2＝1，a ＝b ， ∴
c ＝2a ，e ＝c
a ＝ 2.故选D. 答案 D
2.极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，
y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是
( ) A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆
D.直线、直线
解析 由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝x ， 即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y 2＝14，
它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0为圆心，以12为半径的圆.由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，所以y ＝2
＋3t ＝2＋3(－1－x )＝－3x －1，表示直线. 答案 A
3.在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )
A.⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ′＝13y ′
B.⎩⎪⎨⎪
⎧x ′＝2x y ′＝13y C.⎩
⎨⎧x ＝2x ′y ′＝3y ′
D.⎩
⎨⎧x ′＝2x y ′＝3y 解析 设⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ＞0，
y ′＝μy ，μ＞0则μy ＝sin λx .
即y ＝1
μsin λx
比较y ＝3sin α与y ＝1μsin λx ，则有1
μ＝3，λ＝2. ∴μ＝1
3，λ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y .
答案 B
4.设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫32，34π B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32，54π C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，54π
D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－3，34π 答案 A
5.在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则
切线长为( ) A.4
B.7
C.2 2
D.2 3
解析 ρ＝4sin θ化为普通方程x 2＋(y －2)2＝4，点⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，
2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理： 切线长＝（23）2＋（2－2）2－22＝2 2. 答案 C
6.柱坐标⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( ) A.(3，－1，1)
B.(3，1，1)
C.(1，3，1)
D.(－1，3，1)
解析 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式
⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1.
答案 C
7.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4
5t ，y ＝－9＋35t (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)的位置关系是(
)
A.相离
B.相切
C.过圆心
D.相交不过圆心
解析 把直线与圆的参数方程化为普通方程分别为3x －4y －36＝0，x 2＋y 2＝4，得到圆的半径为2，圆心为(0，0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断出直线和圆的位置关系. 答案 A
8.把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12y ＝t －1
2
B.⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝sin t y ＝1sin t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t
D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t
解析 xy ＝1，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制. 答案 D
9.已知双曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，
y ＝4tan θ (θ为参数)，在下列直线的参数方程中： ①⎩⎨⎧x ＝－3t ，
y ＝4t ；
②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3
2t ，y ＝1－1
2t ；
③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝－45t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2t ，
y ＝1＋22t ；
⑤⎩⎨⎧x ＝3＋3t ，y ＝－4－4t (以上方程中，t 为参数)，可以作为双曲线C 的渐近线方程的是( ) A.①⑤ B.①③⑤ C.①②④
D.②④⑤
解析 由双曲线的参数方程知，在双曲线中对应a ＝3，b ＝4且双曲线的焦点在x 轴上，因此渐近线方程是y ＝±
43x .检验所给的直线的参数方程可知只有①③⑤符合条件. 答案 B
10.曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋5t ，
y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，25、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C.(0，－4)、(8，0)
D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，59、(8，0) 解析 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，15；
当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共25分)
11.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t ，
y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝ ⎛
⎭
⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________. 解析 把参数方程化为极坐标方程，联立方程组求解.由⎩⎨⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t ，得x －y ＋2
＝0，则ρcos θ－ρsin θ＋2＝0.由ρ2cos 2θ＝4得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4. ∴ρcos θ＝－2，ρsin θ＝0.∴θ＝π，ρ＝2. ∴直线l 与曲线C 的交点的极坐标为A (2，π). 答案 (2，π)
12.设点M 的直角坐标为(1，－3，4)则点M 的柱坐标为________. 解析 设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则有
⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，即⎩⎨⎧1＝ρcos θ，－3＝ρsin θ，4＝z ，
∴有ρ＝2，θ＝5π3，z ＝4. 所以点M 的柱坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，5π3，4. 答案 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，5π3，4
13.在平面直角坐标系中，倾斜角为π
4的直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.
解析 将参数方程化为直角坐标方程求解.曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，
y ＝1＋sin α(α为参数)，消去
参数得(x －2)2＋(y －1)2＝1.由于|AB |＝2，因此|AB |为圆的直径，故直线过圆的圆心(2，1)，所以直线l 的方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0，化为极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1，即ρ(cos θ－sin θ)＝1. 答案 ρ(cos θ－sin θ)＝1
14.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为
⎩
⎨⎧x ＝t 2
，y ＝22t (t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________. 解析 将极坐标方程、参数方程转化为普通方程，联立求得交点坐标，或只将直线的极坐标方程转化为普通方程，再把曲线的参数方程代入直线的普通方程求交点坐标.由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2得x ＋y ＝－2.
法一 由⎩
⎨⎧x ＝t 2
，y ＝22t ，得y 2＝8x ，联立⎩⎨⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x ，
得⎩
⎨⎧x ＝2，
y ＝－4，即交点坐标为(2，－4). 法二 把⎩⎨⎧x ＝t 2
，
y ＝22t
代入x ＋y ＋2＝0
得t 2＋22t ＋2＝0，解得t ＝－2， ∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4). 答案 (2，－4)
15.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨
⎧x ＝
t ，
y ＝
3t 3
(t 为参数).以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角
坐标为________.
解析 先将参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，然后联立方程组，解方程组即得交点坐标.
将曲线C 1的参数方程化为普通方程为y ＝3
3x (x ≥0)，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎨⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1
与C 2交点的直角坐标为(3，1). 答案 (3，1)
三、解答题(共6题，共75分)
16.(12分)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3cos t ，
y ＝－2＋3sin t (t 为参数).
在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝m (m ∈R ).
(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.
解 (1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝9.由2ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝
m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－（－2）＋m |
2
＝2，解得m ＝－3±2 2.
17.(12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.
解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.
联立⎩⎨⎧x 2
＋y 2
－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，
解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，
y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标
为(0，0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32.
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π3.
当α＝5π
6时，|AB |取得最大值，最大值为4.
18.(12分)说明由函数y ＝2x 的图像经过怎样的图像变换可以得到函数y ＝4x －3＋1的图像.
解 因为y ＝4x －3＋1＝22x －6＋1，所以只需把y ＝2x 的图像经过下列变换就可以得到y ＝4x －3＋1的图像.
先把纵坐标不变，横坐标向右平移6个单位，得到函数y ＝2x － 6的图像； 再把横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数＝22x －
6的图像；
再把所得函数图像的横坐标不变，纵坐标向上平移1个单位即得函数y ＝4x －3＋1的图像.
19.(12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系.设椭圆的长轴长为10，中心为(3，0)，一个焦点在直角坐标原点； (1)求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；
(2)当椭圆的过直角坐标原点的弦的长度为640
91时，求弦所在直线的直角坐标方程. 解 (1)由已知，得到a ＝5，c ＝3，故b ＝a 2－c 2＝4. 所以，椭圆的直角坐标方程为（x －3）225＋y 216
＝1.
由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入上式得到（ρcos θ－3）225＋（ρsin θ）216＝1，即25ρ
2
＝(16＋3ρcos θ)2， 即5ρ＝16＋3ρcos θ，
所以，椭圆的极坐标方程为ρ＝
16
5－3cos θ
.
(2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为θ，弦的两端分别为P 1(ρ1，θ)，P 2(ρ2，θ＋π)，
则有ρ1＝165－3cos θ，ρ2＝16
5＋3cos θ.
由于ρ1＋ρ2＝640
91，
所以，165－3cos θ＋165＋3cos θ
＝640
91，
即125－9cos 2 θ＝491
⇔cos 2
θ＝14⇔cos θ＝±12⇔θ＝π3，或θ＝2π3. 所以，所求直线的直角坐标方程为y ＝12x 或y ＝－12x .
20.(13分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数).以原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.
(2)设P ⎝
⎛⎭⎪⎫
3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝
⎝ ⎛
⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，点P 的直角坐标为(3，0).
21.(14分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1，Q 点在圆C 上
运动.
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若P 在线段OQ 延长线上运动，且OQ ∶QP ＝2∶3，求动点P 的轨迹方程.
解 (1)设M (ρ，θ)为圆C 上的任意一点，如图所示， 在△OCM 中，|OC |＝3， |OM |＝ρ，|CM |＝1， ∠COM ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
θ－π6，
根据余弦定理，得1＝ρ2
＋9－2ρ·3cos ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
θ－π6，
化简并整理，得ρ2－6ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程.
(2)设Q (ρ1，θ1)，则有 ρ2
1－6ρ1cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫θ1－π6＋8＝0.①
设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝2
5ρ. 又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ，
代入①，得425ρ2－6·25·ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π6＋8＝0， 整理，得ρ2
－15ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π6＋50＝0为点P 的轨迹方程.。