离散数学第一章

离散数学第⼀章
1.1命题及其表⽰法
1.1.1 命题的概念
数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。

1.1.2 命题的表⽰
命题通常使⽤⼤写字母A，B，…，Z或带下标的⼤写字母或数字表⽰，如A i，[10]，R等，例如A1：我是⼀名⼤学⽣。

A1:我是⼀名⼤学⽣.[10]：我是⼀名⼤学⽣。

R：我是⼀名⼤学⽣。

1.2命题联结词
1.2.1 否定联结词﹁P
P P
0 1
1 0
1.2.2 合取联结词∧
P∧
P Q Q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1.2.3 析取联结词∨
P∨
P Q Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
1.2.4 条件联结词→
P→
P Q Q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
1.2.5 双条件联结词?
P?
P Q Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1.2.6 与⾮联结词↑
P↑
P Q Q
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
性质：
（1） P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；
（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；
（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。

1.2.7 或⾮联结词↓
P↓
P Q Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
性质：
（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；
（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；
（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。

1.3 命题公式、翻译与解释
1.3.1 命题公式
定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应⽤(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。

例如，下⾯的符号串都是公式：
（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）
（（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R
以下符号串都不是公式：
（（P∨Q）?（∧Q））（∧Q）
1.3.2 命题的翻译
可以把⾃然语⾔中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。

命题翻译时应注意下列事项：
（1）确定所给句⼦是否为命题。

（2）句⼦中联结词是否为命题联结词。

（3）要正确的选择原⼦命题和合适的命题联结词。

例：假如上午不下⾬，我去看电影，否则就在家⾥读书或看报。

解：设P：上午下⾬；Q：我去看电影；R：我在家⾥读书；S：我在家⾥看报。

本例可表⽰为：（?P→Q）∧（P→（R∨S））。

1.3.3 命题公式的解释定义
设P 1，P 2，…，P n 是出现在命题公式G 中的全部命题变元，指定P 1，P 2，…，P n 的⼀组真值，称这组真值为G 的⼀个解释或赋值，记作I ，公式G 在I 下的真值记作T I （G ）。

例如，G=（?P ∧Q ）→R ，则I ：
P
Q
R
1 1 0
是G 的⼀个解释，在这个解释下G 的真值为1，即T I （G ）=1。

1.4 真值表与等价公式
1.4.1 真值表
定义将公式G 在其所有解释下所取得的真值列成⼀个表，称为G 的真值表。

构造真值表的⽅法如下：
（1）找出公式G 中的全部命题变元，并按⼀定的顺序排列成P 1，P 2，…，P n 。

（2）列出G 的2n 个解释，赋值从00…
0（n 个）开始，按⼆进制递加顺序依次写出各赋值，直到11…1为⽌（或从11…1开始，按⼆进制递减顺序写出各赋值，直到00…0为⽌），然后从低到⾼的顺序列出G 的层次。

（3）根据赋值依次计算各层次的真值并最终计算出G 的真值。

例：G=?（ P →Q ）∧Q
P
Q Q P → )(Q P →? Q Q P ∧→?)(
0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1
1
1
1.4.2 命题公式的分类定义设G 为公式：（1）如果G 在所有解释下取值均为真，则称G 是永真式或重⾔式；（2）如果G 在所有解释下取值均为假，则称G 是永假式或⽭盾式；（3）如果⾄少存在⼀种解释使公式G 取值为真，则称G 是可满⾜式。

1.4.3 等价公式
定义设A 和B 是两个命题公式，如果A 和B 在任意赋值情况下都具有相同的真值，则称A 和B 是等价公式。

记为A ?B 。

性质定理
设A、B、C是公式，则
（1）A?A
（2）若A?B则B?A
（3）若A?B且B?C则A?C
定理设A、B、C是公式，则下述等价公式成⽴：
（1）双重否定律??A?A
（2）等幂律 A∧A?A ； A∨A?A
（3）交换律 A∧B?B∧A ； A∨B?B∨A
（4）结合律（A∧B）∧C?A∧（B∧C）
（A∨B）∨C?A∨（B∨C）
（5）分配律（A∧B）∨C?（A∨C）∧（B∨C）
（A∨B）∧C?（A∧C）∨（B∧C）
（6）德·摩根律?（A∨B）??A∧?B
（A∧B）??A∨?B
（7）吸收律 A∨（A∧B）?A；A∧（A∨B）?A
（8）零⼀律 A∨1?1 ； A∧0?0
（9）同⼀律 A∨0?A ； A∧1?A
（10）排中律 A∨?A?1
（11）⽭盾律 A∧?A?0
（12）蕴涵等值式 A→B??A∨B
（13）假⾔易位 A→B??B→?A
（14）等价等值式 A?B?（A→B）∧（B→A）
（15）等价否定等值式 A?B??A??B??B??A
（16）归缪式（A→B）∧（A→?B）??A
1.4.4 置换规则
定理（置换规则）设?（A）是⼀个含有⼦公式A的命题公式，?（B）是⽤公式B置换了?（A）中的⼦公式A后得到的公式，如果A?B，那么?（A）??（B）。

1.5 对偶与范式
1.5.1 对偶
定义在仅含有联结词?、∧、∨的命题公式A中，将联结词∧换成∨，将∨换成∧，如果A中含有特殊变元0或1，就将0换成1，1换成0，所得的命题公式A*称为A的对偶式。

例：公式（?P∨Q）∧（P∨?Q）的对偶式为：（?P∧Q）∨（P∧?Q）定理设A和A*互为对偶式，P1，P2，…，P n是出现在A 和A*中的所有原⼦变元，若将A和A*写成n元函数形式，则
（1）?A（P1，P2，…，P n）?A*（?P1，?P2，…，?P n）
（2）A（?P1，?P2，…，?P n）??A*（P1，P2，…，P n）
定理（对偶原理）设A、B是两个命题公式，若A?B，则A*?B*，其中A*、B*分别为A、B的对偶式。

1.5.2 范式
定义仅由有限个命题变元及其否定构成的析取式称为简单析取式，仅由有限个命题变元及其否定构成的合取式称为简单合取式。

定义仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。

仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。

定理（范式存在定理）任何命题公式都存在着与之等价的析取范式和合取范式。

1.5.3 主范式
定义在含有n个命题变元P1，P2，…，P n的简单合取范式中，若每个命
题变元或其否定不同时存在，但⼆者之⼀必出现且仅出现⼀次，且第i个命题变元或其否定出现在从左起的第i个位置上（若命题变元⽆脚标，则按字典顺序排列），这样的简单合取式称为极⼩项。

相应的，满⾜上述条件的简单析取式称为
极⼤项。

n个命题变元P1，P2，…，P n的极⼩项⽤公式可表⽰为 P i* ，极⼤项可表⽰为P i*，其中，P i*为P i或?P
i（i=1，2，…，n）。

定义设G为公式，P1，P2，…，P n为G中的所有命题变元，若G的析取范式中每⼀个合取项都是P1，P2，…，P n的⼀个极⼩项，则称该析取范式为G
的主析取范式。

⽭盾式的主析取范式为0。

定理任意的命题公式都存在⼀个唯⼀的与之等价的主析取范式。

⽤等值演算求主析取范式步骤如下：
（1）求G的析取范式G'；
（2）若G中某个简单合取式m中没有出现某个命题变元P i或其否定?P i，则将m作如下等价变换：m?m∧（P i∨?P i）?（
m∧P i）∨（m∧?P i）
（3）将重复出现的命题变元、⽭盾式和重复出现的极⼩项都消去；
（4）重复步骤（2）、（3），直到每⼀个简单合取式都为极⼩项；
（5）将极⼩项按脚标由⼩到⼤的顺序排列，并⽤∑表⽰。

如m0∨m1∨m7可表⽰为∑（0，1，7）。

定义设G为公式，P1，P2，…，P n为G中的所有命题变元，若G的合取范式中每⼀个析取项都是P1，P2，…，P n的⼀个极⼤项，则称该合取范式为G
的主合取范式。

通常，主合取范式⽤∏表⽰。

重⾔式的主合取范式中不含任何极⼤项，⽤1表⽰。

定理任意的命题公式都存在⼀个唯⼀的与之等价的主合取范式。

1.6 公式的蕴涵
1.6.1 蕴涵的概念定义
设G、H是两个公式，若G→H是永真式，则称G蕴涵H，记作G?H。

蕴涵关系有如下性质：
（1）对于任意公式G，有G?G；
（2）对任意公式G、H，若G?H且H?G，则G?H；
（3）若G?H且H?L，则G?L。

⼴义的蕴涵概念
定义设G1，G2，…，G n，H是公式，如果（G1∧G2∧…∧G n）→H是永真式，则称G1，G2，…，G n蕴涵H，⼜称H是
G1，G2，…，G n的逻辑结果，记作（G1∧G2∧…∧G n）?H或（G1，G2，…，G n）?H。

1.6.2 基本蕴涵式
（1）P∧Q?P；（2）P∧Q?Q；
（3）P?P∨Q； (4) Q?P∨Q；
（5）?P?（P→Q）；（6）Q?（P→Q）；
（7）?（P→Q）?P；（8）?（P→Q）??Q；
（9）P，P→Q?Q；（10）?Q，P→Q??P；
（11）?P，P∨Q?Q；（12）P→Q，Q→R?P→R；
（13）P∨Q，P→R，Q→R?R；（14）P→Q，R→S?（P∧R）→（Q∧S）；（15）P，Q?P∧Q。

1.7 其它联结词与最⼩联结词组
1.7.1 其它联结词
定义设P、Q为命题公式，则复合命题P ?Q称为P和Q的不可兼析取，当且仅当P与Q的真值不相同时，P?Q的真值为1，否则P?Q的真值为假。

定义设P、Q是两个命题公式，复合命题P?→
c Q称为命题P、Q的条件否定，当且仅当P的真值为1，Q的真值为0时，P?→
c Q
c Q的真值为1，否则 P?→的真值为0。

1.7.2 最⼩联结词组
定义设S是⼀些联结词组成的⾮空集合，如果任何的命题公式都可以⽤仅包含S中的联结词的公式表⽰，则称S是联结词的全功能集。

特别的，若S是联结词的全功能集且S的任何真⼦集都不是全功能集，则称S是最⼩全功能集，⼜称最⼩联结词组。

定理 {?，∧，∨，→，?}是联结词的全功能集。

定理 {?，∧，∨}是联结词的全功能集。

定理 {?，∧}，{?、∨}，{?，→}是最⼩联结词组。

定理 {↑}，{↓}是最⼩联结词组。

1.8 命题逻辑推理理论
1.8.1 命题逻辑推理理论
定义如果G1，G2，…，G n蕴涵H，则称H能够由G1，G2，…，G n有效推出，G1，G2，…，G n称为H的前提，H称为
G1，G2，…，G n的有效结论。

称（G1∧G2∧…∧G n）→H是由前提G1，G2，…，G n推结论H的推理的形式结构。

1.8.2 推理规则下⾯给出推理中常⽤的推理规则。

1．前提引⼊规则：可以在证明的任何时候引⼊前提；
2．结论引⼊规则：在证明的任何时候，已证明的结论都可以作为后续证明的前提；
3．置换规则：在证明的任何时候，命题公式中的任何⼦命题公式都可以⽤与之等价的命题公式置换。

4．⾔推理规则：P，P→Q?Q
5．附加规则：P?P∨Q；
6．化简规则：P，Q?P；
7．拒取式规则：?Q，P→Q??P；
8．假⾔三段论规则：P→Q，Q→R?P→R；
9．析取三段论规则：?P，P∨Q?Q；
10.构造性⼆难规则：P∨Q，P→R，Q→R?R；
11.合取引⼊规则：P，Q?P∧Q
1.8.3 推理常⽤⽅法
1.直接证法
直接证法就是根据⼀组前提，利⽤前⾯提供的⼀些推理规则，根据已知的等价公式和蕴涵式，推演得到有效的结论的⽅法，即有前提直接推导出结论。

例构造下列推理的证明。

前提：P∨Q，P→R，Q→S 结论：S∨R
证明（1）P∨Q 前提引⼊规则
（2）P→R 前提引⼊规则
（3）Q→S 前提引⼊规则
（4）S∨R （1）（2）（3）构造性⼆难规则
2．间接证法
间接证法主要有如下两种情况。

（1）附加前提证明法有时要证明的结论以蕴涵式的形式出现，即推理的形式结构为：（G1∧G2∧…∧G n）?（R→C）设
（G1∧G2∧…∧G n）为S，则上述
推理可表⽰为证明S?（R→C），即证明S→（R→C）为永真式。

⽤附加前提证明法证明下⾯推理。

前提：P→（Q→R），?S∨P，Q 结论：S→R
证明：（1）?S∨P 前提引⼊规则
（2）S 附加前提引⼊规则
（3）P （1）（2）析取三段论规则
（4）P→（Q→R）前提引⼊规则
（5）Q→R （3）（4）假⾔推理规则
（6）Q 前提引⼊规则
（7）R （5）（6）假⾔推理规则
2）归缪法定义设G1，G2，…，G n是n个命题公式，如果G1∧G2∧…∧G n是可满⾜式，则称G1，G2，…，G n是相容的。

否则（即G1∧G2∧…∧G n是⽭盾式）称G1，G2，…，G n是不相容的。

例⽤归缪法证明。

前提：P∨Q，P→R，Q→S 结论：S∨R
证明（1）?（S∨R）附加前提引⼊规则
（2）?S∧?R （1）置换规则
（3）?S （2）化简规则
（4）?R （2）化简规则
（5）Q→S 前提引⼊规则
（6）?Q∨S （5）置换规则
（7）?Q （3）（6）析取三段论
（8）P∨Q 前提引⼊规则
（9）P （7）（8）析取三段论规则
（10）P→R 前提引⼊规则
（11）?P∨R （10）置换规则
（12）R （9）（11）析取三段论规则（13）?R∧R （4）（12）合取引⼊规则。