数学建模竞赛中应当掌握十类算法市公开课金奖市赛课一等奖课件
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第14页
遗传算法简介
▪ 遗传算法是一类借鉴生物界自然选择和自 然遗传机制随机化搜索算法，由美国 J.Holland专家提出，其主要特点是群体搜 索策略和群体中个体之间信息互换，搜索 不依赖于梯度信息。它尤其合用于老式搜 索办法难于解决复杂和非线性问题，可广 泛用于组合优化、机器学习、自适应控制、 规划设计和人工生命等领域，是21世纪有 关智能计算中关键技术之一。
▪ 5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些 算法是算法设计中比较惯用办法，诸多场合能够用到竞赛 中）
▪ 6、最优化理论三大非典型算法：模拟退火法、神经网络、 遗传算法（这些问题是用来处理一些较困难最优化问题算 法，对于有些问题非常有帮助，但是算法实现比较困难， 需谨慎使用）
▪ 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索 最长处算法，在诸多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本 身而轻视算法时候，能够使用这种暴力方案，最好使用一 些高级语言作为编程工具）
第2பைடு நூலகம்页
▪ 一、遗传算法目的
典型遗传算法CGA(Canonical Genetic Algorithm)通惯用于 处理下面这一类静态最优化问题：
考虑对于一群长度为L二进制编码bi，i＝1，2，…，n；有
bi∈{0,1}
给定目的函数f，有f(bi)，并且
0<f(bi)<∞
同时
f(bi)≠f(bi+1)
▪ 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类 问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，诸多时候这 些问题能够用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、 Lingo软件实现）
第1页
▪ 4、图论算法（这类算法能够分为很各种，涉及最短路、 网络流、二分图等算法，涉及到图论问题能够用这些办法 处理，需要认真准备）
▪ 七、串结构空间SS 在串中，基因任意组合所构成串集合。基因操作是在结构 空间中进行。串结构空间相应于遗传学中基因型 (Genotype)集合。
▪ 八、参数空间SP 这是串空间在物理系统中映射，它相应于遗传学中表现型 (Phenotype)集合。
▪ 九、非线性 它相应遗传学中异位显性(Epistasis)
▪ 能够把蒙特卡罗解题归结为三个主要环节： 结构或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各 种预计量。
第5页
例. 蒲丰氏问题
为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有诸多人 作了这样试验：将长为2l一根针任意投到地面上，用针 与一组相间距离为2a（ l＜a）平行线相交频率代替概 率P，再利用准确关系式：
第13页
2、最优化理论三大非典型算法
▪ 这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经 网络、遗传算法这三类算法发展不久。近几年赛题越来越 复杂，诸多问题没有什么较好模型能够借鉴，于是这三类 算法诸多时候能够派上用场，比如：97 年A 题模拟退火 算法，00 年B 题神经网络分类算法，象01 年B 题这种难 题也能够使用神经网络，尚有美国竞赛89 年A 题也和BP 算法相关系，当初是86 年刚提出BP 算法，89 年就考了， 阐明赛题也许是当今前沿科技抽象表达。当前算法最佳是 遗传算法。
▪ Mendel遗传学说最主要是基因遗传原理。它认为遗传以 密码方式存在细胞中，并以基因形式包括在染色体内。每 个基因有特殊位置并控制某种特殊性质；因此，每个基因 产生个体对环境含有某种适应性。基因突变和基因杂交可 产生更适应于环境后代。通过存优去劣自然淘汰，适应性 高基因结构得以保留下来。
▪ 由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生直接搜索优 化办法；故而在这个算法中要用到各种进化和遗传学概念。 这些概念下列：
第17页
▪ 一、串(String) 它是个体(Individual)形式，在算法中为二进制串，并且相 应于遗传学中染色体(Chromosome)。
▪ 二、群体(Population) 个体集合称为群体，串是群体元素
▪ 三、群体大小(Population Size) 在群体中个体数量称为群体大小。
▪ 四、基因(Gene) 基因是串中元素，基因用于表示个体特性。比如有一个串 S＝1011，则其中1，0，1，1这4个元素分别称为基因。 它们值称为等位基因(Alletes)。
i 1
是针与平行线相交概率Ｐ预计值。事实上，
P s(x, ) f1(x) f2 ( )dxd
于是有
d lsin dx 2l
0 0
a a
2l 2l
aP asN
第10页
因此，能够通俗地说，蒙特卡罗办法是用随机试验办法计
算积分，即将所要计算积分看作服从某种分布密度函数f(r)
随机变量ｇ(r)数学盼望
第16页
遗传算法基本概念
▪ 遗传算法基本思想是基于Darwin进化论和Mendel遗传学 说。
▪ Darwin进化论最主要是适者生存原理。它认为每一物种 在发展中越来越适应环境。物种每个个体基本特性由后代 所继承，但后代又会产生一些异于父代新改变。在环境改 变时，只有那些能适应环境个体特性方能保留下来。
第4页
▪ 蒙特卡罗办法基本原理及思想下列：
▪ 当所要求解问题是某种事件出现概率，或者是某个随机变 量盼望值时，它们能够通过某种“试验”办法，得到这种 事件出现频率，或者这个随机变数平均值，并用它们作为 问题解。这就是蒙特卡罗办法基本思想。蒙特卡罗办法通 过抓住事物运动几何数量和几何特性，利用数学办法来加 以模拟，即进行一个数字模拟试验。它是以一个概率模型 为基础，按照这个模型所描绘过程，通过模拟试验结果， 作为问题近似解。
g 0 g(r) f (r)dr
通过某种试验，得到Ｎ个观测值r1，r2，…，rN（用概率 语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1，r2，…， rN，），将相应Ｎ个随机变量值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)算
术平均值
g N
1 N
N
g(ri )
i 1
作为积分预计值（近似值）。
第11页
求满足下式
max{f(bi)|bi∈{0,1}
bi。
很明显，遗传算法是一个最优化办法，它通过进化和遗传机
理，从给出原始解群中，不断进化产生新解，最后收敛到 一个特定串bi处，即求出最优解。
x a1 2
其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布随机变量。
第9页
每次投针试验，事实上变成在计算机上从两个均匀分布
随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线 相交情况随机变量s(x,θ)，为
1, 当x l sin
s(x, ) 0, 其他
假如投针Ｎ次，则
sN
1 N
N
s(xi ,i )
数学建模竞赛中应当掌握十类算法 ：
▪ 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过 计算机仿真来处理问题算法，同时能够通过模拟来检查自 己模型正确性，是比赛时必用办法）
▪ 2、数据拟合、参数预计、插值等数据处理算法（比赛中 通常会碰到大量数据需要处理，而处理数据关键就在于这 些算法，通常使用Matlab作为工具）
▪ 五 、基因位置(Gene Position) 一个基因在串中位置称为基因位置，有时也简称基因位。 基因位置由串左向右计算，比如在串S＝1101中，0基因 位置是3。基因位置相应于遗传学中地点(Locus)。
第18页
▪ 六、基因特性值(Gene Feature) 在用串表示整数时，基因特性值与二进制数权一致；比如 在串S=1011中，基因位置3中1，它基因特性值为2；基 因位置1中1，它基因特性值为8。
▪ 在人工智能领域中，有不少问题需要在 第15页
▪ 因此，研究能在搜索过程中自动获取和积累相关搜索空间 知识，并自适应地控制搜索过程，从而得到最优解地通用 搜索办法始终是令人瞩目地课题。遗传算法就是这种尤其 有效地算法。生物进化是一个奇妙优化过程，它通过选择 淘汰，忽然变异，基因遗传等规律产生适应环境改变优良 物种。遗传算法是依据生物进化思想而启发得出一个全局 优化算法。尽管遗传算法本身在理论和应用办法上仍有许 多待进一步研究地问题，但它已在诸多领域地应用中呈现 了其特色和魅力。
▪ 十、适应度(Fitness) 表示某一个体对于环境适应程度。
第19页
遗传算法原理
▪ 遗传算法GA把问题解表示成“染色体”，在算法中也即 是以二进制编码串。并且，在执行遗传算法之前，给出一 群“染色体”，也即是假设解。然后，把这些假设解置于 问题“环境”中，并按适者生存原则，从中选择出较适应 环境“染色体”进行复制，再通过交叉，变异过程产生更 适应环境新一代“染色体”群。这样，一代一代地进化， 最后就会收敛到最适应环境一个“染色体”上，它就是问 题最优解。
▪ 用比较抽象概率语言描述蒙特卡罗办法解题环节下列：结 构一个概率空间(W ,A,P)，其中，W 是一个事件集合，A 是集合W 子集，P是在A上建立某个概率测度；在这个概 率空间中，选取一个随机变量q (w ), 使得这个随机变量 盼望值正好是所要求解Q ，然后用q (w )简朴子样算术平 均值作为Q 近似值。
3.1553
福克斯(Fox)
1894 1120
3.1419
拉查里尼 (Lazzarini)
1901 3408
3.1415929
第7页
设针投到地面上位置能够用一组参数（x,θ）来描述， x为针中心坐标，θ为针与平行线夹角，如图所表示。
任意投针，就是意味着x与θ都是任意取，但x范围限于 ［0，a］，夹角θ范围限于［0，π］。在此情况下，针与 平行线相交数学条件是
P 2l
a
求出π值
2l 2l ( N )
aP a n
▪
其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。
这就是古典概率论中著名蒲丰氏问题。
第6页
▪ 一些人进行了试验，其结果列于下表 ：
试验者
年份 投计次数 π试验值
沃尔弗(Wolf) 1850 5000
3.1596
斯密思(Smith) 1855 3204
x l sin
针在平行线间位置
第8页
如何产生任意（x,θ）？x在［0，a］上任意取值， 表示x在［0，a］上是均匀分布，其分布密度函数 为：
1/ a, 0 x a f1 (x) 0, 其他
类似地，θ分布密度函数为：
f
2
(
)
1/ 0,
,
0
其他
因此，产生任意（x,θ）过程就变成了由f1(x)抽 样x及由f2(θ)抽样θ过程了。由此得到：
第12页
▪ 另一个例子就是彩票问题第二问，要求设 计一个更加好方案，首先方案优劣取决于 诸多复杂原因，同样不也许刻画出一个模 型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
▪ 蒙特卡罗办法计算程序：
▪ 关于蒙特卡罗办法计算程序已有诸多， 如：EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、 MCNP、GEANT等。这些程序大多通过了 多年发展，花费了巨大工作量。除欧洲核 子研究中心（CERN）发行GEANT主要用 于高能物理探测器响应和粒子径迹模拟外， 其它程序都进一步到低能领域，并被广泛
▪ 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形相关，即 使与图形无关，论文中也应当要不乏图片，这些图形如何 展示以及如何处理就是需要处理问题，通常使用Matlab进 行处理）
第3页
十类算法详细阐明
▪ 1、蒙特卡罗办法（MC）（Monte Carlo）：
▪ 蒙特卡罗（Monte Carlo）办法，或称计算机随机模拟办 法，是一个基于“随机数”计算办法。这一办法源于美国 在第二次世界大战进行研制原子弹“曼哈顿计划”。该计 划主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界赌城—摩纳 哥Monte Carlo—来命名这种办法，为它蒙上了一层神秘 色彩。
▪ 举个例子就是97 年A 题，每个零件都有自己标定值，也 都有自己容差等级，而求解最优组合方案将要面对着是一 个极其复杂公式和108 种容差选取方案，主线不也许去求 解析解，那如何去找到最优方案呢？随机性模拟搜索最优 方案就是其中一个办法，在每个零件可行区间中按照正态 分布随机选取一个标定值和选取一个容差值作为一个方案， 然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量方案，从中选取一个最 佳。
第2页
▪ 8、一些连续离散化办法（诸多问题都是实际来，数据能 够是连续，而计算机只认是离散数据，因此将其离散化后 进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常主要）
▪ 9、数值分析算法（假如在比赛中采用高级语言进行编程 话，那一些数值分析中惯用算法比如方程组求解、矩阵运 算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）
遗传算法简介
▪ 遗传算法是一类借鉴生物界自然选择和自 然遗传机制随机化搜索算法，由美国 J.Holland专家提出，其主要特点是群体搜 索策略和群体中个体之间信息互换，搜索 不依赖于梯度信息。它尤其合用于老式搜 索办法难于解决复杂和非线性问题，可广 泛用于组合优化、机器学习、自适应控制、 规划设计和人工生命等领域，是21世纪有 关智能计算中关键技术之一。
▪ 5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些 算法是算法设计中比较惯用办法，诸多场合能够用到竞赛 中）
▪ 6、最优化理论三大非典型算法：模拟退火法、神经网络、 遗传算法（这些问题是用来处理一些较困难最优化问题算 法，对于有些问题非常有帮助，但是算法实现比较困难， 需谨慎使用）
▪ 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索 最长处算法，在诸多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本 身而轻视算法时候，能够使用这种暴力方案，最好使用一 些高级语言作为编程工具）
第2பைடு நூலகம்页
▪ 一、遗传算法目的
典型遗传算法CGA(Canonical Genetic Algorithm)通惯用于 处理下面这一类静态最优化问题：
考虑对于一群长度为L二进制编码bi，i＝1，2，…，n；有
bi∈{0,1}
给定目的函数f，有f(bi)，并且
0<f(bi)<∞
同时
f(bi)≠f(bi+1)
▪ 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类 问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，诸多时候这 些问题能够用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、 Lingo软件实现）
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▪ 4、图论算法（这类算法能够分为很各种，涉及最短路、 网络流、二分图等算法，涉及到图论问题能够用这些办法 处理，需要认真准备）
▪ 七、串结构空间SS 在串中，基因任意组合所构成串集合。基因操作是在结构 空间中进行。串结构空间相应于遗传学中基因型 (Genotype)集合。
▪ 八、参数空间SP 这是串空间在物理系统中映射，它相应于遗传学中表现型 (Phenotype)集合。
▪ 九、非线性 它相应遗传学中异位显性(Epistasis)
▪ 能够把蒙特卡罗解题归结为三个主要环节： 结构或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各 种预计量。
第5页
例. 蒲丰氏问题
为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有诸多人 作了这样试验：将长为2l一根针任意投到地面上，用针 与一组相间距离为2a（ l＜a）平行线相交频率代替概 率P，再利用准确关系式：
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2、最优化理论三大非典型算法
▪ 这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经 网络、遗传算法这三类算法发展不久。近几年赛题越来越 复杂，诸多问题没有什么较好模型能够借鉴，于是这三类 算法诸多时候能够派上用场，比如：97 年A 题模拟退火 算法，00 年B 题神经网络分类算法，象01 年B 题这种难 题也能够使用神经网络，尚有美国竞赛89 年A 题也和BP 算法相关系，当初是86 年刚提出BP 算法，89 年就考了， 阐明赛题也许是当今前沿科技抽象表达。当前算法最佳是 遗传算法。
▪ Mendel遗传学说最主要是基因遗传原理。它认为遗传以 密码方式存在细胞中，并以基因形式包括在染色体内。每 个基因有特殊位置并控制某种特殊性质；因此，每个基因 产生个体对环境含有某种适应性。基因突变和基因杂交可 产生更适应于环境后代。通过存优去劣自然淘汰，适应性 高基因结构得以保留下来。
▪ 由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生直接搜索优 化办法；故而在这个算法中要用到各种进化和遗传学概念。 这些概念下列：
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▪ 一、串(String) 它是个体(Individual)形式，在算法中为二进制串，并且相 应于遗传学中染色体(Chromosome)。
▪ 二、群体(Population) 个体集合称为群体，串是群体元素
▪ 三、群体大小(Population Size) 在群体中个体数量称为群体大小。
▪ 四、基因(Gene) 基因是串中元素，基因用于表示个体特性。比如有一个串 S＝1011，则其中1，0，1，1这4个元素分别称为基因。 它们值称为等位基因(Alletes)。
i 1
是针与平行线相交概率Ｐ预计值。事实上，
P s(x, ) f1(x) f2 ( )dxd
于是有
d lsin dx 2l
0 0
a a
2l 2l
aP asN
第10页
因此，能够通俗地说，蒙特卡罗办法是用随机试验办法计
算积分，即将所要计算积分看作服从某种分布密度函数f(r)
随机变量ｇ(r)数学盼望
第16页
遗传算法基本概念
▪ 遗传算法基本思想是基于Darwin进化论和Mendel遗传学 说。
▪ Darwin进化论最主要是适者生存原理。它认为每一物种 在发展中越来越适应环境。物种每个个体基本特性由后代 所继承，但后代又会产生一些异于父代新改变。在环境改 变时，只有那些能适应环境个体特性方能保留下来。
第4页
▪ 蒙特卡罗办法基本原理及思想下列：
▪ 当所要求解问题是某种事件出现概率，或者是某个随机变 量盼望值时，它们能够通过某种“试验”办法，得到这种 事件出现频率，或者这个随机变数平均值，并用它们作为 问题解。这就是蒙特卡罗办法基本思想。蒙特卡罗办法通 过抓住事物运动几何数量和几何特性，利用数学办法来加 以模拟，即进行一个数字模拟试验。它是以一个概率模型 为基础，按照这个模型所描绘过程，通过模拟试验结果， 作为问题近似解。
g 0 g(r) f (r)dr
通过某种试验，得到Ｎ个观测值r1，r2，…，rN（用概率 语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1，r2，…， rN，），将相应Ｎ个随机变量值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)算
术平均值
g N
1 N
N
g(ri )
i 1
作为积分预计值（近似值）。
第11页
求满足下式
max{f(bi)|bi∈{0,1}
bi。
很明显，遗传算法是一个最优化办法，它通过进化和遗传机
理，从给出原始解群中，不断进化产生新解，最后收敛到 一个特定串bi处，即求出最优解。
x a1 2
其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布随机变量。
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每次投针试验，事实上变成在计算机上从两个均匀分布
随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线 相交情况随机变量s(x,θ)，为
1, 当x l sin
s(x, ) 0, 其他
假如投针Ｎ次，则
sN
1 N
N
s(xi ,i )
数学建模竞赛中应当掌握十类算法 ：
▪ 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过 计算机仿真来处理问题算法，同时能够通过模拟来检查自 己模型正确性，是比赛时必用办法）
▪ 2、数据拟合、参数预计、插值等数据处理算法（比赛中 通常会碰到大量数据需要处理，而处理数据关键就在于这 些算法，通常使用Matlab作为工具）
▪ 五 、基因位置(Gene Position) 一个基因在串中位置称为基因位置，有时也简称基因位。 基因位置由串左向右计算，比如在串S＝1101中，0基因 位置是3。基因位置相应于遗传学中地点(Locus)。
第18页
▪ 六、基因特性值(Gene Feature) 在用串表示整数时，基因特性值与二进制数权一致；比如 在串S=1011中，基因位置3中1，它基因特性值为2；基 因位置1中1，它基因特性值为8。
▪ 在人工智能领域中，有不少问题需要在 第15页
▪ 因此，研究能在搜索过程中自动获取和积累相关搜索空间 知识，并自适应地控制搜索过程，从而得到最优解地通用 搜索办法始终是令人瞩目地课题。遗传算法就是这种尤其 有效地算法。生物进化是一个奇妙优化过程，它通过选择 淘汰，忽然变异，基因遗传等规律产生适应环境改变优良 物种。遗传算法是依据生物进化思想而启发得出一个全局 优化算法。尽管遗传算法本身在理论和应用办法上仍有许 多待进一步研究地问题，但它已在诸多领域地应用中呈现 了其特色和魅力。
▪ 十、适应度(Fitness) 表示某一个体对于环境适应程度。
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遗传算法原理
▪ 遗传算法GA把问题解表示成“染色体”，在算法中也即 是以二进制编码串。并且，在执行遗传算法之前，给出一 群“染色体”，也即是假设解。然后，把这些假设解置于 问题“环境”中，并按适者生存原则，从中选择出较适应 环境“染色体”进行复制，再通过交叉，变异过程产生更 适应环境新一代“染色体”群。这样，一代一代地进化， 最后就会收敛到最适应环境一个“染色体”上，它就是问 题最优解。
▪ 用比较抽象概率语言描述蒙特卡罗办法解题环节下列：结 构一个概率空间(W ,A,P)，其中，W 是一个事件集合，A 是集合W 子集，P是在A上建立某个概率测度；在这个概 率空间中，选取一个随机变量q (w ), 使得这个随机变量 盼望值正好是所要求解Q ，然后用q (w )简朴子样算术平 均值作为Q 近似值。
3.1553
福克斯(Fox)
1894 1120
3.1419
拉查里尼 (Lazzarini)
1901 3408
3.1415929
第7页
设针投到地面上位置能够用一组参数（x,θ）来描述， x为针中心坐标，θ为针与平行线夹角，如图所表示。
任意投针，就是意味着x与θ都是任意取，但x范围限于 ［0，a］，夹角θ范围限于［0，π］。在此情况下，针与 平行线相交数学条件是
P 2l
a
求出π值
2l 2l ( N )
aP a n
▪
其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。
这就是古典概率论中著名蒲丰氏问题。
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▪ 一些人进行了试验，其结果列于下表 ：
试验者
年份 投计次数 π试验值
沃尔弗(Wolf) 1850 5000
3.1596
斯密思(Smith) 1855 3204
x l sin
针在平行线间位置
第8页
如何产生任意（x,θ）？x在［0，a］上任意取值， 表示x在［0，a］上是均匀分布，其分布密度函数 为：
1/ a, 0 x a f1 (x) 0, 其他
类似地，θ分布密度函数为：
f
2
(
)
1/ 0,
,
0
其他
因此，产生任意（x,θ）过程就变成了由f1(x)抽 样x及由f2(θ)抽样θ过程了。由此得到：
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▪ 另一个例子就是彩票问题第二问，要求设 计一个更加好方案，首先方案优劣取决于 诸多复杂原因，同样不也许刻画出一个模 型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
▪ 蒙特卡罗办法计算程序：
▪ 关于蒙特卡罗办法计算程序已有诸多， 如：EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、 MCNP、GEANT等。这些程序大多通过了 多年发展，花费了巨大工作量。除欧洲核 子研究中心（CERN）发行GEANT主要用 于高能物理探测器响应和粒子径迹模拟外， 其它程序都进一步到低能领域，并被广泛
▪ 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形相关，即 使与图形无关，论文中也应当要不乏图片，这些图形如何 展示以及如何处理就是需要处理问题，通常使用Matlab进 行处理）
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十类算法详细阐明
▪ 1、蒙特卡罗办法（MC）（Monte Carlo）：
▪ 蒙特卡罗（Monte Carlo）办法，或称计算机随机模拟办 法，是一个基于“随机数”计算办法。这一办法源于美国 在第二次世界大战进行研制原子弹“曼哈顿计划”。该计 划主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界赌城—摩纳 哥Monte Carlo—来命名这种办法，为它蒙上了一层神秘 色彩。
▪ 举个例子就是97 年A 题，每个零件都有自己标定值，也 都有自己容差等级，而求解最优组合方案将要面对着是一 个极其复杂公式和108 种容差选取方案，主线不也许去求 解析解，那如何去找到最优方案呢？随机性模拟搜索最优 方案就是其中一个办法，在每个零件可行区间中按照正态 分布随机选取一个标定值和选取一个容差值作为一个方案， 然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量方案，从中选取一个最 佳。
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▪ 8、一些连续离散化办法（诸多问题都是实际来，数据能 够是连续，而计算机只认是离散数据，因此将其离散化后 进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常主要）
▪ 9、数值分析算法（假如在比赛中采用高级语言进行编程 话，那一些数值分析中惯用算法比如方程组求解、矩阵运 算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）