2022-2023学年山东省某校初二(上)10月月考数学试卷(含答案)042754

2022-2023学年山东省某校初二（上）10月月考数学试卷试卷
考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1. 如图，中，，于点，于点，则下列说法中正确的是
( )
A.是的高
B.是的高
C.是的高
D.是的高
2.
如图，，，是的中点，判断的依据是( )
A.B.C.D.
3. 已知三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，则第三边长为（ ）
A.B.C.
D.
4. 请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图（见图），请你根据所学的三角形全等的
有关知识，说明画出的依据是( )
Rt △ABC ∠ABC =90∘BD ⊥AC D DE ⊥BC E DE △ACE BD △ADE AB △BCD DE △BCD AB =ED AC =EC C BD △ABC ≅△EDC SAS
ASA
HL
SSS
143
4
5
6
∠=∠AOB A ′O ′B ′
A.B.C.D.
5. 在下列条件：①，②，③，④
中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A.个
B.个
C.个
D.个
6. 如图，在中， ，点是和角平分线的交点，则( )
A.B.C.D.
7. 下列条件能判定的一组是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.的周长等于的周长
8. 小青在家写作业，不小心弄洒了墨水瓶，墨迹覆盖了如下解题过程中( )的内容．
SAS
ASA
SSS
AAS
∠A+∠B =∠C ∠A :∠B :∠C =5:3:2∠A =−∠B 90∘∠A =2∠B =3∠C △ABC 1234△ABC ∠BDC =110∘D ∠ABC ∠ACB ∠A =40∘
50∘
60∘
70∘
△ABC ≅△DEF ∠A =∠D ∠B =∠E ∠C =∠F
AB =DE BC =EF ∠A =∠D
∠A =∠D ∠C =∠F AC =DF
△ABC △DEF
如图，在和中，，，
．试说明．
解：因为，
所以，
即，
在和中，
，，，所以(
)，
所以.则墨迹覆盖的是( )
A.B.C.D.
9. 有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等．其中能判断两直
角三角形全等的是（ ）
A.①
B.②
C.③
D.①②
10. 如图，，是 的角平分线，，，相交于点，则
的度数是 （ ）
A.△ABC △ADE AB =AD ∠D =∠B ∠1=∠2DE =BC ∠1=∠2∠1+∠BAE =∠2+∠BAE ∠DAE =∠BAC △DAE △BAC ∠D =∠B AD =AB ∠DAE =∠BAC △DAE ≅△BAC DE =BC SSS
SAS
AAS
ASA
BE CF △ABC ∠ABC =,∠ACB =80∘60∘BE CF D ∠CDE 110∘
B.C.D.
11. 如图，六边形内部有一点，连接、．若，则
的大小为A.B.C.D.
12. 如图，在中，点，，分别在三边上，点是的中点，，，交于一点，，
，，则的面积是 A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
如图，，，，则________．
14. 如图，的度数是________．
15. 如图，，分别是边，上的点，，，设的面积为，
的面积为，若，则的值为________．
70∘
80∘
75∘
ABCDEF G BG DG ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=438∘∠BGD ( )
68∘
78∘
88∘
98∘
△ABC D E F E AC AD BE CF G BD =2DC =S △BG D 8=S △AG E 3△ABC ()
25
30
35
40
△ABC ≅△ADE ∠BAE =130∘∠BAD =42∘∠BAC =∠A+∠B+∠C +∠D+∠E+∠F D E △ABC AB BC AD =2BD BE =CE △ADF S 1△CEF S 2=6S △ABC −S 1S 2
16. 如图，，直角三角形斜边的端点，分别在射线，上滑动，，
，连接．当平分时，的长为________．
三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
17. 若，，是三角形的三边长，化简：．
18. 一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于，求这个内角及多边形的边数.
19. 已知，如图，，，垂足分别是点
，，且，.
求证：，.
20. 如图， ， 为的中点，点为射线上（不与点
重合）的任意一点，连接
，并延长 交射线于点求证： ；
当 时，求 的度数．
21. 如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交
于点，
交于点．
求证：垂直平分．
22. 如图所示，，，，在一条直线上，，过，分别作，，垂足
分别为，，且．
∠MON=90∘ABC A B OM ON BC =1∠BAC=30∘OC AB OC OC a b c −|b +a −c|(a −b −c)2−−−−−−−−−√1000∘BE ⊥AC DF ⊥AC E F AF =CE BE =DF AB =CD AB//CD ∠A =∠B =50∘P AB E AC A EP EP BD F.
(1)△APE ≅△BPF (2)EF =2BF ∠BFP Rt △ABC ∠ACB =90∘D AB BD =BC D AB AC E CD BE F BE CD A E F C AE =CF E F DE ⊥AC BF ⊥AC E F AB =CD
与全等吗？为什么？
求证：．
23. 如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小红
折叠时，顶点落在边上的点处（折痕为）．想一想，此时有多长？
24. 如图：在中，，，过点在外作直线
，于
，于．
求证：．
若过点在内作直线，于，于，则、与之间有
什么关系？请说明理由．
(1)△ABF △CDE (2)EG =FG ABCD AB 8cm BC 10cm D BC F AE EC △ABC ∠ACB =90∘AC =BC C △ABC MN AM ⊥MN M BN ⊥MN N (1)MN =AM +BN (2)C △ABC MN AM ⊥MN M BN ⊥MN N AM BN MN
参考答案与试题解析
2022-2023学年山东省某校初二（上）10月月考数学试卷试卷
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
三角形的高
【解析】
根据三角形的高的定义判断结论．
【解答】
解：∵，于点，于点，
∴是的高，是的高，是的高．
故选．
2.
【答案】
D
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
根据三边对应相等的两个三角形全等即可判断.
【解答】
解：是的中点，
.
，，
.
故选.
3.
【答案】
B
【考点】
三角形三边关系
【解析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和第三边，任意两边之差第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
【解答】
∠ABC =90∘BD ⊥AC D DE ⊥BC E DE △BCD BD △ABC AB △ABC D ∵C BD ∴BC =CD ∵AB =ED AC =EC ∴△ABC ≅△EDC(SSS)D ><
根据三角形的三边关系，得
第三边长，即第三边长，
又第三条边长为整数，
则第三边长为．
4.
【答案】
C
【考点】
作图—基本作图
全等三角形的判定
【解析】
由作法易得，，，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性质，全等三角形的对应角相等．
【解答】
解：连接和
，如图：
∵在和中，
∴，
∴．
故选．
5.
【答案】
C
【考点】
直角三角形的性质
三角形内角和定理
【解析】
根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
【解答】
解：①∵,
∴,
∴,
∴是直角三角形.
②∵,
设，则,
∴，
解得： ，
∴,
4−1<<4+13<<54OD =O'D'OC =O'C'CD =C'D'CD C ′D ′△COD △C ′O ′D ′ CO =，
C ′O ′DO =，
D ′O ′CD =，
C ′
D ′△COD ≅△C O D (SSS)′′′∠=∠AOB A ′O ′B ′C ∠A+∠B =∠C 2∠C =180∘∠C =90∘△ABC ∠A :∠B :∠C =5:3:2∠A =5x ∠B =3x,∠C =2x 5x+2x+3x =180∘x =18∘∠5=×5=18∘90∘
∴是直角三角形.
③∵,
∴,
∴,
∴是直角三角形.
④∵,
∴,
∴,∴为钝角三角形．
∴能确定是直角三角形的有①②③共个．
故选.
6.
【答案】A
【考点】
三角形的角平分线
三角形内角和定理
【解析】
由点是和角平分线的交点可推出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【解答】
解：∵点是和角平分线的交点，
∴，
.
∵ ，
∴，
∴，
∴.
故选．7.
【答案】
C
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，结合选项逐一检验．
【解答】
解：，，，，是，不能判定两三角形全等，故不符合题意；
，，，，是，不能判定两三角形全等，故不符合题意；
，，，，符合，能判定两三角形全等，故符合题意；
，的周长等于的周长，三边可能不相等，故不符合题意．
故选．
8.
【答案】
△ABC ∠A =−∠B 90∘∠A+∠B =90∘∠C =−=180∘90∘90∘△ABC 3∠C =2∠B =∠A ∠A+∠B+∠C =∠A+∠∠A+∠A =1213
180∘∠A =()108011
∘
△ABC △ABC 3C D ∠ABC ∠ACB ∠ABC +∠ACB =140∘∠A D ∠ABC ∠ACB ∠CBD =∠ABD =∠ABC 12∠BCD =∠ACD =∠ACB 12∠BDC =110∘∠CBD+∠BCD =−∠BDC =180∘70∘∠ABC +∠ACB =2(∠CBD+∠BCD)=140∘
∠A =−(∠ABC +∠ACB)=180∘40∘A SSS SAS ASA AAS HL A ∠A =∠D ∠B =∠E ∠C =∠F AAA A B AB =DE BC =EF ∠A =∠D SSA B C ∠A =∠D ∠C =∠F AC =DF ASA C D △ABC △DEF D C
D
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
已知，根据得到，根据全等三角形的性质得到，理由是全等三角形的对应边相等．
【解答】
解：，，
即，
在和中
，，，
，
．
故墨迹覆盖的是．
故选．
9.
【答案】
D
【考点】
直角三角形全等的判定
【解析】
根据全等三角形的判定定理：、、、；直角三角形的判定定理对①②③逐个分析，然后即可得出答案．
【解答】
解：∵①一锐角与一边对应相等，
可利用或判定两直角三角形全等，
②两边对应相等，可利用或判定两直角三角形全等；
③两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，
所以不能判定两直角三角形全等．
故选．
10.
【答案】
B
【考点】
三角形内角和定理
【解析】
由、是的角平分线，，，根据角平分线的定义，可求得与的度数，然后又三角形外角的性质，求得的度数．
【解答】
解：∵、是的角平分线，，，
∴，.
∴．故选．∠1=∠2ASA △DAE ≅△BAC DE =BC ∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAE =∠2+∠BAE ∠DAE =∠BAC △DAE △BAC ∠D =∠B AD =AB ∠DAE =∠BAC ∴△DAE ≅△BAC(ASA)∴DE =BC ASA D AAS SAS ASA SSS HL AAS ASA ASA D BE CF △ABC ∠ABC =80∘∠ACB =60∘∠EBC ∠FCB ∠CDE BE CF △ABC ∠ABC =80∘∠ACB =60∘∠CBE =∠ABC =1240∘∠FCB =∠ACB =1230∘∠CDE =∠CBE+∠FCB =70∘
B
11.
【答案】
B
【考点】
多边形的内角和
【解析】
利用多边形的内角和定理计算出六边形内角和，进而计算出的度数，然后可得的大小．
【解答】
解：∵多边形
是六边形，
∴.
∵ ，
∴.
∵多边形是四边形，
∴，
∴.
故选．
12.
【答案】
B
【考点】
三角形的面积
三角形的中线
【解析】
根据部分三角形的高相等，由这些三角形的底边的比例关系可求三角形的面积．
【解答】
解：在和中，
，这两个三角形在边上的高线相等，
那么，
所以同理，
，
.
故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
∠6+∠7+∠C ∠BGD ABCDEF ∠1+∠5+∠4+∠3+∠2+∠6+∠7+∠C
=×(6−2)=180∘720∘∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=438∘∠6+∠7+∠C =−=720∘428∘282∘BCDG ∠C +∠6+∠7+∠G =360∘∠G =−(∠6+∠7+∠C)
360∘=−=360∘282∘78∘B ABC △BDG △GDC BD =2DC BC =2S △BDG S △G DC =4.
S △G DC ==3S △G EC S △AG E =++=8+4+3=15S △BEC S △BDG S △G DC S △G EC =2=30S △ABC S △BEC B
【答案】
【考点】
全等三角形的性质
【解析】
本题考查了全等三角形的性质的应用．
【解答】
解：，
，
，
，
故答案为：.14.
【答案】
【考点】
三角形的外角性质
三角形内角和定理
【解析】
先根据三角形外角的性质得出，，，再根据三角形的外角和是进行解答．
【解答】解：如图：
∵是的外角，
∴.
∵是的外角，
∴.
∵是的外角，
∴.
∵，，是的外角，
∴，
∴.
故答案为：.
15.
【答案】
【考点】
三角形的面积
【解析】
88∘
∵△ABC ≌△ADE ∴∠BAC =∠DAE ∵∠BAE =，∠BAD =130∘42∘∴∠BAC =∠DAE =∠BAE−∠BAD =−=130∘42∘88∘
88∘360∘
∠A+∠B =∠1∠E+∠F =∠2∠C +∠D =∠3360∘∠1△ABG ∠1=∠A+∠B ∠2△EFH ∠2=∠E+∠F ∠3△CDI ∠3=∠C +∠D ∠1∠2∠3△GIH ∠1+∠2+∠3=360∘∠A+∠B+∠C +∠D+∠E+∠F =360∘360∘1
【解答】
解：∵，
∴.
∵，
∴．∵，，∴.∵，
∴．
故答案为：．
16.
【答案】
或【考点】
四点共圆
全等三角形的性质与判定
锐角三角函数的定义
线段垂直平分线的性质
【解析】
分两种情形①当＝时，可以证明平分．②当四边形是矩形时，此时平分．
【解答】
解：设，的交点为
，
∵，
∴，，，四点共圆，且是圆的直径.
①当为圆内一条非直径的弦，则垂直平分线段，
.
易证，
∴，
∴，
∴是等边三角形，∴；
②当为圆内一条直径时，四边形是矩形，
，为矩形对角线，
∴.
故答案为：或．
三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
17.
BE =CE BE =BC 12=6S △ABC =×6=3S △ABE=12S △ABC 12AD =2BD =6S △ABC =2S △BCD=13S △ABC −S △ABE S △BCD =(+)−(+)
S △ADF S 四边形BEFD S △CEF S 四边形BEFD =−S △ADF S △CEF −=−S 1S 2S △ADF S △CEF =−S △ABE S △BCD =3−2=113–√2
OA OC AB OC AOBC AB OC OC AB D ∠ACB=∠AOB =90∘A O B C AB OC AB OC ∴AC =AO △ACD ≅△AOD ∠CAD=∠OAD =30∘∠AOC =60∘△AOC OC=AC =BC =3–√3–√OC AOBC OC AB OC=AB=23–√2
【答案】
解：∵，，是三角形的三边长，
∴，
，
∴原式 .
【考点】
绝对值
三角形三边关系
整式的加减
非负数的性质：绝对值
【解析】
【解答】
解：∵，，是三角形的三边长，
∴，
，
∴原式 . 18.
【答案】
解：由题意有，，
解得，因而这个多边形的边数是，则其内角和是，
因而这个内角是．
【考点】
多边形的内角和
【解析】
边形的内角和是，因而内角和一定是度的倍数，而多边形的内角一定大于，并且小于度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以度，所得数值比边数要大，大的值小于，则用内角和除去一个内角的值除以所得值，加上，比这个数大的最小的整数就是多边形的边数．
【解答】
解：由题意有，，
解得，因而这个多边形的边数是，则其内角和是，
因而这个内角是．
19.
【答案】
证明：∵， ，
∴，
∵，
∴，
a b c a −b −c <0b +a −c >0=−(a −b −c)−(b +a −c)=−a +b +c −b −a +c =−2a +2c a b c a −b −c <0b +a −c >0=−(a −b −c)−(b +a −c)=−a +b +c −b −a +c =−2a +2c (x−2)⋅180=1000x =7598(8−2)×=180∘1080∘1080−1000=80∘n (n−2)⋅180∘1800180180n−211802(x−2)⋅180=1000x =7598(8−2)×=180∘1080∘1080−1000=80∘BE ⊥AC DF ⊥AC ∠AEB =∠CFD =90∘AF =CE AF −EF =CE−EF
即.
在和中，
∴，
∴，,
∴.
【考点】
全等三角形的性质与判定
平行线的判定
【解析】
证明：∵ ， ∴，∴在和中，
∴ （）
∴ ∴.
【解答】
证明：∵， ，
∴，
∵，
∴，
即.
在和中，
∴，
∴，,
∴.
20.
【答案】
解：∵是的中点，
∴.
在和中，
∴.
由得，
∴，
∴.
∵，
∴，
AE =CF △BEA △DFC BE =DF ，
∠AEB =∠CFD ，AE =CF ，
△BEA ≅△DFC(SAS)AB =CD ∠BAE =∠DCF AB//CD BE ⊥AC DF ⊥AC ∠BEA =∠DFC =90∘
∵AF =CE EA =FC
△BEA △DFC BE =DF
∠AEB =∠CFD AE =CF
△BEA ≅△DFC SAS ∠BEA =∠DFC ,AB =CD
AB//CD BE ⊥AC DF ⊥AC ∠AEB =∠CFD =90∘AF =CE AF −EF =CE−EF AE =CF △BEA △DFC BE =DF ，
∠AEB =∠CFD ，AE =CF ，
△BEA ≅△DFC(SAS)AB =CD ∠BAE =∠DCF AB//CD (1)P AB PA =PB △APE △BPF ∠A =∠B,
PB =PA,
∠APE =∠BPF,
△APE ≅△BPF(ASA)(2)(1)△APE ≅△BPF PE =PF EF =2PF EF =2BF BF =PF
∴，
∴.
【考点】
三角形内角和定理
全等三角形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵是的中点，
∴.
在和中，
∴.
由得，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
21.
【答案】
证明：∵，
∴.
在和中，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分．
【考点】
全等三角形的性质与判定
线段垂直平分线的性质
【解析】
首先根据证明，得出
，然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明．∠BPF =∠B =50∘∠BFP =−−=180∘50∘50∘80∘(1)P AB PA =PB △APE △BPF ∠A =∠B,
PB =PA,
∠APE =∠BPF,
△APE ≅△BPF(ASA)(2)(1)△APE ≅△BPF PE =PF EF =2PF EF =2BF BF =PF ∠BPF =∠B =50∘∠BFP =−−=180∘50∘50∘80∘ED ⊥AB ∠EDB =90∘Rt △ECB Rt △EDB {EB =EB ，
BC =BD ，
Rt △ECB ≅Rt △EDB(HL)∠EBC =∠EBD BD =BC BF ⊥CD CF =DF BE CD HL Rt △ECB ≅Rt △EDB
∠EBC =∠EBD
【解答】
证明：∵，
∴.
在和中，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分．
22.
【答案】
解：与全等，理由如下：
∵，，
∴.
∵，
∴，即.
∵在和中，∴.证明：∵，
∴.
∵在和中，∴，
∴．
【考点】
全等三角形的性质与判定
直角三角形全等的判定
【解析】
（1）由垂直的定义得出＝＝，证出＝，由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出＝，证明，即可得出＝．
【解答】
解：与全等，理由如下：
∵，，
∴.
∵，
∴，即.
∵在和中，∴.证明：∵，
∴.
∵在和中，∴，
∴．
23.
【答案】ED ⊥AB ∠EDB =90∘Rt △ECB Rt △EDB {EB =EB ，
BC =BD ，
Rt △ECB ≅Rt △EDB(HL)∠EBC =∠EBD BD =BC BF ⊥CD CF =DF BE CD (1)△ABF △CDE DE ⊥AC BF ⊥AC ∠AFB=∠CED =90∘AE =CF AE+EF =CF +EF AF =
CE Rt △ABF Rt △CDE {
AB =CD ，
AF =CE ，Rt △ABF ≅Rt △
CDE(HL)(2)Rt △ABF ≅Rt △CDE BF =DE △DEG △BFG
∠GED =∠GFB ，
∠DGE =∠BGF ，DE =BF ，
△DEG ≅△BFG(AAS)EG =FG ∠AFB ∠CED 90∘AF CE HL Rt △ABF ≅Rt △CDE
BF DE △DEG ≅△BFG(AAS)EG FG (1)△ABF △CDE DE ⊥AC BF ⊥AC ∠AFB=∠CED =90∘AE =CF AE+EF =CF +EF AF =
CE Rt △ABF Rt △CDE {
AB =CD ，AF =CE ，
Rt △ABF ≅Rt △
CDE(HL)(2)Rt △ABF ≅Rt △CDE BF =DE △DEG △BFG
∠GED =∠GFB ，
∠DGE =∠BGF ，DE =BF ，
△DEG ≅△BFG(AAS)EG =FG
解：∵四边形是矩形，
∴，．
由折叠性质，得，，
设，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
∴．
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
∴．
【考点】
翻折变换（折叠问题）
勾股定理
【解析】由折叠的性质得，，先在中运用勾股定理求，再求，设，用含的式子表示，在中运用勾股定理列方程求即可．
【解答】
解：∵四边形是矩形，
∴，．
由折叠性质，得，，
设，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
∴．
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
∴．24.
【答案】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，，
∵，
∴；
解：结论：．
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
在和中，
ABCD AB =CD =8cm AD =CB =10cm AD =AF =10cm DE =EF EC =xcm EF =DE =(8−x)cm AF =AD =10cm Rt △ABF BF ===6cm A −A F 2B 2−−−−−−−−−−√100−64
−−−−−−−√CF =BC −BF =10−6=4cm Rt △CEF C +E =E F 2C 2F 2+=(8−x 42x 2)2x =3EC =3cm AF =AD =10cm DE =EF Rt △ABF BF CF EC =xcm x EF Rt △CEF x ABCD AB =CD =8cm AD =CB =10cm AD =AF =10cm DE =EF EC =xcm EF =DE =(8−x)cm AF =AD =10cm Rt △ABF BF ===6cm
A −A F 2
B 2−−−−−−−−−−√100−64−−−−−−−√CF =B
C −BF =10−6=4cm Rt △CEF C +E =E F 2C 2F 2+=(8−x 42x 2)2x =3EC =3cm (1)AM ⊥MN BN ⊥MN ∠AMC =∠CNB =90∘∠ACB =90∘∠MAC +∠ACM =90∘∠NCB+∠ACM =90∘∠MAC =∠NCB △AMC △CNB ∠AMC =∠CNB ∠MAC =∠NCB AC =CB △AMC ≅△CNB(AAS)AM =CN MC =NB MN =NC +CM MN =AM +BN (2)MN =BN −AM AM ⊥MN BN ⊥MN ∠AMC =∠CNB =90∘∠ACB =90∘∠MAC +∠ACM =90∘∠NCB+∠ACM =90∘∠MAC =∠NCB △AMC △CNB
，
，
，
，
，，
∵，
∴．
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
（1）利用互余关系证明，又，，故可证，从而有，，利用线段的和差关系证明结论；
（2）类似于（1）的方法，证明，从而有，，可推出、与之间的数量关系．
【解答】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，，
∵，
∴；
解：结论：．
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，，
∵，
∴．∠AMC =∠CNB ∠MAC =∠NCB AC =CB △AMC ≅△CNB(AAS)AM =CN MC =NB MN =CM −CN MN =BN −AM ∠MAC =∠NCB ∠AMC =∠CNB =90∘AC =BC △AMC ≅△CNB AM =CN MC =BN △AMC ≅△CNB AM =CN MC =BN AM BN MN (1)AM ⊥MN BN ⊥MN ∠AMC =∠CNB =90∘∠ACB =90∘∠MAC +∠ACM =90∘∠NCB+∠ACM =90∘∠MAC =∠NCB △AMC △CNB ∠AMC =∠CNB ∠MAC =∠NCB AC =CB △AMC ≅△CNB(AAS)AM =CN MC =NB MN =NC +CM MN =AM +BN (2)MN =BN −AM AM ⊥MN BN ⊥MN ∠AMC =∠CNB =90∘∠ACB =90∘∠MAC +∠ACM =90∘∠NCB+∠ACM =90∘∠MAC =∠NCB △AMC △CNB ∠AMC =∠CNB ∠MAC =∠NCB AC =CB △AMC ≅△CNB(AAS)AM =CN MC =NB MN =CM −CN MN =BN −AM。