苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第3章 不等式 3.3.2 第2课时 一元二次不等式的应用

1.转化为一元二次不等式解集为 R 的情况,即 ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
> 0,
⇔
< 0;
< 0,
ax +bx+c<0(a≠0)恒成立⇔
< 0.
2
2.分离参数,将恒成立问题转化为求最大(小)值问题.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集一
6 < 1 < 8,
其中
14 < 2 < 17.
(1)求n的值;
(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少?
解(1)由题意得
40
1 600
6<
+
< 8,
100
400
70
4 900
14 <
+
< 17,
100
400
5 < < 10,
解得 5
95 因为 n∈N,所以 n=6.
≤0,
3+5
(-1)(3 + 5) ≤ 0,
即
3 + 5 ≠ 0,
解得
5
-3
≤ ≤ 1,
≠
5
-3,
5
即-3<x≤1.
故原不等式的解集为
5
3
<≤1 .
-1
(3)原不等式可化为+2-1>0,
-1-(+2)
-3
即 +2 >0,+2>0,
则x<-2.
故原不等式的解集为{x|x<-2}.
< < 14 .
2
(2)由于刹车距离不超过 12.6 m,即 s≤12.6,
3
2
所以50 + 400≤12.6,因此 v2+24v-5
040≤0,
解得-84≤v≤60.因为v≥0,所以0≤v≤60,
即行驶的最大速度为60 km/h.
变式探究
本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交

(2)当-2∈[-2,2],即-4≤a≤4
2
时,ymin=3-a- 4 ≥0,
解得-6≤a≤2,此时-4≤a≤2;

(3)当- >2,即
2
a<-4 时,ymin=7+a≥0,解得 a≥-7,此时-7≤a<-4.
综上,a 的取值范围为[-7,2].
规律方法
1.不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
x∈(1,3)恒成立.设y=-x2+2x+8,易知y在[1,3]上的最小值为5.故a∈(-∞,5].
4.(2022重庆期末)某小电子产品2020年的价格为9元/件,年销量为a件,经销
商计划在2021年将该电子产品的价格降为x元/件(其中6.5≤x≤8.5),经调查,
顾客的期望价格为5元/件,经测算,该电子产品的价格下降后年销量新增加
x2+2x+a2-3>0的解集为R”,求实数a的取值范围.
解(方法一)∵不等式x2+2x+a2-3>0的解集为R,∴函数y=x2+2x+a2-3的图象
应在x轴上方,
∴Δ=4-4(a2-3)<0,解得a>2或a<-2.
故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
(方法二)令y=x2+2x+a2-3,要使x2+2x+a2-3>0的解集为R,则a满足
规律方法
解不等式应用题的步骤
变式训练3
行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,
这段距离叫作刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)

2
+
与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系:s=
(n为常数,且n∈N),
100 400
做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,
(1)简单的分式不等式的解法;
(2)不等式的恒成立问题;
(3)一元二次不等式在现实生活中的应用.
2.方法归纳:等价变形转化、恒等变形.
3.常见误区:
(1)解分式不等式的等价变形;
(2)利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义.
学以致用•随堂检测全达标

1.已知集合A={x|(x-1)(x+2)<0},集合B=
知识点1 简单的分式不等式的解法
分式不等式的解法:
名师点睛
解分式不等式需要注意将分式不等式等价转化为整式不等式.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
x-1
(1)不等式 x >0
可化为 x-1>0,所以不等式的解集为{x|x>1}.( × )
x-1
(2)不等式x+2>0
x-3
2. >0
x+2
与(x-3)(x+2)>0
-3
提示+2>0
-3
≥0
+2
的解集为-2<x<1.( × )
x-3
等价吗? ≥0
x+2
与(x-3)(x+2)≥0 等价吗?
与(x-3)(x+2)>0 等价;
与(x-3)(x+2)≥0 不等价,前者的解集中没有-2,后者的解集中有-2.
知识点2 一元二次不等式恒成立问题
ymin=a2-4>0,解得a>2或a<-2.
故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
(方法三)由x2+2x+a2-3>0,得a2>-x2-2x+3,
即a2>-(x+1)2+4,要使该不等式在R上恒成立,必须使a2大于-(x+1)2+4的最
大值,即a2>4,故a>2或a<-2.
故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
解若 x∈[-2,2],y≥2 恒成立可转化为:
当 x∈[-2,2]时,ymin≥2⇔
-2 ≤
或

2
min =
≤ 2,
2
3-4

2
< -2,
min = 7-3 ≥ 2

-2
> 2,
或
min = 7 + ≥ 2,
≥2
解得 a 的取值范围为[-5,-2+2√2].
变式探究2
将本例中的条件“y=x2+ax+3-a,x∈[-2,2],y≥0恒成立”变为“不等式
解得-1<x<1.
所以,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.
探究点二 不等式恒成立问题
【例2】 已知y=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],y≥0恒成立,求实数a的取值范围.

7
解(1)当对称轴 x=-2<-2,即 a>4 时,ymin=7-3a≥0,解得 a≤3,与 a>4 矛盾,不符合
题意;
定是R.( × )
(2)一元二次不等式在R上恒成立,既要看相应二次函数图象的开口方向,又
要看二次函数图象与x轴的交点个数.( √ )
2.对∀x∈R,x2+2x+m>0恒成立,则实数m的取值范围是
答案 (1,+∞)
解析 由题意可知,Δ=4-4m<0,解得m>1.
.
知识点3 利用不等式解决实际问题的一般步骤

了 -5 件(其中常数k>0).已知该电子产品的成本价格为4元/件.
(1)写出该电子产品价格下降后,经销商的年收益y与实际价格x的函数关系
式.(年收益=年销售收入-成本)
(2)设k=2a,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2021年的收
益比2020年至少增长20%?

解(1)因为该电子产品价格下降后的价格为 x 元/件,销售量为(a+ )件,每件电

答案 0 < ≤
解析
+1
≥5

.
1
4
+1
-4+1
可化为 -5≥0,即
≥0,即


(4-1) ≤ 0,解得 0<x≤1.
4
≠ 0,
3.设x2-2x+a-8≤0对任意x∈(1,3)恒成立,则a的取值范围
是
.
答案 (-∞,5]
解析 x2-2x+a-8≤0对任意x∈(1,3)恒成立,转化为a≤-x2+2x+8对任意
1.选取合适的字母表示题目中的未知数;
2.由题目中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);
3.求解所列出的不等式(组);
4.结合题目的实际意义确定答案.
过关自诊
解一元二次不等式应用题的关键是什么?
提示解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择
其中起关键作用的未知量为x,用x表示其他未知量,根据题意,列出不等关
> 0 ,则A∩B=(
−1
)
A.{x|-2<x<0}
B.{x|1<x<2}
C.{x|0<x<1}
D.R
答案 A
解析 因为集合A={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},集合B=
={x|x<0或x>1},所以A∩B={x|-2<x<0}.故选A.


>0
−1
+1
2.不等式
≥5的解集是
<3.
+1
-3
+1
解(1)不等式 ≥0
-3
可转化成不等式组 ( + 1)(-3) ≥ 0,
≠ 3.
解这个不等式组,可得 x≤-1 或 x>3.
即知原不等式的解集为{x|x≤-1 或 x>3}.
5+1
(2)不等式
<3
+1
2(-1)
即 +1 <0.
5+1
可化为
-3<0,
+1
可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,
通事故,交警进行现场勘察,测得该车的刹车距离超过了25.65 m,试问该车
是否超速行驶?
3 2 2
解由题意知s≥25.65,即≥25.65,即
v +24v-10 260≥0,解得v≥90
+
50 400
或v≤-114.由于v≥0,所以速度v≥90>80,因此该车超速行驶.
本节要点归纳
1.知识清单:
> 0,
当a=0时,b=0,c>0;当a≠0时,
< 0.
2.不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:当a=0
时,b=0,c<0;当a≠0时, < 0,
< 0.
3.y≤a恒成立⇔a≥ymax;y≥a恒成立⇔a≤ymin.
变式探究1
本例条件不变,若y≥2恒成立,求实数a的取值范围.
√2
当且仅当 x= 2 时,等号成立.
所以 a≥-2√2,实数 a 的取值范围是[-2√2,+∞).
探究点三 一元二次不等式的实际应用
【例3】 某公司为改善营运环境,年初以50万元的价格购进一辆豪华客车.
已知该客车每年的营运总收入为30万元,使用x年(x∈N*)所需的各种费用
总计为2x2+6x万元.
变式训练2
当x>0时,不等式2x2+ax+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是
答案 [-2√2,+∞)
解析 因为 x>0,所以 2x +ax+1≥0,即
2
因为不等式 2x2+ax+1≥0 恒成立,
所以
1
a≥-(2x+)恒成立.
因为
1
2x+≥2
1
2·=2√2,
1
a≥-(2x+).
.
1
所以-(2x+)≤-2√2,
则该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出,今年为第一年).
解因为客车每年的营运总收入为30万元,使用x年(x∈N*)所需的各种费用
总计为2x2+6x万元,
若该车第x年开始盈利,则30x>2x2+6x+50,
则2x2-24x+50<0,即x2-12x+25<0,
解得3≤x≤9(x∈N*).
所以该车营运第三年开始盈利.
因此当实际价格最低定为7元/件时,仍然可以保证经销商2021年的收益比
2020年至少增长20%.
本 课 结 束
系再求解.
重难探究•能力素养全提升
探究点一 简单的分式不等式的解法
【例1】 解下列不等式:
+1
1-
-1
(1)
<0;(2)
≥0;(3) >1.
3+5
+2
2-1
解(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0,
1
解得-1<x<2,
故原不等式的解集为 -1 < <
1
2
.
-1
(2)原不等式可化为
第3章
第2课时 一元二次不等式的应用
课标要求
1.会求简单的分式不等式;
2.掌握简单的一元二次不等式恒成立问题;
3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式
的现实意义.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
规律方法
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次
不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去
分母),使不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
变式训练1
解下列不等式:
+1
5+1
(1) ≥0;(2)
-5
子产品利润为(x-4)元,
所以年收益 y 关于 x 的函数为
(,6.5≤x≤8.5.
-5
2
时,依题意有(a+ )(x-4)≥(9-4)a×(1+0.2),
-5
整理得x2-13x+42≥0,解得x≤6或x≥7.
又6.5≤x≤8.5,所以7≤x≤8.5.