滚动检测04 第一章到第六章综合检测A卷-2018届高三理

班级 姓名 学号 分数
（测试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1. 【2018重庆八中联考】已知首项为正的等比数列{}n a 的公比为q ，则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】
试题分析：由于数列首项为正，根据11n n a a q -=，当01q <<时，数列是递减数列，反之也成立，故为充要条件.
考点：等比数列，充要条件.
2. 函数f(x)＝sin(2x ＋3
π
)图象的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝12π B ．x ＝512
π
C ．x ＝3π
D ．x ＝6π
【答案】A 【解析】
考点：正弦函数的对称轴
3. 已知集合{}|1M x x =<，{}
|21x N x =>，则M N =（ ）
A ．∅
B ．{}|01x x <<
C ．{}|0x x <
D ．{}|1x x < 【答案】B 【解析】
试题分析：
{}|1,M x x =<{}{}|21|0x N x x x =>=>,{}|01M
N x x ∴=<<,故选B.
考点：集合运算．
4. 已知(1,0),(1,1)m n ==，且m kn +恰好与m 垂直，则实数k 的值是（ ） A.1
B.－1
C.1或－1
D.以上都不对
【答案】B 【解析】
试题分析：两向量垂直，所以()0=+m n k m
，所以01=+k ，解得：1-=k . 考点：向量的数量积
5. 【2018河南长沙长郡中学高三摸底】若函数1()sin 2sin 3
f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A ．[1,1]-
B ．1[1,]3-
C ．11[,]33-
D ．1[1,]3
-- 【答案】C 【解析】
考点：导数与单调区间.
【思路点晴】函数1()sin 2sin 3
f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，也就是它的导函数恒大于等于零，
我们求导后得到()'
2245
1cos 2cos cos cos 0333
f x x a x x a x =-
+=-++≥恒成立，即24cos 3cos 50x a x --≤恒成立，这相当于一个开口向上的二次函数，而1cos 1x -≤≤，所以在区间的
端点要满足函数值小于零，所以有435011,,4350
33a a a +-≤⎧⎡⎤
∈-⎨
⎢⎥--≤⎣⎦⎩.解决恒成立问题有两种方法，一种是分
离参数法，另一种是直接用二次函数或者导数来讨论.
6. 【2018甘肃武威二中二模】已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上恒有()2f x '>，若()12f =，则不等式()2f x x >的解集为（ ）
A ．()2,+∞
B ．(),2-∞
C ．()1,+∞
D ．(),1-∞ 【答案】 【解析】
试题分析：设()()2g x f x x =-，则'()'()20g x f x =->
，所以()g x 是增函数，又(1)(1)20g f =-=，
所以()0g x >的解为1x >，即不等式()2f x x >的解集为(1,)+∞．故选C ． 考点：导数与单调性．
7. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><,对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（ ）
A ．
1006 B ．1007 C.1008 D ．1009 【答案】D 【解析】
考点：等差数列的求和公式.
8. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
，且函数
12f x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭是偶函数，下列判断正确的是（ ）
A.函数()f x 的最小正周期为2π
B.函数()f x 的图象关于点7,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C.函数()f x 的图象关于直线712
x π
=-对称 D.函数()f x 在3,4ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 【答案】D 【解析】
考点：1.正弦函数的图象；2.由)sin(ϕω+=x A y 的部分图象确定其解析式.
【方法点睛】本题主要考查的是由)sin(ϕω+=x A y 的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，计算能力和数形结合的方法，属于中档题，解决此类题目主要就是利用已知函数)sin(ϕω+=x A y 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
2
π
以及函数)12
(π
+
x f 是偶函数求出函数的解析式，然后分别对
A,B,C,D 四个选项进行判断，因此熟练掌握正弦函数的图象和性质，确定出函数的解析式是解决问题的关键.
9. 【2018福建厦门联考】若函数()cos (0)f x x ωω=>在区间(,)34
ππ
-上有且只有两个极值点，则ω的取值范围是（ ）
A ．[2,3)
B ．(2,3]
C ．(3,4]
D ．[3,4) 【答案】C 【解析】
试题分析：当2=ω时,函数x x f 2co s )(=,周期π=T ,结合函数x x f 2co s )(=的图象,在区间
)4,3(π
π-
内只有一个极值点0=x 不合题设,所以答案A 被排除；当3=ω时,函数x x f 3cos )(=,周期32π=T ,结合函数x x f 3cos )(=的图象,在区间)4,3(ππ-内只有一个极值点0=x 不合题设,所以答案
B, D 被排除,故只能选答案C. 考点：三角函数的图象和性质．
【易错点晴】本题是以极值点的个数为背景给出的一道求范围问题的问题.解答时常常会运用导数求解,这是解答本题的一个误区之一,这样做可能会一无所获.但如果从正面入手求解,本题的解题思路仍然难以探寻,其实只要注意到本题是选择题可以运用选择的求解方法之一排除法.解答本题时充分借助题设条
件中的四个选择支的答案提供的信息,逐一验证排除,最终获得了答案,这样求解不仅简捷明快而且独辟问题解答跂径.
10. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >，其中正确命题的个数是（ ） A 、 3 B 、4 C 、 5 D 、1 【答案】A 【解析】
考点：1．等差数列的前n 项和；2．等差数列的前n 项和的性质． 11. 函数2
()(
1)cos 1x
f x x e
=-+的图象的大致形状是（ ）
【答案】D 【解析】
试题分析：因)()(x f x f -=-,故函数)(x f y =是奇函数,且当π=x 时,0)(>x f ,故应选D. 考点：函数的奇偶性与图象的对称性的运用. 12. 已知偶函数()y f x =对于任意的[0,
)2
x π
∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数
()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）
A ()()34
f π
π
-
<
B ()()34f π
π
-<-
C ．(0)()4
f π
>
-
D ．()()63
f ππ
<
【答案】D 【解析】
考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.
【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数
x x f x F cos )()(=,再运用求导法则求得x
x x f x x f x F 2
//cos sin )(cos )()(+=,故由题设可得0)(/
>x F ,即函数x x f x F cos )()(=
在)2
,0[π
上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 【2018辽宁凌源两校联考】定义区间[]12,x x 的长度为21x x -，已知函数()3x
f x =的定义域为[]
,a b ，
值域为[]1,9，则区间[]
,a b 的长度的最小值为__________． 【答案】2
【解析】函数()3x
f x =的定义域为[],a b ，值域为[]1,9， []0,a b ∴∈,2和-2至少有一个属于区间[]
,a b ,
故区间[]
,a b 的长度最小时为[-2,0]或[0,2],即区间的长度最小值为2,故填2.
14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则△ABC 的形状是 ． 【答案】等腰或直角三角形
【解析】 试
题
分
析
：
根
据
正
弦
定
理
及
cos (2)cos c a B a b A
-=-，可得
sin sin cos 2sin cos sin cos C A B A A B A -=-即()sin sin cos sin cos 2sin cos C B A A B A A +-=，
所以()()s i n s i n c o s s i n c o s 2s i n c o s 2s
A B B A A
B B A A A +
+-==,即cos 0A =或sin sin A B =,又(),0,A B π∈,所以2
A π
=
或A B =,因此ABC ∆的形状是等腰或直角三角形.
考点：正弦定理．
15. 已知定义在R 上的单调函数()f x 满足对任意的12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+成立．若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则12
a b
+的最小值为___________． 【答案】9 【解析】
考点：函数的奇偶性及基本不等式的综合运用．
【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知
()()210f a f b +-=运用函数的奇偶性可得12=+b a ,再将
12
a b
+变形为94522542221=+≥++=+++=+b
a a
b b b a a b a b a ,从而使得问题获解. 16. 在下列命题中 ①函数)0()(>+
=x x
a
x x f 的最小值为a 2； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数； ③定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f （1）＋f （4）＋f （7）=0 ④已知函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的必要不充分条件； ⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>． 其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．
【答案】②③⑤ 【解析】
试题分析：当0>a 时，函数)0()(>+
=x x
a
x x f 的最小值为a 2，：当0≤a 时，函数)0()(>+
=x x
a
x x f 的无最小值
，
故
①
错
；
由
周
期
为
4
及
)()()4()2()2(x f x f x f x f x f =-=-⇒+=-，②正确；因函数f （x ）是奇函数且以2为周期的周
期函数，故)1()1()7(,0)0()4(f f f f f -=-===，f （1）＋f （4）＋f （7）=0，③正确；函数
32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠有极值，则0)('=x f 由不相等的实数根，则ac b 32>，故④不正确；
函数()sin f x x x =-是奇函数且在R 上单调递增，所以)()(0b f a f b a b a ->⇒->⇒>+
0)()()(>+⇒-=b f a f b f ，故⑤正确
考点：命题真假判断、函数性质
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 【2018辽宁凌源两校联考】已知在数列{}n a 中， 11a =， 12n n n a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S ．
【答案】(1) 12
22
,{ 2,n n n
n a n -=是奇，是偶．
(2) 当n 为奇数时， 214n n S -=；当n 为偶数时， 2
4
n n S =.
试题解析:
（1）因为12n n n a a +=，所以当2n ≥时， 112n n n a a --=，所以
1
1
2n n a a +-=，
所以数列{}n a 的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列． 又11a =， 21
2
2a a =
=， 所以当n 为奇数时， 11
2
212
2
n n n a --=⋅=；当
n 为偶数时， 12
2
22
2n n n a -=⋅=，
所以122
2
,{
2,n n n n a n -=是奇，
是偶．
（2）因为11a =， 12n n n a a +=， 2log n n b a =，所以1n n b b n ++=． 讨论：
当n 为奇数时， ()()()()21234511
02414n n n n S b b b b b b b n --=+++++⋯++=+++⋯+-=；
当n 为偶数时， ()()()()2
123411314
n n n n S b b b b b b n -=++++⋯++=++⋯+-=.
18. 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ) >0>0<<R 22ωϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，－
，A x ππ的部分图像如图所示．
(1)求函数y ＝f(x)的解析式； (2)当x ∈6ππ⎡
⎤
--⎢
⎥⎣
⎦
，时，求f(x)的取值范围．
【答案】(1) f(x)＝sin 3x π⎛
⎫+
⎪⎝
⎭
(2)112⎡⎤-⎢⎥
⎣
⎦
，
【解析】解：(1)由图像得A ＝1，
4T ＝23π－6π＝2π，所以T ＝2π，则ω＝1.将16π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，代入得1＝
sin 6πϕ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
，而－2π<φ<2π，所以φ＝3π.因此函数f(x)＝sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.
(2)由于x ∈6ππ⎡
⎤
--⎢
⎥⎣
⎦
，，－
23
π
≤x ＋3π≤6π，
所以－1≤sin 3x π⎛⎫+
⎪⎝
⎭
≤12， 所以f(x)的取值范围是112⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，.
考点：三角函数。

19. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2a B c b =-. （I ）求角A 的大小；
（II ）若2c b =，求角B 的大小.
【答案】（Ⅰ）3A π=
（Ⅱ）6π
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由余弦定理得222
2a c b c b c +-=-，即222
b c a b c +-=，再由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，即
3A π
=
（Ⅱ）由正弦定理得，sin 2sin C B =
，再由三角形内角关系得1sin sin()sin(+B)sin 32C A B B B ππ=--==+,
代入化简得
tan B =
，即6B π
= 试题解析：解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得，222
cos 2a c b B ac +-=
， ∵2cos 2a B c b =-，∴222
2a c b c b c +-=-，即222
b c a bc +-=， ∴
2221cos 22b c a A bc +-==
，又A 为ABC ∆的内角， ∴
3A π
=
.
（Ⅱ）2c b =，由正弦定理得，sin 2sin C B =，
即
2sin 2sin()2sin(
)sin 3C A C C C C π
π=--=-=+，
∴cos 0C =，故2C π=. ∴
326B A C πππππ=--=-
-=.
考点：正余弦定理 【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =
+成立． （1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；
（2）设1
1n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12+=n b n ；（2）)
32(3+=
n n T n ． 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用等比数列有关知识求解；（2）借助题设运用裂项相消法求和．
（2）()()1111212322123n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
， 所以()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
考点：等比数列裂项相消求和等有关知识的综合运用．
21. 【2018江西新余一中四模】已知函数()1ln x f x x +=
（1）若0a >且函数()f x 在区间1,2a a ⎛⎫+
⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围； （2）如果当1x ≥时，不等式()1k f x x ≥
+恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）112
a <<（2）k 2≤ 【解析】试题分析： ()1求导数，确定函数()f x 在x 1=处取得极大值，根据函数在区间
1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭上存在极值，可得出实数a 的取值范围； ()2不等式()1k f x x ≥+，即()()11k x lnx x ++≥，令()()()11g x lnx x x
++=，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出实数k 的取值范围。

解析：（1）因为
， x 0，则， 当时，；当时，. 所以()f x 在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值. 因为函数在区间（其中）上存在极值， 所以 解得.
（2）不等式即为 记
所以
令，则， ，在上单调递增，
，从而， 故在上也单调递增，
所以，所以 .
22. 已知函数(),0x
f x e ax a =->． （1）记()f x 的极小值为()
g a ，求()g a 的最大值；
（2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．
【答案】（1）1；（2）(
21,e e e ⎤-⎦． 【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用导数的有关知识求解；（2）借助题设运用分类整合思想将不等式进行等价转化,再运用导数知识求解．
试题解析：
（2）当0x ≤时，0,0x
a e ax >-≥恒成立， 当0x >时，()0f x ≥，即0x
e ax -≥，即x
e a x ≤ 令()()()()221,0,,x x x x e x e e x e h x x h x x x x
--'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =，
所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e
()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，
故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()2
01e f f a f e e e =<≤=-， 即()f a 的取值范围是(
21,e e e ⎤-⎦
考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用．。