苏教版数学高二-【优化课堂】数学苏教版选修1-1精练 2.3.2 双曲线的几何性质

1．设双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a >0)的渐近线方程3x ±2y ＝0，则a 的值为________．
解析：渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝(±3
2)2，解得a ＝±2，
由题意知a >0，∴a ＝2.
答案：2
2．若双曲线x 2a 2－y 2
3
＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于________．
解析：由x 2a 2－y 23＝1可知b ＝3，而e ＝c
a ＝a 2
＋3a
＝2，所以a 2＋3＝4a 2，故a ＝1.
答案：1
3．双曲线x 24－y 2
12
＝1的焦点到渐近线的距离为________．
解析：双曲线x 24－y 2
12＝1的焦点(4,0)到渐近线y ＝3x 的距离为d ＝|3×4－0|2
＝2 3.
答案：2 3
4．双曲线的渐近线方程为y ＝±3
4
x ，则双曲线的离心率为________．
解析：由e ＝c a 及c 2＝a 2＋b 2
得e ＝1＋b 2
a
2，
故当双曲线焦点在x 轴上时，b a ＝3
4
，
∴e ＝1＋916＝5
4
.
当双曲线焦点在y 轴上时，a b ＝3
4
，
b a ＝43，∴e ＝1＋169＝53
. 答案：54或53
一、填空题 1．已知双曲线
x 2－
y 2
b 2
＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________. 解析：∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴b
a ＝2， ∴
b 2
a
2＝4.∵a 2＝1，∴b 2＝4. 又∵b >0，∴b ＝2.
答案：2
2．若双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于________．
解析：双曲线的方程可化为y 2－x 2－1m
＝1，则a 2＝1，b 2＝－1m .由已知得b ＝2a ，解得m
＝－14
.
答案：－1
4
3．与双曲线x 2－
y 2
4
＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________．
解析：依题意设双曲线的方程为x 2
－y 24
＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得λ＝3，
所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 2
12
＝1.
答案：x 23－y
212
＝1
4．如图所示，F 1和F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆
心、|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．
解析：|AF 2|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，|AF 1|＝|F 1F 2|·sin30°＝c .由双曲线的定义得|AF 2|－|AF 1|
＝2a .即2a ＝(3－1)c ，∴e ＝c a ＝2
3－1
＝3＋1.
答案：3＋1
5．已知双曲线x 212－y 2
4
＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个
交点，则此直线斜率的取值范围是________．
解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3
3x ，当过点F 的直线与渐近
线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是
⎣⎡⎦
⎤－33，33. 答案：⎣⎡⎦
⎤－33，3
3
6．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．
解析：已知双曲线方程为x 29－y 2
4＝1，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲
线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
答案：3
7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，
且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________．
解析：由|PF 1|－|PF 2|＝2a 及|PF 1|＝4|PF 2|得：
|PF 2|＝2a
3，又|PF 2≥c －a ，
所以2a 3≥c －a ，c ≤5a 3
，
∴e ＝c a ≤53，即e 的最大值为53.
答案：53
8．设一个圆的圆心在双曲线y 29－x 2
16
＝1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，
则原点O 到该圆圆心的距离是________．
解析：由已知得双曲线的上顶点为A (0,3)，上焦点为F (0,5)，设圆心为P (x 0，y 0)，则y 0
＝3＋52＝4.代入双曲线方程得169－x 20
16＝1，所以x 20＝7×169，故|PO |＝x 20＋y 2
0＝
7×16
9
＋16＝163
. 答案：163
二、解答题
9．如图所示，已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过F 2作垂直于x
轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．
解：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2|PF 2|.
由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a .
∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝23a ，∴c 2＝3a 2.
又∵c 2＝a 2＋b 2，∴2a 2＝b 2.∴b
a ＝ 2.
故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .
10．如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正
三角形MF 1F 2，若边MF 1与双曲线的交点P 满足MP →＝3PF 1→
，试求双曲线的离心率．
解：连结PF 2，设|F 1F 2|＝2c ，
由MP →＝3PF 1→
知|PF 1|
＝1
4
|MF 1|. 又△MF 1F 2为正三角形，
∴|PF 1|＝14×2c ＝1
2c ，
∠PF 1F 2＝60°， 由余弦定理可得： |PF 2|＝(2c )2＋(12c )2－2·2c ·12c cos60°
＝
4c 2＋14c 2－c 2＝132
c .
根据双曲线定义有 2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝
13－1
2
c ， ∴离心率e ＝c a ＝4
13－1
＝13＋13.
11．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．
解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，
c ＝2.又∵a 2＋b 2
＝c 2，∴b 2
＝1.∴双曲线C 的方程为x 23
－y 2
＝1.
(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，
x 23－y 2
＝1，
整理得(1－3k 2)·x 2－6kmx －3m 2－3＝0.
∵直线与双曲线C 有两个不同的交点，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－3k 2≠0，
Δ＝(－6km )2－4(1－3k 2)(－3m 2
－3)>0，
解得m 2>3k 2－1.① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
线段MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，
∴x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意知AB ⊥MN ，
∴k AB ＝m
1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)，
整理得3k 2＝4m ＋1，②
将②代入①得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.
∵3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－1
4.
综上所述，－1
4<m<0或m>4.。