上海闸北区高三数学二模(理)答案

闸北区2010学年度第二学期高三数学(理科)期中练习卷2011.4
考生注意：
1. 本次测试有试卷纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试卷纸上的解答无效
2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚
3. 本试卷共有20道试卷，满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题(本题满分55分)本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填
写
结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1. 已知z和z 2都是纯虚数，那么Z =.
1 -i
2. 函数y二sin x—cos(二-x) (x • R)的单调递增区间为.
3. 某高中共有在读学生430人，其中高二160人，高一人数是高三人数的2倍.为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高二学生32人，则该样本中的高三学生人数为.
4. 在极坐标系中，圆一 -2sinr的圆心的极坐标为.(写出一个即可)
5. 下列三个命题：①若| a • b|=| a -b |，则a b = 0 ；②若a = 0 ,
a・b = a c，则b = c；③若|a b^|a||b|，则a//b.其中真命题有.(写出所有真命题的序号)
6. 有一公园的形状为-ABC，测得AC = • 3千M, AB = 1千M, / B = 60，则该公
园的占地面积为平方千M .
7. 设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为12二的球面上，则该正方体的体积为.
8 .设f (x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若函数f(x) g(x)的值域为
[1,3)，则f (x) -g(x)的值域为.
9. 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲
袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为©，则随机变量©的数学期望E：= _______ .
10. 若函数f (x) = 2心_iog a x+1无零点，则a的取值范围为.
11 .设log a x = log b y = -2, a • b = 2，则x y 的取值范围为.
二、选择题(本题满分20分)本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个
结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得
零分.
12. 设a,b • R，则“ a b ”是“ a3b3” 的【】
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .不充分也不必要条件
13. 以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是
全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中，真命题的个数为【】
A . 4
B . 3
C . 2 D. 1
14. 一林场现有树木两万棵，计划每年先砍伐树木总量的10%，然后再种植2500棵树.经过若干年如此的砍伐与种植后，该林场的树木总量大体稳定在【】
A . 22000 颗
B . 23500 颗
C . 25000 颗
D . 26500 颗
15 .已知A(2, -1) , B(-1,1) , O为坐标原点，动点P满足OP二mOA • nOB，其中
m、n • R，且2m2- n2=2，则动点P的轨迹是【】
A.焦距为3的椭圆
B.焦距为2、3的椭圆
C.焦距为3的双曲线D .焦距为2-3的双曲线
三、解答题(本题满分75分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域
(对
应的题号)内写出必要的步骤 .
16. (满分12分)本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分.
设函数f(x) log2(2x 1), x R.
(1 )求f(x)的反函数f J(x)；
(2)解不等式2f(x)空f J(x log25).
17. (满分14分)本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分.
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为2元，并且每件产品需向总公司交a 元(2 ma乞6)的管理费，预计当每件产品的销售价为x元(7岂x^9)时，一年的销
售量为(12 —x)万件.
(1)求该分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L最大，并求L的最大值Q(a).
18. (满分15分)本题有2小题，第1小题9分，第2小题6分.
如图，平面:上定点F到定直线丨的距离FA 2，曲线C是平面〉上到定点F和到
定直线丨的距离相等的动点P的轨迹.
设FB _ ：,且FB =2.
(1)若曲线C上存在点F0，使得RB _ AB ,
试求直线F0B与平面所成角v的大小；
(2)对(1)中R，求点F到平面ABP。

的距离h
19. (满分16分)本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分.
* 在数列｛aj 中，Q = 5 , a* 1 =3a n -4n - 2，其中n • N .
(1)设d =a n -2n，求数列｛b n｝的通项公式；
(2)记数列｛a n｝的前n项和为S n，试比较S n与n2，2011n的大小.
20. (满分18分)本题有2小题，第1小题9分，第2小题9分.
在ABC中，A、B为定点，C为动点，记A、• B、• C的对边分别为a、b、一2C
c，已知c = 2，且存在常数■(九、0)，使得ab cos2 -
2
(1)求动点C的轨迹，并求其标准方程；
(2)设点O为坐标原点，过点B作直线丨与(1)中的曲线交于M , N两点，若OM —ON，试确定■的范围.
高三数学(理科)期中练习卷评分标准与参考答案(2011.4)
3兀兀
1. 2i ；
2. [2k ,2k ], k Z ；
3. 18；
4 4
3 二
4. (1,)或(1,)或(-1,)等；
5.①③;
2 2 2
3 二
8
- (—3, —1]；
6 .三；
2
7. 8; 11. (2,：：). B ;
14. C ; 15. D . f'(X )=
lo
g 2(2X
-
1)
, x (0,二).
10. (.3,：：);
二、 12.C ; 13. 三、 16.解：(1)
(2)由 2f (x)乞 f J (x log 25)，得
x
x log 2 5 0，且 2log 2(2
1) < log 2(2
.(2X )2 -3 22 2 ^0, .....................................
.1^2 综上，得 17.解：(1)该分公司一年的利润
L (万元)与每件产品的售价
L (x —a -2)(12 —x) , x [7,9] ......... .........................................
(2)当2乞a ：4时，此时，8 <玄」4 ::: 9 ,
2
_2 , = 0 乞 X 空
1
0辽x 乞1 ............
,X -log ? 5
-1)，
..... 2分
X 的函数关系式为:
时，L 的最大值Q(a)=
(10 _ a)2
4
当4 ma 乞6时，此时, 所以，当x = 9时，L 分 9辽*叮0 ,
2
的最大值Q(a) =3(7 - a).
答：若2乞a -.4，则当每件产品售价为
a 亠14
亠^4元时，该分公司一年的利润
L 最大，最大
2
2
值Q(a) = (10 一 a);若4乞a 乞6，则当每件产品售价为
9元时，该分公司一年的利润
L
4
最大，最大值Q(a) =3(7 - a).…… 18•解：(1 )【解法一】如图，以线段 轴，建立空间直角坐标系
O-xyz .… FA 的中点为原点 .............. 1分 由题意，曲线C 是平面：•上以原点O 为顶点， 由于在xOy 平面内，C 是以O 为顶点，以x 轴 为对称轴的抛物线，其方程为
y 2 =4x ,
2
因此，可设P(\y,0)
4
A( -1,0,0) , B(1,0,2)，所以,AB= (2,0,2) , PB "32).
由 P 0B — AB ，得 2(1 -
2
)
4
所以，直线P )B 与平面爲所成角的大小为arctan 丄(或arcsin —).
2 3
【解法二】如图，以点 A 为原点O ,以线段FA 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系
O - xyz . ........................................................................................................ 1 分
所以，A(0,0,0) , B(2,0,2) , F (2,0,0)，并设 P(x, y,0),
y
2分
2分
......................... 2分
O ,以线段FA 所在的直线为X B
4分
2
【解法二】 AB 二(2,0,2) , AP 二(4,2. 3,0)，设向量 n = (x, y,z) '2x +2z =0,
4x +2\/3y =0
所以，平面ABF 0的一个法向量n 0 =(3,-2,3,-3), .............................
u | AF %|
730
h =
|n o |
分
19•解：(1 )由 a n 1 =3a n -4n 2得 a n d -2(n 1) =3(a n - 2n),
又 & _2 =1=0 , a n -2n=0，得 a n 1 _2(n 1) = 3, .....................................
a n - 2n
数列｛an -2n ｝是首项为3，公比为3的等比数列， ........... b n = 3n ... ................................................................................
a n -2n 二 3n = a n = 2n - 3n ,
3
分
设 c n =3n -1340n -1,
由于 C n 1 - C n =2 3n -1340 ........................................................................ 当 n ：：：6 时，C n 1 ”： C n 当 n
-6 时，C n 1 ■ Cn
即，当n ：：：6时，数列｛C n ｝是递减数列，当n -6时，数列｛&｝是递增数列 分
PB 2
AB 2 PF 二 PE.
(x —2)2 + y 2 +4 +8
/
c\2 丄 2
2
(x -2) y -x .
由题
=AP 2, =x 2 y 2,
二 P(3,2l3,0)
1
[3
j 所成角的大小为 arctan —(或arcsin ).
2 3
(2)【解法一】由(1)，得 ABP 的面积为S ABP =2.10 , ..........................
分
AFP 所以，直线RB 与平面 所以, 解得, 的面积为S AFP =23 , ........................................................ 1 — 1 - 2 J0h
2 ..
3 2 , .....................................................
3
3
u ,30
h
...........................................................................
5
所以, 所以, (2)
& =3(3n -1) n(n 1), .............................................................................
2
3 3
S n -(n 2 2011 n) (3n -1)-2010n (3n -1340n-1).…
2 2
2 •
分
4分又G = -401^：0 , Q = -4160 ：：0 , C9 二7622 0
所以，当n 乞8 时，S n :：n22011n ； ..............................
2
1分
所以，当 n .8时，S n n 2
2011n . ...................................................
2 2 2
20.解：(1 )在△ PAB 中，由余弦定理，有 2= a b -2abcosC , .......................................
所以，点P 的轨迹C 是以A , B 为焦点，长轴长2a =2.1 • •的椭圆•(除去长轴上
的顶点) ............................................................................. 1 分
如图，以A 、B 所在的直线为x 轴，以A 、B 的中点为坐标原点建立直角坐标系. 则，A(_1,0)和 B(1,0).
2 2
椭圆C 的标准方程为：
X . y =1(y=0) . .................................................................. 4分
(2)设 M (X 1, y 1), N(X 2, y 2),
①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x =1，由题意，有 M(1,1) , N(1,1)在椭圆上.
| a b |二 4 2ab(1 cosC)
=
21
abC0
丄丄=1 (1)
5
1 ” ■ 2
由• .0 ,得.=^-1. ..................................
2
1分
②当MN 不垂直于x 轴时，设 MN 的方程为y =k(x-1).
2 2
x
十y 一
由 *1+丸 &
,
得：[九+(1 + h)k 2]x 2-2(1 + 扎)k 2x+(1 + &)(k 2-入)=0 ,
』=k(x-1) 分
由题意知：「(1亠；.)k 2 0 ,
(1 + k)(k 2
—九)
x
x 2 _
■ (V )k 2
■ 2 2
2
2
~~ ^I _I K
于是：w y 2 = k (捲-1)(x 2-1) = k 伙必-(为
X 2)1]
2
丸+(1+X )k 因为 OM _ ON ，
所以 OM ON = 0 , 所以x
x
2
y 1 士二
(1
——-
)k
店
-(V ■ )k
2
所以，k _L^-0,
_ 2
1 + J5 由人>0得1十k — k a 0，解得0 < h < ......... . ..............................
2
1 + 75
综合①②得：o ：：： ■乞一 ..............................................
2
所以x, ■
2(1 +Qk
2 x
2 _，
(1
，)k
=0,。