黑龙江省哈尔滨市第四十一中学2024届中考一模数学试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第四十一中学2024届中考一模数学试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．第四届济南国际旅游节期间，全市共接待游客686000人次．将686000用科学记数法表示为（）
A．686×104B．68.6×105C．6.86×106D．6.86×105
2．如果向北走6km记作+6km，那么向南走8km记作（）
A．+8km B．﹣8km C．+14km D．﹣2km
3．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从(3,4)出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（）
A ．点M
B ．点N
C ．点P
D ．点Q
6．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ） A ．5.6×10﹣1 B ．5.6×10﹣2 C ．5.6×10﹣3 D ．0.56×10﹣1
7．某公园有A 、B 、C 、D 四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率是（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
8．如图，在直角坐标系中，直线122y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2k y x =
（0x >）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，且OA=AD ，则以下结论：
①ΔADB ΔADC S S =；
②当0＜x ＜3时，12y y <；
③如图，当x=3时，EF=83
； ④当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小．
其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 9．﹣
18的相反数是（ ） A ．8 B ．﹣8 C ．18 D ．﹣18
10．在如图的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为________．12．若a m=2，a n=3，则a m + 2n =______．
13．不等式组
20
30
x
x
->
⎧
⎨
+>
⎩
的解集为________.
14．如图，直线a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3=_____．15．因式分解：9a2﹣12a+4＝______．
16．若关于x的方程
2x m
2
x22x
+
+=
--
有增根，则m的值是▲
三、解答题（共8题，共72分）
17．（812＋(1
2
)－2 - 8sin60°
18．（8分）已知a2+2a=9，求
2
22
1232
1121
a a a
a a a a
+++
-÷
+--+
的值．
19．（8分）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）设OP=3
2
AC，求∠CPO的正弦值；
（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．
20．（8分）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE;
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径.
.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通21．（8分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷
方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
()1这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为______；
()2将条形统计图补充完整；
()3该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名.
22．（10分）某市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2018年春节期间旅游情况统计图（如图），根据图中信息解答下列问题：
（1）2018年春节期间，该市A，B，C，D，E这五个景点共接待游客万人，扇形统计图中E景点所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图．
（2）甲，乙两个旅行团在A，B，D三个景点中随机选择一个，这两个旅行团选中同一景点的概率是．23．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，过点C作CE⊥BP 交直线BP于E.
(1) 若，求证：；
(2) 若AB＝BC．
①如图2，当点P与E重合时，求的值；
②如图3，设∠DAP的平分线AF交直线BP于F，当CE＝1，时，直接写出线段AF的长.
24．某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解题分析】
根据科学记数法的表示形式(a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数)可得:
686000=6.86×105，
故选：D．
2、B
【解题分析】
正负数的应用，先判断向北、向南是不是具有相反意义的量，再用正负数表示出来
【题目详解】
解：向北和向南互为相反意义的量．
若向北走6km记作+6km，
那么向南走8km记作﹣8km．
故选：B．
【题目点拨】
本题考查正负数在生活中的应用．注意用正负数表示的量必须是具有相反意义的量．
3、D
【解题分析】
试题分析：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故选D．
考点：1、平行线的性质；2、圆周角定理；3等腰三角形的性质
4、C
【解题分析】
利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP 是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．
【题目详解】
∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
45APE CPF AP PC
EAP C ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），
∴AE=CF ，故①②正确；
∵△AEP ≌△CFP ，同理可证△APF ≌△BPE ，
∴△EFP 是等腰直角三角形，故③错误；
∵△APE ≌△CPF ，
∴S △APE =S △CPF ，
∴四边形AEPF =S △AEP +S △APF =S △CPF +S △BPE =12
S △ABC ．故④正确， 故选C ．
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF ，从而得到△APE 和△CPF 全等是解题的关键，也是本题的突破点．
5、C
【解题分析】
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，逐一判断即可. 【题目详解】
解：连接OA 、OM 、ON 、OP ，根据旋转的性质，点A 的对应点到旋转中心的距离与OA 的长度应相等 根据网格线和勾股定理可得：22345+=，22345+=，22345+=，222425+=OQ=5
∵OA=OM=ON=OQ≠OP
∴则点A 不经过点P
故选C.
【题目点拨】
此题考查的是旋转的性质和勾股定理，掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等和用勾股定理求线段的长是解决此题的关键.
6、B
【解题分析】
0.056用科学记数法表示为：0.056=-25.610⨯，故选B.
7、B
【解题分析】
画树状图列出所有等可能结果，从中确定出甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果数，再利用概率公式计算可得．
【题目详解】
画树状图如下：
由树状图知共有16种等可能结果，其中甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果有4种， 所以甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率为
416=14， 故选B ．
【题目点拨】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．
8、C
【解题分析】
试题分析：对于直线122y x =-，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A （1，0），B （0，﹣2），即OA=1，OB=2，
在△OBA 和△CDA 中，∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC ，OA=AD ，∴△OBA ≌△CDA （AAS ），
∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴ΔADB ΔADC S S =（同底等高三角形面积相等），选项①正确；
∴C （2，2），把C 坐标代入反比例解析式得：k=4，即24y x
=
，由函数图象得：当0＜x ＜2时，12y y <，选项②错误；
当x=3时，14y =，243y =，即EF=443-=83
，选项③正确； 当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小，选项④正确，故选C ．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
9、C
【解题分析】 互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以18-的相反数是
18
， 故选C ．
10、A
【解题分析】
函数→一次函数的图像及性质
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、【解题分析】 已知BC=8， AD 是中线，可得CD=4， 在△CBA 和△CAD 中， 由∠B=∠DAC ，∠C=∠C ， 可判定△CBA ∽△CAD ，根据相似三角形的性质可得
AC CD BC AC = ， 即可得AC 2=CD•BC=4×8=32，解得
.
12、18
【解题分析】
运用幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.
【题目详解】
解：∵a m =2，a n =3，
∴a 3m +2n =（a m ）3×（a n ）2=23×
32=1． 故答案为1．
【题目点拨】
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．
13、x>1
【解题分析】
分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．
【题目详解】
2030x x ->⎧⎨+>⎩
①②， 解不等式①，得：x>1，
解不等式②，得：x ＞-3，
所以不等式组的解集为：x>1，
故答案为：x>1．
【题目点拨】
本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题．求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
14、80°
【解题分析】
根据平行线的性质求出∠4，根据三角形内角和定理计算即可．
【题目详解】
解：
∵a ∥b ，
∴∠4=∠l=60°，
∴∠3=180°-∠4-∠2=80°，
故答案为：80°．
【题目点拨】
本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
15、（3a ﹣1）1
【解题分析】
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【题目详解】
9a 1-11a+4=（3a-1）1．
故答案是：（3a ﹣1）1.
【题目点拨】
考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
16、1．
【解题分析】
方程两边都乘以最简公分母（x －2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使
最简公分母等于1的未知数的值求出x 的值，然后代入进行计算即可求出m 的值：
方程两边都乘以（x －2）得，2－x －m=2（x －2）．
∵分式方程有增根，∴x －2=1，解得x=2．
∴2－2－m=2（2－2），解得m=1．
三、解答题（共8题，共72分）
17、【解题分析】
试题分析：原式第一项利用二次根式的化简公式进行化简，第二项利用负指数公式化简，第三项利用特殊角的三角函数值化简，合并即可得到结果
试题解析：原式＋18、22(1)a +，15
． 【解题分析】
试题分析：原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
试题解析：
22212321121a a a a a a a +++-÷+--+=()()()()()
211211112a a a a a a a -+-⨯++-++ =()21111a a a --++ =()221a +， ∵a 2+2a =9，
∴（a +1）2=1．
∴原式=21105
=．
19、（1）详见解析；（2）sin OPC ∠=
；（3）915m ≤≤ 【解题分析】
（1）连接OC ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA ，由平行线的性质得到∠A=∠BOP ，∠ACO=∠COP ，等量
代换得到∠COP=∠BOP ，由切线的性质得到∠OBP=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过O 作OD ⊥AC 于D ，根据相似三角形的性质得到CD•OP=OC 2，根据已知条件得到33OC OP =，由三角函数的定义即可得到结论；
（3）连接BC ，根据勾股定理得到BC=
2?2AB AC -=12，当M 与A 重合时，得到d+f=12，当M 与B 重合时，得
到d+f=9，于是得到结论．
【题目详解】
（1）连接OC ，
∵OA=OC ，
∴∠A=∠OCA ，
∵AC ∥OP ，
∴∠A=∠BOP ，∠ACO=∠COP ，
∴∠COP=∠BOP ，
∵PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，
∴∠OBP=90°，
在△POC 与△POB 中，
OC OB COP BOP OP OP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△COP ≌△BOP ，
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴PC 是⊙O 的切线；
（2）过O 作OD ⊥AC 于D ，
∴∠ODC=∠OCP=90°，CD=
12
AC ， ∵∠DCO=∠COP ，
∴△ODC ∽△PCO ， ∴CD OC OC PO
＝， ∴CD•OP=OC 2，
∵OP=
32
AC ， ∴AC=23
OP ， ∴CD=13
OP ， ∴13OP•OP=OC 2
∴OC OP =
∴sin ∠CPO=
3OC OP =； （3）连接BC ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴AC ⊥BC ，
∵AC=9，AB=1，
∴，
当CM ⊥AB 时，
d=AM ，f=BM ，
∴d+f=AM+BM=1，
当M 与B 重合时，
d=9，f=0，
∴d+f=9，
∴d+f 的取值范围是：9≤d+f≤1．
【题目点拨】
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
20、（1）证明见解析；（2）
152
【解题分析】
试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；
（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.
试题解析：（1）∵DC⊥OA，∴∠1+∠3=90°，∵BD为切线，∴OB⊥BD，∴∠2+∠5=90°，∵OA=OB，∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中，∠4=∠5，∴DE=DB.
(2)作DF⊥AB于F，连接OE，∵DB=DE，∴EF=1
2
BE=3，在RT△DEF中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 ，
∴22
534
-=∴sin∠DEF=DF
DE
=
4
5
，∵∠AOE=∠DEF，∴在RT△AOE中，sin∠AOE=
4
5
AE
AO
=，
∵AE=6，∴AO=15 2
.
【题目点拨】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.
21、（1）100，108°；（2）答案见解析；（3）600人.
【解题分析】
（1）先利用QQ计算出宗人数，再用百分比计算度数；（2）按照扇形图补充条形图；（3）利用微信沟通所占百分比计算总人数.
【题目详解】
解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%=100人.
喜欢用QQ沟通所占比例为：
303 10010
=，
∴QQ的扇形圆心角的度数为：360°×3
10
=108°. （2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人
喜欢用微信的人数为：100-20-5-30-5=40
补充图形，如图所示：
（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：
40
100
×100%=40%.
∴该校共有1500名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600人.
【题目点拨】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22、（1）50，43.2°，补图见解析；（2）1
3
．
【解题分析】
（1）由A景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；根据B景点接待游客数补全条形统计图；
（2）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率．
【题目详解】
解：（1）该市景点共接待游客数为：15÷30%=50（万人），
E景点所对应的圆心角的度数是：
6 36043.2
50
o o
⨯=
B景点人数为：50×24%=12（万人），补全条形统计图如下：
故答案是：50,43.2o.
（2）画树状图可得：
∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，
∴同时选择去同一个景点的概率=31 93 .
23、（1）证明见解析；（2）①；②3.
【解题分析】
(1) 过点A作AF⊥BP于F,根据等腰三角形的性质得到BF=BP，易证Rt△ABF∽Rt△BCE，根据相似三角形的性质得到，即可证明BP=CE.
(2) ①延长BP、AD交于点F，过点A作AG⊥BP于G,证明△ABG≌△BCP，根据全等三角形的性质得BG＝CP，设BG＝1，则PG＝PC＝1，BC＝AB＝，在Rt△ABF中，由射影定理知，AB2＝BG·BF＝5，即可求出BF＝5，PF＝5－1－1＝3，即可求出的值；
②延长BF、AD交于点G，过点A作AH⊥BE于H，证明△ABH≌△BCE，根据全等三角形的性质得BG＝CP，设BH＝BP＝CE＝1，又，得到PG＝，BG＝，根据射影定理得到AB2＝BH·BG ，即可求出AB＝，根据勾股定理得到
，根据等腰直角三角形的性质得到.
【题目详解】
解：(1) 过点A作AF⊥BP于F
∵AB=AP
∴BF=BP，
∵Rt△ABF∽Rt△BCE
∴
∴BP=CE.
(2) ①延长BP、AD交于点F，过点A作AG⊥BP于G
∵AB＝BC
∴△ABG≌△BCP（AAS）
∴BG＝CP
设BG＝1，则PG＝PC＝1
∴BC＝AB＝
在Rt△ABF中，由射影定理知，AB2＝BG·BF＝5
∴BF＝5，PF＝5－1－1＝3
∴
②延长BF、AD交于点G，过点A作AH⊥BE于H
∵AB＝BC
∴△ABH≌△BCE（AAS）
设BH＝BP＝CE＝1
∵
∴PG＝，BG＝
∵AB2＝BH·BG
∴AB＝
∴
∵AF平分∠PAD，AH平分∠BAP
∴∠FAH＝∠BAD＝45°
∴△AFH为等腰直角三角形
∴
【题目点拨】
考查等腰三角形的性质，勾股定理，射影定理，平行线分线段成比例定理等，解题的关键是作出辅助线.难度较大.
24、（1）10300y x =-+（830x ≤<）；（2）定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元.（3）不能销售完这批蜜柚.
【解题分析】
【分析】（1）根据图象利用待定系数法可求得函数解析式，再根据蜜柚销售不会亏本以及销售量大于0求得自变量x 的取值范围；
（2）根据利润=每千克的利润×销售量，可得关于x 的二次函数，利用二次函数的性质即可求得；
（3）先计算出每天的销量，然后计算出40天销售总量，进行对比即可得.
【题目详解】（1）设 y kx b =+，将点（10，200）、（15，150）分别代入，
则1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300
k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴10300y x =-+，
∵蜜柚销售不会亏本，∴x 8≥，
又0y >，∴103000x -+≥ ，∴30x ≤，
∴ 830x ≤≤ ；
（2） 设利润为w 元，
则 ()()810300w x x =--+
=2103802400x x -+-
=2210(19)1210x x --+，
∴ 当19x = 时， w 最大为1210，
∴ 定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元；
(3) 当19x = 时，110y =，
110×40=4400＜4800，
∴不能销售完这批蜜柚.
【题目点拨】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，弄清题意，找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键.。