海淀区年二模理科数学试题

北京市海淀区2008年高三年级第二学期期末练习
数 学（理科） 2008.05
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分考试时。

120分钟.考试结束。

将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共40分）
注意事项 ：
1．答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。

2．选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
（1）直线013=++y x 的倾斜角是 （ ）
（A ）
6π （B ） 3π
（C ）
32π （D ）
6
5π
（2）某中学有高一、高二、高三学生共1600名，其中高三学生400名.如果用分层抽样的方法从这1600
人中抽取一个160人的样本，那么应当从高三学生中抽取的人数是 （ ） (A)20 (B)40 (C) 60 (D)80 （3）函数
)1( 12-<-=x x y 的反函数是 （ ）
（A ）
)0( 12>+-=x x y （B ）)0( 12>+=x x y （C ）)1( 12-<+-=x x y
（D ）)1( 12-<+=x x y
（4）函数x x f 2log )(2=与1
1()(
)2
x g x -=在同一直角坐标系下的图象是 （ ） （A ） (B) (C)
,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中的真 l 所成的角相等，则//m n ?所成的角相等，则?//? ?所成的角相等，则//m n （D ）若?//?，m ? ?, 则//m β
(6) 若a n =
n n n 21
2111+++++ （1,2,3n =）, 则1 n n a a +-= （ ） （A ）221+n （B ）11221+-+n n （C ）221121+-+n n （D ）2
21
121+++n n
（7）已知集合A 满足条件：若a A ∈，则
11a
A a
+∈-，那么集合A 中所有元素的乘积为（ ） (A) 1- (B) 1 (C) 0 (D) 1±
（8）双曲线2
2
2x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点(),n
n n P x y （1,2,3
n =）在其右支上，且
满足
121n n P F P F +=，1212PF
F F ⊥，则2008x 的值是 （ ） （A
） （B
） （C ）4016 （D ）4015
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学（理科） 2008.05
第II 卷（共110分）
注意事项 ：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

（9）已知映射
:f A B →，集合A 中元素x 在对应法则f 作用下的象为3log x ，那么A 中元素1
3
的象
是
.
（10）集合304x A x
x ⎧-⎫
=⎨⎬+⎩⎭
≥,B ={x | |x -2|<3},A B = .
（11）在等差数列}{n a 中，若96a =，则7
31
3
a a -= . （12）设圆2
2
20x y x +-=关于直线0x y +=对称的圆为C ,则圆C 的圆心坐标为 ;再把圆C
沿向量 a =(1,2)平移得到圆D,则圆D 的方程为 . （13）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，
,E F 分别为棱AB 和1CC 的
中点，则线段EF 被正方体的内切球球面截在球内的线段长为
_______________.
（14）中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日“ ”）
的对角线走.例如马从方格中心点O 走一步，会有8种走法.
则从图中点A 走到点B ，最少需__________步，按最少的步数走，共有__________种走法.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
(15)（本小题共12分） 设函数=
)(x f ⋅p q ,其中向量()sin ,cos sin x x x =+p , ()2cos ,cos sin x x x =-q ,x ∈R
O
B
A
日
（I ）求
)3
(π
f 的值及函数)(x f 的最大值； （II ）求函数)(x f 的单调递增区间. （16）（本小题共14分）
如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，动点P 在棱A 1B 1上， (Ⅰ) 求证：PD ⊥AD 1； (Ⅱ) 当A 1P =
1
2
A 1
B 1时，求CP 与平面D 1DC
C 1所成角的正弦值； (Ⅲ) 当A 1P =3
4
A 1
B 1时，求点
C 到平面
D 1DP 的距离.
（17）（本小题共13分）
某单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办A ，B 两种形式的知识竞猜活动. A 种竞猜活动规定：参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，答对5个或6个，可获其它奖品；B 种竞猜活动规定：参赛者依次回答问题，答对一个就结束竞猜且最多可回答6个问题，答对一个问题者可获福娃一个. 假定参赛者答对每个题的概率均为
14
. （I ） 求某人参加A 种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率； （II ） 设某人参加B 种竞猜活动，结束时答题数为η，求E η. （18）（本小题共13分）
如图，矩形ABCD 中，AB
=
3
，BC =2，椭圆M 的中心和准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线，矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长，椭圆M 的离心率大于0.7. （I ）建立适当的平面直角坐标系，求椭圆M 的方程;
（II ）过椭圆M 的中心作直线l 与椭圆交于,P Q 两点，设椭圆的右焦点为2F ，当223
PF Q π
∠=时，求2PF Q ∆的面积. （19）（本小题共14分）
已知：函数3
2
()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.
（I ）若函数)(x f y =的图象在点P （1，)1(f ）处的切线的倾斜角为4
π
，求a ； （II ）设()f x 的导函数是'()f x ,在（I ）的条件下.若[],1,1m n ∈
-，求()()f m f n '+的最小值；
（Ⅲ）若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围. （20）（本小题共14分）
已知函数*
*
(),,y f x x y =∈∈N N ，满足：
①对任意*
,,a b a b ∈≠N ，都有)()()()(a bf b af b bf a af +>+； ②对任意*
n ∈N 都有[()]3f f n n =.
C
A
P
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
（I ）试证明：)(x f 为*
N 上的单调增函数； （II ）求)28()6()1(f f f ++；
（III ）令*
(3),n n a f n =∈N ，试证明：.
12
11
11424
n n n a a a +++
<+≤ 海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理科）
参考答案及评分标准 2008.05
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） （9）
1- （10） {4,x x <-或1}x >- （11） 4
（12） (0,1)-,
()()
22
11 1 x y -+-= （13 （14）4，8
三、解答题（本大题共6小题,共80分.） (15) （共12 分） 解：（I ）
()sin ,cos sin x x x =+p ，()2cos ,cos sin x x x =-q ，
∴=)(x f ⋅p q =()sin ,cos sin x x x + ·()2cos ,cos sin x x x -
x x x x 22sin cos cos sin 2-+= 2分
x x 2cos 2sin += 4分
∴)3
(π
f =
2
1
3-. 5分 又()f x =sin 2cos2x x +=)4
2sin(2π
+
x 6分
∴函数)(x f 的最大值为2. 7分
当且仅当8π
x k π=
+（∈k Z ）时，函数)(x f 取得最大值为2. （II ）由222 242πππ
k πx k π-++≤≤（∈k Z ）， 9分
得388
ππ
k πx k π-+≤≤ （∈k Z ）. 11分 ∴函数)(x f 的单调递增区间为[8
,83π
k ππk π+-](∈k Z ). 12分
(16) （共14分）
解法一：（I ）证明：连结A 1D ,在正方体AC 1中, ∵A 1B 1?平面A 1ADD 1,
? A 1D 是PD 在平面A 1ADD 1 内的射影. 2分
在正方形A 1ADD 1中， A 1D ? AD 1, ? PD ⊥AD 1. 4分
解(II) 取11D C 中点M ，连结PM ，CM ，则PM //11A D .
11A D ⊥平面11D DCC ，∴PM ⊥平面11D DCC .
∴CM 为CP 在平面11D DCC 内的射影.
则PCM ∠为CP 与平面D 1DCC 1所成的角. 7分 在Rt PCM ∆中，
42
sin .63
PM PCM PC =
===
∴CP 与平面D 1DCC 1所成的角的正弦值为
2
3
. 9分 （III ）在正方体A C 1中，1D D ∥1C C .
1C C ⊄平面1D DP 内，
∴1C C ∥平面1D DP .
∴点C 到平面1D DP 的距离与点C 1到平面1D DP 的距离相等. 又1D D
⊥平面1111A B C D ，⊂1DD 面DP D 1，
∴平面1D DP ⊥平面1111A B C D .
又平面DP
D 1平面11111A B C D D P =，
过C 1作C 1H 1D P ⊥于H ，则C 1H ⊥平面1D DP .
∴C 1H 的长为点C 1到平面1D DP 的距离. 12分 连结C 1P ，并在11C D 上取点Q ,使PQ //11C B . 在11D PC ∆中，1111C H D P PQ D C ⋅=⋅，得1165
C H =
. ∴点C 到平面1D DP 的距离为
16
5
. 14分 解法二：如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz D -. 由题设知正方体棱长为4，则)0,0,0(D 、)0,0,4(A 、
)4,4,4(1B 、)4,0,4(1A 、)4,0,0(1D 、)0,4,0(C . 1分
（I ）设)4,,4(0y P ,)4,,4(0y =∴. )4,0,4(1-=AD 3分
016161
=+-=⋅AD , 1AD PD ⊥∴. 4分
（II ）由题设可得，)4,2,4(P , 故)4,2,4(-=.
11AD D DCC ⊥面， )0,0,4(=∴是平面
11D DCC 的法向量. 7分
3
2
,c
o s =
>=
<∴CP DA . 8分 ∴CP 与平面D 1DCC 1所成角的正弦值为
2
3
. 9分
（III ）
()0,4,0DC =，设平面D 1DP 的法向量(),,x y z =n ，
∵(4,3,4)P 1
(0,0,4),(4,3,4)DD DP ∴==.
则10,0,
DD DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0,4340.z x y z =⎧⎨++=⎩令3x =-，则 4.y =
∴()3,4,0=-n . 12分
∴点C 到平面D 1DP 的距离为16
5
DC d ⋅=
=
n n
. 14分 （17）（共13分）
解（I ）设事件“某人参加A 种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M ， 1分
依题意，答对一题的概率为4
1
，则 P (M )=4
42611
(
)(1)44C - 3分 =66913513515444096
⨯==. 4分
（II ）依题意，某人参加B 种竞猜活动，结束时答题数η=1,2,…,6, 5分
则1(1)4P η
==
，23(2)4P η==，39(3)4P η==，427
(4)4P η==， 581(5)4P η==，5243
(6)4
P η== . 11分
所以，η的分布列是
1
2 3
4
5
6
P
设24333
123()5()444
S
=+⨯+⨯++⨯，
则23453333332()3()4()5()444444
S =+⨯+⨯+⨯+⨯ ∴23451333331()()()5()444444S =++++-⨯=
5
31()414
-535()4-⨯, ∴ E η=5
31()414
-55335()6()44-⨯+⨯=665
43336741024-=. 13分 答：某人参加A 种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为135
4096
；某人参加B 种竞猜活动，结束
时答题数为η，E η为3367
1024
.
（18）（本小题共13分）
解；如图，建立直角坐标系，依题意：设椭圆方
程为122
22=+b
y a x （a>b >0
）， 1分
（I ）依题意：22221,,a b a b c c ===+ 4分 椭圆M 的离心率大于0.7，所以224,1a b ==.
∴椭圆方程为2
214
x y +=. 6分
（II ）因为直线l 过原点与椭圆交于点,P Q ，设椭圆M 的左焦点为1F .
由对称性可知，四边形12PF QF 是平行四边形.
∴2PF Q ∆的面积等于12PF F ∆的面积. 8分
∵223PF Q π∠=
，∴3
21π=∠PF F . 设
1122,PF r PF r ==，则12
2212124,
12.r r r r r r +=⎧⎨+-=⎩ 10分 ∴12
4
3
r r =
.
11分 ∴221121sin 233
PF Q F PF S S r r π∆∆==
=. 13分
（19）（共14分）
解：（I ）.23)(2
ax x x f +-=' 1分
据题意，
.2,123,14
tan
)1(==+-∴=='a a f 即π
3分
（II ）由（I ）知3
2
()24f x x x =-+-,
则2
()34f x x x '=-+.
x
- +
↘
↗
5分
∴对于[]1,1m ∈-，()f m 最小值为()04f =-. 6分
∵
()234f x x x '=-+的对称轴为2
3
x =
，且开口向下， ∴[]1,1x ∈-时，最小值为()1f '-与()1f '中较小的.
∵
()()11,17f f ''=-=-，
∴当[]1,1x ∈-时，()f x '的最小值是-7.
∴当[]1,1n ∈-时，()f n '的最小值为-7. 7分
∴
()()f m f n '+的最小值为-11. 8分
（Ⅲ）).3
2(3)(a x x x f -
-=' ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时
000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使 11分
②若.0)(,32,0)(,320,0<'>>'<
<>x f a
x x f a x a 时当时则当
从而)(x f 在（0，]32a 上单调递增，在[3
2a ，+)∞上单调递减. 据题意，3
3440,27. 3.27
a a a ->>∴>即 14分 综上，a 的取值范围是（3，+∞）. （20）（共14分）
解：（I ）由①知，对任意*
,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，
由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*
N 上的单调增函数. 3分 （II ）令a f =)1(，则1a …，显然1≠a ，否则1)1())1((==f f f ，与3))1((=f f 矛盾.从而1>a ，而由3))1((=f f ,即得3)(=a f . 又由（I ）知a f a f =>)1()(，即3<a
.
于是得31<<a ，又*
a ∈N ，从而2=a ，即2)1(=f . 5分
进而由3)(=a f 知，3)2(=f .
于是623))2(()3(=⨯==f f f , 7分
933))3(()6(=⨯==f f f , 1863))6(()9(=⨯==f f f , 2793))9(()18(=⨯==f f f , 54183))18(()27(=⨯==f f f , 81273))27(()54(=⨯==f f f ,
由于5427815427-=-=,
而且由（I ）知，函数)(x f 为单调增函数，因此55154)28(=+=f .
从而(1)(6)(28)295566f f f ++=++=. 9分 （III ）1
3
33))3(()(+=⨯==n n
n
n f f a f ,
n n n n a a f f f a 3))(()3(11===++，6)3(1==f a .
即数列}{n a 是以6为首项, 以3为公比的等比数列 . ∴ 1
63
23(1,2,3)n n n a n -=⨯=⨯=. 11分
于是
2
12
11(1)
11
1111111133()(1)1233324313
n n n
n a a a -+++
=+++=⨯=--, 显然
41
)3
11(41<-n , 12分
另一方面122
3(12)122212n n n n n n n C C C n =+=+⨯+⨯++⨯+…,
从而
1111(1)(1)4342142
n n
n n --=
++…. 综上所述,
12
11
11
424
n n n a a a +++
<+…. 14分 说明：其他正确解法按相应步骤给分.。