利用傅里叶级数进行数列求和的方法【开题报告】

毕业论文开题报告
数学与应用数学
利用傅里叶级数进行数列求和的方法
一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）
数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。

数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和等等。

但我们发现不是所有的数列都可以利用这些方法进行求和，因此我们就需要去寻找新的方法。

这时，我们不妨可以引入傅里叶级数来对某些数列进行求和。

傅里叶级数是一种特殊的三角级数，是由法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出的。

在中国，程民德最早系统研究过多远三角函数级数与多元傅里叶级数，他首先证明多元三角级数球形和唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。

有了傅里叶级数，我们也就可以在这个方向上对一类数列求和进行探讨。

傅里叶级数还曾极大地推动了偏微分方程理论的发展，在数学物理以及工程中都具有重要的应用，对之后的研究影响深远。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
数学思维的特点之一就是寻找各种关系，并由此去探索扩充某种思想的途径，这些都要建立在归纳、总结的基础上。

所以，我们对利用傅里叶级数进行数列求和的方法及其应用做进一步的归纳、总结（如[2]-[16]），进一步深入的研究，使其得到更加广泛的应用。

首先我们引入傅里叶级数的定义及展开式等，为以后的讨论做准备：
傅里叶级数，即Fourier series，定义作：如果一个给定的非正弦周期函数()
f t 满足狄利克雷条件，它能展开为一个收敛的级数。

设f是以2l为周期的函数，通过变量置换
x
t
l
π
=或
lt
x
π
=可以把f变换成以
2π为周期的t 的函数()lt F t f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。

若f 在[],l l -上可积，则F 在[],ππ-上也可积，这时函数F 的傅里叶级数展开式是：
()01
()~cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑， （1） 其中
1()cos ,0,1,2,...,1()sin ,1,2,....n n a F t ntdt n b F t ntdt n ππππππ--====⎰⎰ （2） 因为x t l π=，所以()()lt F t f f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭。

于是由（1）和（2）式分别 01()~cos sin 2n n n a n x n x f t a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭
∑ （3） 与 1()cos ,0,1,2,...,1()sin ,1,2,....l n l l n l n x a f x dx n l l n x b f x dx n l l ππ--=
===⎰⎰ （4） 这里（4）式是以2l 为周期的函数f 的傅里叶系数，（3）式是f 的傅里叶系数。

若f 是以2l 为周期的偶函数，或是定义在[],l l -上的偶函数，则在[],l l -上，()cos f x nx 是偶函数，()sin f x nx 是奇函数。

因此，f 的傅里叶系数（4）是 012()cos ()cos ,0,1,2,...,1()sin 0,1,2,....l l n l l n l n x n x a f x dx f x dx n l l l l n x b f x dx n l l πππ--⎫=
==⎪⎪⎬⎪===⎪⎭⎰⎰⎰ （5） 于是f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即 01()~cos 2n n a n x f x a l
π∞=+∑， （6）
其中n a 如（5）式所示。

（6）式右边的级数称为余弦级数。

同理，若f 是以2l 为周期的奇函数，或是定义在[],l l -上的奇函数，则可推得 01()cos 0,0,1,2,...,2()sin 0,1,2,....l n l l n n x a f x dx n l l n x b f x dx n l l ππ-⎫=
==⎪⎪⎬⎪===⎪⎭⎰⎰ （7） 所以当f 为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即 1()~sin
n n n x f x b l
π∞
=∑， （8） 其中n b 如（7）式所示。

（8）式右边的级数称为正弦级数。

[1]
而不同类型的区间会有其与之相应的傅里叶展开式。

我们设()f x 在相应区间上满足Dirichlet 充分条件。

定理1 设函数()f x 在[,]a b 上满足Dirichlet 充分条件，且[,][,]a b ππ⊂-，则有
()01
()~cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 其中，1()cos ,0,1,2,...,n a f x nxdx n πππ-=
=⎰ 1
()sin ,0,1,2,...n b f x nxdx n π
ππ-==⎰。

事实上，作()()()f x F x g x ⎧=⎨⎩ [,],[,][,].
x a b x a b ππ∈∈--
使()F x 在[,]ππ-上分段光滑，将在[,)ππ-上的()F x 作以2π为周期的延拓,由引理和基本情形易得()f x 在[,]a b 上的傅里叶级数展开式为 ()01
()~cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ [,]x a b ∈。

若取()0g x =，则有 1()cos ,0,1,2,...,b n a a f x nxdx n π=
=⎰ 1
()sin ,0,1,2,...b n a
b f x nxdx n π==⎰。

定理2 设函数()f x 在[,]a b 上满足Dirichlet 充分条件，且2b a π-=，则公式仍成立。

[3]
下面，再来看傅里叶级数收敛性的判定定理，重点看其中的两个判别法，即Dini 判别法和Jordan 判别法。

首先我们记()f x 的傅里叶级数的前n 项部分和为 ()01
(;)cos sin 2n n k k k a S f x a kx b kx ==++∑。

Dini 判别法：若()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，且存在0δ>，使得
000()()2f x t f x t S dt t
δ
++--⎰ 存在，则()f x 的傅里叶级数在0x 收敛到S ，即(;)()n S f x S n →→+∞。

Dini 判别法的一个推论是Lipschitz 判别，即：若()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，且在0x 满足(0)αα>阶的Lipschitz 条件，即存在0δ>与常数M ，使得 00()()(0)f x t f x Mt t αδ±-≤<≤
成立，则()f x 的傅里叶级数在0x 收敛到0()f x 。

推论1 若()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，且()f x 在0x 有有限导数，则()f x 的傅里叶级数在0x 收敛到0()f x 。

推论2 若()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，且()f x 在[,]ππ-上处处可微，则()f x 的傅里叶级数收敛到()f x 。

Jordan 判别法：设()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，且()f x 为[,]a b 上
的有界变差函数，则其傅里叶级数在,a b （）内每一点x 处都收敛到 []1(0)(0)2
f x f x ++-。

[10] 除此之外，还有更加密的收敛性判定如一致收敛性、平均收敛性等。

有了这些基本定理和判别方法，我们可以进一步研究利用傅里叶级数对这某一类数列求和的方法。

最后，举例说明利用傅里叶级数对数列进行求和的方法及其应用。

以一类数列加以说明。

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标
研究的方法主要有类比法、归纳法、举例法。

技术路线：通过图书馆以及因特网查找相关领域的最新理论、收集资料，对利用傅里叶级数进行数列求和在数学发展中的重要作用有较全面、综合的认识，通过老师的指导，同学之间的交流和沟通，收集整理文献，反复讨论研究问题，界定相关概念，阐述理论基础，实施研究方法，得出研究结论，总结研究启示。

四、论文详细工作进度和安排
1.在导师的指导下收集资料，完成毕业论文的文献检索，泛读相关文章，形成系统材料。

（第七学期第9周至第10周）
2.研读外文文献，完成外文翻译。

（第七学期第11周至第12周）
3.完成文献综述。

（第七学期第13周至第14周）
4.完成开题报告。

（第七学期第15周至第16周）
5.进一步完善论文的资料、数据收集，精读其中的重要参考文献、列出文章的初步提纲。

（第八学期第1周至第2周）
6.开展论文初稿撰写工作。

（第八学期第3周至第8周）
7.在导师的指导下对论文进行反复修改。

（第八学期第9周至第10周）
8.对论文进行完善，最后定稿。

（第八学期第11周至第12周）
五、主要参考文献：
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