克拉默法则在解析几何中的应用
第4讲_克拉默法则
第4讲_克拉默法则克拉默法则，又称克拉默法则(Cramer's Rule)，是线性代数中一种求解线性方程组的方法。
它是基于行列式的性质推导而来的，可以通过求解方程组的系数矩阵的行列式和一系列的余子式来求解方程组的解。
设线性方程组为：a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3对应的系数矩阵为：A=，a1b1c1a2b2ca3b3c假设A的行列式，A，≠0，即A可逆。
克拉默法则的步骤如下：1.求出系数矩阵A的行列式，A。
2.将线性方程组中的常数项d替换成对应的常量向量i，并构成矩阵Ai，其中Ai的第i列替换为常量向量。
3.求出Ai的行列式，Ai。
4.解方程组的解向量为：x=，Ai，/，Ay=，Ai，/，Az=，Ai，/，A克拉默法则的优点是求解方便，特别适用于方程组的规模较小的情况。
然而，它的缺点是计算量较大，需要求系数矩阵和每个常量向量的行列式，不适用于大规模的方程组求解。
以下是一个数值例子来说明克拉默法则的应用：假设有方程组：2x+y-z=14x-6y=-2-2x+7y+2z=3我们可以转换为系数矩阵和常数向量的形式：A=，21-14-6-27d=，1-首先，计算系数矩阵A的行列式，A。
A，=2(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(4)(7)=-12+0-28=-40然后，分别计算对应常量向量的行列式。
A1，=1(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(-2)(7)=12+0+14=26A2，=2(0)(2)+1(4)(-2)+(-1)(-2)(7)=0-8+14=6A3，=2(-6)(-2)+1(4)(7)+(-1)(-2)(0)=24+28+0=52最后，根据克拉默法则的公式，我们可以得出解向量：x=，A1，/，A，=26/-40=-0.65y=，A2，/，A，=6/-40=-0.15z=，A3，/，A，=52/-40=-1.3因此，方程组的解为x=-0.65，y=-0.15，z=-1.3总结来说，克拉默法则是一种通过求解行列式的方法来求解线性方程组的解的方法。
克拉默法则在解析几何中的应用
克拉默法则在解析几何中的应用
卡拉默法则，又叫“相交线定理”，由德国数学家克劳德·卡拉默在1821年提出，
是几何学中一个关于相交线的重要定理。
它简单地说明，当两条互相垂直的线相交时，4
个角形的内角加起来一定会等于360度（或2π弧度）。
它表明，平行线可以把平面分割
成多个小角。
它也常常被用来证明孪生直线角定理，在该定理中，任意两条相交线的两个
夹角之和等于180度（或π弧度）。
卡拉默法则在几何中的应用的常数用于证明绘制出来的图形的正确性，帮助识别和解
决几何问题。
常见的有平面几何、立体几何以及平面视景图中的绘图方法等。
首先，卡拉默法则可以用来解决几何问题。
例如要证明一个菱形的内角总和是360°，就可以用卡拉默法则来进行证明。
由于菱形内部有4个拐角，而已知每条相交边的夹角是90°，因此菱形有4个90°的角，所以总角度加起来就是360°。
此外，卡拉默法则也可以用来证明绘图形的正确性。
比如，如果想要绘制一个正方形，可以利用卡拉默法则完成，因为正方形4个角都是90°，卡拉默法则显示正方形内部角度总和应该等于360°，因此，该绘制结果是正确的。
另外，该定理在平面视景图绘制中也得到了广泛的应用，常常被用来辨别和解决几何
问题，例如：判断九条线段是否可以绘制一个外形规则的多边形或判断某图形是否正确以
及检测多边形的角度之和是否等于360°。
总的来说，卡拉默法则在解析几何中有着广泛的应用，对解决几何问题有很大的作用，从而帮助我们理解几何图形，实现了几何的建模。
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。
第七节 克拉默法则
5 0 1 7
8 9 5 0
1 6 2 6
1 6 2 6
2
8 9 5 0
5 0 1 7
1 6 2 6
81
D2
1 0 1
108
3 2 4
27
2 x1 x1 x 1
x2 3 x2 2 x2
5 x3
x4 6 x4 2 x4 6 x4
对于二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
其解为
b1 x1 D1 D b2 a 11 a 21 a 12 a 22 a 12 a 22 , x2 D2 D a 11 a 21 a 11 a 21 b1 b2 a 12 a 22 .
(1 )
的系数行列式不等于零，即
a 11 D a 21 a 12 a 22 a 1n a 2n
0
a n1 a n2 a nn
那么线性方程组 1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
x1 D1 D , x2 D2 D , x3 D2 D , , x n Dn D .
克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零即nn22211211其中是把系数行列式列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式即那么线性方程组有解并且解是唯一的解可以表为22211211依次乘方程组列元素的代数余子式kjknkjkj的系数等于上式中的系数均为而其余又等式右端为于是时方程组有唯一的一个解27816767理论意义
a1 x a2 x a3 x a4 x b1 y c 1 z d 1 0 b2 y c 2 z d 2 0 b3 y c 3 z d 3 0 b4 y c 4 z d 4 0
第七节克拉默法则
第七节克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的运算法则，可以用来解决线性方程组的问题。
它是由17世纪的数学家克拉默提出的，可以用来求解n元线性方程组的解。
设有n个未知数和n个线性方程，可以表示成如下形式的方程组：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann是系数矩阵，x1, x2, ..., xn是未知数向量，b1, b2, ..., bn是常数向量。
使用克拉默法则求解线性方程组的步骤如下：1.计算系数矩阵的行列式D：D = ，a11, a12, ..., ann2.用常数向量替换系数矩阵的第i列，得到新的n阶矩阵Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an3.计算新矩阵的行列式Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an4. 通过D和Di的比值得到未知数xi的值：xi = Di / D使用克拉默法则求解线性方程组的优点是计算简单明了，但是也存在一些缺点。
首先，使用克拉默法则需要对每个未知数分别求解，计算复杂度较高，尤其当未知数的个数较多时，计算量会很大。
其次，克拉默法则只适用于方程组的系数矩阵的行列式不为0的情况，即只有在系数矩阵满秩时才能使用克拉默法则求解。
克拉默法则的一个典型应用是求解二元线性方程组。
设有二元线性方程组：a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2根据克拉默法则，先计算系数矩阵的行列式D：D=，a11,a12a21,a2再计算常数向量替换第1列和第2列分别得到的行列式D1和D2：D1=，b1,a12b2,a2D2=，a11,b1a21,b最后，根据克拉默法则的公式得到未知数x1和x2的值：x1=D1/Dx2=D2/D克拉默法则的应用并不局限于二元线性方程组，同样适用于多元线性方程组。
克拉默法则解方程组过程
克拉默法则解方程组过程克拉默法则是用来快速解决多元一次方程组的一种有效率的解法。
方程组指的是有一组变量（有两个或以上），它们都满足同一组等式的集合。
在这个方程组中，每个等式都只用一组变量，也就是说，它们只有一个自由变量。
而使用克拉默法则解决方程组要做的就是取出其中一个等式，首先把它的一个自由变量解出来，然后逐步把这个解法推广到剩下的等式中，从而最终求出整个方程组的解。
克拉默法则解方程组是一个分步求解的过程，可以分为第一步、第二步、第三步等四个阶段来完成。
第一步：要先选择一个等式，把它放入右侧，这样就可以把它中的一个自由变量确定，以解出等式中的关于这个变量的表达式。
第二步：从这个等式中把已经解出来的变量带回剩下的等式中，把每个等式中的同一个变量都替换成已经解出来的表达式，从而得到若干确定的等式。
第三步：在若干确定的等式中继续选择一个，把它放入右侧，然后用同样的方法，把它中的一个自由变量确定，以解出等式中关于这个变量的表达式。
第四步：把这个解出来的变量也带回剩下的等式中，把每个等式中的同一个变量都替换成已经解出来的表达式，这样就可以完成整个方程组的求解过程。
这样，就可以通过克拉默法则解出一个多元一次方程组的解：以2x+3y=10, 3x-2y=-1为例，用克拉默法则解方程组的过程如下：1.先，我们可以选择第一个等式，把它放入右侧：2x+3y=102.把另一个等式也放入右侧：3x-2y=-13.先从第一个等式中解出y：y=frac{10-2x}{3}4.把y带回第二个等式中，把每个等式中的同一个变量都替换成已经解出来的表达式：3x-2frac{10-2x}{3}=-15.解出x：x=26.把x也带回第一个等式中，把每个等式中的同一个变量都替换成已经解出来的表达式：2(2)+3y=107.解出y：y=4最终，整个多元一次方程组的解为：x=2，y=4。
以上就是克拉默法则解多元一次方程组的过程。
它是一种非常有效率的解法，能够快速解决多个变量的方程组，为理解数学中方程组的求解提供了更简便、更高效的方法。
克拉默法则的证明及其应用
小结: 对于证明在几何的证明方法中全是依据着所学关于几何方面的知识来理解和证明的，对于n维空间它的一些推广一般都是根据直观来判断和理解，对于后面的 的求解和 的情形可以以其他形式来进行或让学者自己推敲再做一定的讲解，对于这两个问题一般都是从几何方面来看待证明的，这种证法比较直观，这方法把解析几何和线性代数联系在了一起，是个很好的桥梁.把克拉默法则应用在几何中，为几何的大量计算提供了便捷，两者的结合拓宽了两大知识领域的知识面.对于例1的题目中已经告诉我们 是四个不共面的向量，它和向量 的数量积都为零，该题比较难的地方就是我们已知条件转化为我们需要的东西，对于数量积的运算一般用坐标的形式来表示已知的向量，对于这个就可以转化为齐次线性方程组的问题来解，接下来把已知条件里的向量 按前面的方法转化为其次线性方程组求解问题，所以该结论就可以根据克拉默法则的有关知识来得出．对于例2，应用几何方面的知识来解它，计算量比较大，且容易出错，就把几何思想转化为齐次线性方程组的问题来解，又根据克拉默法则计算，使之简化问题且简明计算.
3应用
大学数学中的 Gramer 法则的内容，应用很广泛，克拉默法则不仅有以上几个数学领域里有应用，它在微分边值，多项式整除，初等方程中都有应用，把所求方程转化为它的系数行列式来解决该问题，提前判断有无唯一解，简化它的计算和帮助它求其特征值.
3.1微分边值的应用
定理 1：设 且 则对任意的 存在唯一的多项式 使得：
1引言
克拉默法则在数学中有很重要的作用，所以一直以来对它的研究颇多，文献[1-2]对克拉默法则的证明都应用行列式的思想，都是先证解确实是方程组的解，然后验证解的形式标准，文献[1]对证明过程作了详细注解，这种证法教材里比较常见，文献[3]应用了所学的有关矩阵的知识，具体应用了矩阵的性质，逆矩阵，伴随矩阵来对克拉默法则进行证明，方法比较新颖且融合了所学的好多知识，这也是一种有效的解题思路，文献[4]对于克拉默法则的证明它没有用一些所学的理论知识，它应用了比较直观的几何方法来进行证明，这方法结合几何较容易理解，对于文献[5]主要结合了微分里的一个定理，把克拉默法则应用到了微分里，简化题意，辅助计算，把微分问题转化为线性方程组的问题，文献[6]对克拉默法则在几何中的应有作了诸多题型方面的研究，且阐述了题型的转化思想这一种重要的解题思路，文献[7-8]主要研究了卡拉默法则在行列式中的应用，结合克拉默法则的性质,来判别线性方程组解的情况，进一步求解线性方程组中的参数，文献[9-11]都主要对克拉默法则除其性质外的作了一定的推广，从其它视角来看克拉默法则，文献[12-15]主要研究了克拉默法则它的适用范围，时效和有效的题型，以便于更便捷的使用克拉默法则.克拉默法则用途广泛，在应用中有一定的探索空间.
克莱默公式
克拉默法则公式：a21=x1。
克莱姆法则，又译克拉默法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。
cramer法则又名克拉默法则，外文名Cramer's Rule是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，在他的线性代数分析导言中发表的，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O （n·n！）。
即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加
尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。
他自1727年进行为期两年的旅行访学。
克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解。
克拉默法则
a a b a a 11
1,j1
1
1,j1
1n
Dj
a a b a a n1
n,j1
n
n,j1
nn
3
例1 用克拉默则解方程组
2x1x25x3x4 8,
x13x26x4 9, 2x2x32x4 5,
x14x27x36x4 0.
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r12r2 1 3 0 6
x 作为 的多项式，是几次多项式？
分析：根据行列式定义，是取自不同行不同列元素乘 积的代数和，所以化简后可知其最高次数是一次。
21
思考：方程
x2 x1 x2 x3
fx2x2 2x1 2x2 2x3 0
3x3 3x2 4x5 3x5 4x 4x3 5x7 4x3
有几个根？
分析：问方程有几个根，也就是问左边代数式是 几次多项式。2 个。
则该行列式可拆成两个行列式.
●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变.
13
2
n
D ij,
展
●行展开
aikAjk
k1
0
i j.
开
n
D i j,
●列展开
akiAkj
k1
0
i j.
●定义法
●递推法
●加边法
计
●数学归纳法
算
●公式法
●拆项法
应
●克拉默法则
用
●齐次线性方程组有非零解的充要条件
14
3
二、主要定理
( i= 1,2,…,n ). ( j= 1,2,…,n ).
( i ≠ j ).
( j ≠ k ).
克拉默法则非齐次等于0
克拉默法则非齐次等于0
摘要：
一、克拉默法则简介
1.克拉默法则定义
2.非齐次克拉默法则
二、非齐次克拉默法则推导
1.非齐次克拉默法则公式
2.公式推导过程
三、非齐次克拉默法则应用
1.实际问题中的应用
2.案例分析
四、总结
正文：
克拉默法则非齐次等于0，这一结论在克拉默法则的基础上进一步拓展了其应用范围。
首先，我们需要了解什么是克拉默法则。
克拉默法则，又称拉格朗日乘数法，是一种求解带约束条件的最优化问题的方法。
它通过引入拉格朗日乘数，将原问题转化为无约束条件的优化问题，从而求解最优解。
在克拉默法则的基础上，我们可以得到非齐次克拉默法则。
非齐次克拉默法则是在克拉默法则的基础上，对约束条件进行非齐次处理。
非齐次处理意味着约束条件的系数不再是一个常数，而是一个关于变量的函数。
这样，我们可以更广泛地应用克拉默法则解决实际问题。
非齐次克拉默法则的公式如下：
min ∫[L(x, t)]dt
s.t.∫[f(x, t)]dt = 0, t ∈ [a, b]
其中，L(x, t) 表示拉格朗日函数，f(x, t) 表示约束条件。
在实际问题中，非齐次克拉默法则可以帮助我们解决许多具有约束条件的优化问题。
例如，在供应链管理中，我们需要在满足库存约束和运输成本最小化的前提下，确定最佳的订单数量。
这时，我们可以使用非齐次克拉默法则来求解这个问题。
总之，克拉默法则非齐次等于0 这一结论为我们解决实际问题提供了更多的可能性。
线性代数 知识点总结
线性代数知识点总结一、向量1、向量的定义向量是指具有大小和方向的量，通常用定位矢量、力、速度、加速度等概念来描述，是线性代数的基础概念之一。
在向量的表示上，通常用箭头表示。
2、向量的加法向量的加法满足结合律和交换律，即对于任意两个向量a、b和任意数α，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，α(a+b)=αa+αb。
3、向量的数量积向量的数量积又称内积或点积，是指两个向量相乘后相加的结果。
表示为a•b，数值为|a||b|cosθ，其中θ为a、b之间的夹角。
4、向量的线性相关与线性无关若存在一组不全为零的实数α1、α2、…、αn，使得α1a1+α2a2+…+αnan=0，则向量a1、a2、…、an为线性相关。
否则为线性无关。
5、向量的外积向量的外积又称叉积，是指两个向量相乘后得到一个垂直于原两个向量的新向量。
其模长为两个向量长度的乘积与夹角的正弦。
6、向量的投影向量a在向量b上的投影是指垂直于b的向量a′，满足a=a′+a″，其中a″即为a在b上的投影。
7、标量标量是没有方向的，只有大小的量。
标量和向量共同构成线性代数的基础。
二、矩阵1、矩阵的定义矩阵是由m行n列的数按特定顺序排列的格式，通常用方括号表示。
其中m、n分别称为矩阵的行数和列数。
2、矩阵的运算矩阵的加法、数乘、矩阵乘法等运算是线性代数中矩阵的重要运算。
矩阵乘法中的常见性质有结合律、分配律、非交换性等。
3、矩阵的转置矩阵的转置是指行列互换，即对于矩阵A，其转置记为A'，且满足(a')ij=(a)ji。
4、矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵的列向量（或行向量）组成的矩阵的秩。
矩阵的秩有着一系列重要性质和应用。
5、矩阵的逆若矩阵A存在逆矩阵A-1，使得AA-1=A-1A=I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A可逆。
良态矩阵的逆矩阵具有诸多性质。
6、矩阵幂矩阵的幂是指将矩阵连续乘积的运算。
矩阵幂在线性代数以及其他数学领域中有着广泛的应用。
克拉默法则原理
克拉默法则原理克拉黫法则原理是一种线性代数中的重要定理，它描述了关于线性方程组解的存在唯一性的情况。
该原理由瑞士数学家克劳斯·克拉默于18世纪提出，是线性代数中的基本定理之一。
在线性代数中，克拉默法则原理通常用于解决n个未知数的n个线性方程组的解的问题。
假设有n个未知数x1, x2, ..., xn，以及n个线性方程：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2。
...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn。
其中aij为系数，bi为常数项。
若系数矩阵A的行列式不为0，即|A| ≠ 0，那么该线性方程组有唯一解，可以通过克拉默法则原理来求解。
克拉默法则原理的具体表述如下，对于n个未知数的n个线性方程组，如果系数矩阵A的行列式不为0，那么该线性方程组有唯一解，且第i个未知数的解为xi = |Ai| / |A|，其中|Ai|为将系数矩阵A的第i列替换为常数项所得到的新矩阵的行列式，|A|为系数矩阵A的行列式。
克拉默法则原理的应用使得求解线性方程组变得更加直观和简单。
通过计算各个未知数的解，可以直接得到线性方程组的解，而无需进行繁琐的消元和代入操作。
然而，克拉默法则原理也存在一定的局限性。
当线性方程组的系数矩阵A的行列式为0时，克拉默法则原理就不再适用，此时线性方程组可能无解，或者有无穷多个解。
因此，在实际应用中，需要结合具体情况选择合适的方法来求解线性方程组。
总之，克拉默法则原理是线性代数中的重要定理，它为求解n个未知数的n个线性方程组提供了一种简单而直观的方法。
通过计算系数矩阵的行列式和各个未知数的解，可以得到线性方程组的解，从而解决实际问题中的线性方程组求解困难。
然而，在使用克拉默法则原理时，也需要注意其局限性，避免在不适用的情况下误用该方法。
克拉默法则的证明及其应用
克拉默法则的证明及其应用1引言克拉默法则在数学中有很重要的作用，所以一直以来对它的研究颇多，文献[1-2]对克拉默法则的证明都应用行列式的思想，都是先证解确实是方程组的解，然后验证解的形式标准，文献[1]对证明过程作了详细注解，这种证法教材里比较常见，文献[3]应用了所学的有关矩阵的知识，具体应用了矩阵的性质，逆矩阵，伴随矩阵来对克拉默法则进行证明，方法比较新颖且融合了所学的好多知识，这也是一种有效的解题思路，文献[4]对于克拉默法则的证明它没有用一些所学的理论知识，它应用了比较直观的几何方法来进行证明，这方法结合几何较容易理解，对于文献[5]主要结合了微分里的一个定理，把克拉默法则应用到了微分里，简化题意，辅助计算，把微分问题转化为线性方程组的问题，文献[6]对克拉默法则在几何中的应有作了诸多题型方面的研究，且阐述了题型的转化思想这一种重要的解题思路，文献[7-8]主要研究了卡拉默法则在行列式中的应用，结合克拉默法则的性质,来判别线性方程组解的情况，进一步求解线性方程组中的参数，文献[9-11]都主要对克拉默法则除其性质外的作了一定的推广，从其它视角来看克拉默法则，文献[12-15]主要研究了克拉默法则它的适用范围，时效和有效的题型，以便于更便捷的使用克拉默法则.克拉默法则用途广泛，在应用中有一定的探索空间.克拉默法则从多方面进行证明且它应用广泛，该课题研究它的局限性，它适用的题型，在哪些类型的问题中失效，且内容有部分从中学数学中来展开，对证明和应用进行分析.应用我们所学的知识对克拉默法则进行研究和拓展，了解它所应用的关系，以便对它更好的应用.对于克拉默法则，它的应用范围广泛，证明方法多种多样，证明的角度也可以从多方面下手，关于它的应用，其实可以不仅仅局限于大学知识，也有研究它在中学几何里的应用，其实在解中学方程组中也可以有一定的研究意义.2克拉默法则及证明为方便读者，下面给出克拉默法则（Gramer法则），如果线性方程组(1.1)的系数矩阵的行列式则方程有唯一解（1.2）其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项所成的矩阵的行列式，即(1.3)利用矩阵行列式证明克拉默法则的过程可参看相关教材，受文献[4]的启发，从几何角度进行证明，可是过程直观明了，具体为：为了方便书写和叙述，令并给出证明.那方程组（1.1）可表示为：令则式变为把与作为四边形的两边作平行四边形，以与的公共起点为其中一个顶点作对角线β是唯一的，通过这就可以得出方程组有唯一解, 因为这是一个行列式，且它的系数不为零，因此向量与不可能在同一条直线上的，所以可做上面的四边形.如（图3）就可以用它的有向面积来阐述这样就可得出证明.在图（3）中，平行四边形以与为邻边的的有向面积和平行四边形以与为邻边的有向面积分别是和从图形上我们可以看出 .又有平行四边形以与为邻边的，它的向面积为所以得出是它与前面那个图形的有向面积的比，所以同理可得以该定理得到了证明.下面给出两个该证明的应用：例1 设向量不共面，证明: 若是向量满足则证明:设因为所以由于不共面，因此有由所学的克拉默法则，可以知道上面的方程组只存在零解即命题得证.例2 三平面经过同一条直线的成分必要条是 .证明：由题中已知条件可知，都经过原点，那接下来就只需证明，因经过同一直线，所以它们都经过除了原点的另外一个点，由上面三个关系式可写成有非零解，由克拉默法则得小结: 对于证明在几何的证明方法中全是依据着所学关于几何方面的知识来理解和证明的，对于n维空间它的一些推广一般都是根据直观来判断和理解，对于后面的的求解和的情形可以以其他形式来进行或让学者自己推敲再做一定的讲解，对于这两个问题一般都是从几何方面来看待证明的，这种证法比较直观，这方法把解析几何和线性代数联系在了一起，是个很好的桥梁.把克拉默法则应用在几何中，为几何的大量计算提供了便捷，两者的结合拓宽了两大知识领域的知识面.对于例1的题目中已经告诉我们是四个不共面的向量，它和向量的数量积都为零，该题比较难的地方就是我们已知条件转化为我们需要的东西，对于数量积的运算一般用坐标的形式来表示已知的向量，对于这个就可以转化为齐次线性方程组的问题来解，接下来把已知条件里的向量按前面的方法转化为其次线性方程组求解问题，所以该结论就可以根据克拉默法则的有关知识来得出．对于例2，应用几何方面的知识来解它，计算量比较大，且容易出错，就把几何思想转化为齐次线性方程组的问题来解，又根据克拉默法则计算，使之简化问题且简明计算.3应用大学数学中的Gramer 法则的内容，应用很广泛，克拉默法则不仅有以上几个数学领域里有应用，它在微分边值，多项式整除，初等方程中都有应用，把所求方程转化为它的系数行列式来解决该问题，提前判断有无唯一解，简化它的计算和帮助它求其特征值.3.1微分边值的应用定理 1：设且则对任意的存在唯一的多项式使得：例3 设且则对任意的存在唯一的多项式求解 .根据题意就可知，则由定理就可以写成下面的代数方程组：通过方程组知道系数行列式等于当时不为零。
导数在初等数学中的应用
导数在初等数学中的应用行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一种特定的方阵，具有特殊的性质和计算方法。
近年来，行列式计算方法在初等数学中得到了广泛的应用，它不仅在解决数学问题中起到了重要的作用，还为其他学科提供了有力的工具。
本文将对行列式计算方法在初等数学中的应用进行综述。
行列式是由一组数排列而成的方阵，其定义如下：设n个实数a1,a2,…,an组成一个方阵A，称A为n阶行列式，记作det(A)。
行列式的行和列互换，其值不变。
即det(AT) = det(A)。
交换行列式的两行或两列，行列式的值变号。
即det(A) = -det(B)，如果交换行列式A的两行得到B。
行列式的某一行或某一列乘以一个非零常数，行列式的值也乘以这个常数。
即det(kA) = k^n * det(A)，如果k是任意非零常数。
行列式中如果有两行或两列的元素相同，行列式的值为零。
即det(diag(a1,a2,...,an)) = 0，如果a1,a2,…,an中有相同的元素。
行列式可以按照下列方式展开：det(A) = a1a..an - b1b2*...*bn，其中a1,a2,…,an是A的主对角线上的元素，b1,b2,…,bn是A的副对角线上的元素。
行列式可以用于解线性方程组。
通过高斯消元法，可以将线性方程组转化为高阶行列式，然后利用高阶行列式的性质进行求解。
克拉默法则也可以用于解线性方程组，其中需要用到行列式的值。
行列式可以用于矩阵运算。
矩阵的逆运算可以通过求解逆矩阵的行列式来实现。
矩阵的乘法也可以通过计算两个矩阵的行列式来得到结果。
行列式可以用于解析几何中的坐标变换。
通过将一个点的坐标在不同坐标系中进行变换，可以得到该点在不同坐标系中的坐标值。
这需要用到行列式的值和矩阵的乘法运算。
行列式可以用于数值计算中的插值和拟合。
通过求解差分方程组的解，可以得到函数的近似值。
这需要用到高阶行列式的展开式和多项式插值方法。
在求解最优化问题时，也可以使用行列式来求解目标函数的值和梯度向量。
初中代数方程组解法分类与应用场景
消元
使方程组不断简化，从而求得方程组的解。时需要注意要维持方程组的等价性， 不改变方程组的根本性质。在应用场景上，可以用于计算机科学中的线性代数问 题，如矩阵求逆、行列式计算等。
代回到原方程组
1. 利用高斯消元法将代数方程组转化为简化阶梯矩阵形式，从而求 得唯一解或无解。此法适用于线性方程组，可通过矩阵运算较为高 效地解决。 2. 利用代数运算原理，将方程组中某一未知量用其他未知量表示， 再代入其它方程解得根，逐渐逼近最终的解。此方法适用于较为复 杂的方程组，操作较为灵活，但需要较多的代数运算。 3. 利用因式分解、二次函数性质等代数知识，将方程组化简为二次 方程或一次方程组，再运用求解方法求解。此方法适用于特定类型 的方程组，需要对代数知识有深入的理解和灵活运用能力. 直接代入法：将一个方程中的未知量表示出来，再代入到其他方程中， 从而得到方程组的解。此方法适用于方程组至少有一个方程的未知量系 数为1或-1的情况。 2. 消元法：通过变换方程的形式将未知量的系数逐步消去，最终得到只 含有一个未知量的方程。此方法适用于方程组的各个方程中未知量系数 较为复杂的情况。 3. 矩阵法：将方程组的系数矩阵和常数矩阵进行按行列式求解，从而得 到方程组解的矩阵。此方法适用于多元、高次方程组的求解，且具有较 好的计算机辅助求解性能。
代数方程组解法分类与应用场景
解析几何法 标准型法 微积分法
目录CONTENTS
流体力学建模中的应用场景 拉格朗日插值法
01
解析几何法
Analytic Geometry Method
解析几何法
坐标表示变量 联立方程组
消元法 变量消元法 系数消元法
矩阵法 增广矩阵
同解方程组转化为方程 同解方程组 表示方法 转化为方程
克拉默法则及其推广在方程组求解中的应用
克拉默法则及其在方程组求解中的应用数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级赵丽指导教师刘学文摘要：线性代数是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于现代科学的许多分支,其核心问题之一就是线性方程组的求解问题,对此,通常有两种解决方法,即消元法与克拉默法则。
而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。
本文描述了克拉默法则产生的背景与意义，归纳了克拉默法则及其推广形式的各种证明方法，并用典型例题说明了克拉默法则的应用。
关键词：克拉默法则；线性方程组；消去法Abstract: Linear algebra is an important component of the algebra. Widely used in many branches of science. It is one of the core problems of linear equations. Therefore, usually have two solutions, namely elimination and Cramer＇s Rule. In studying the Cramer＇s rule before, we learn a variety of determinant method, while the Cramer＇s rule is used to solve linear equations of the problem of determinant, the concise, graceful expression is symbolic of a model.Cramer＇s rule is linear algebra A on solving linear equations theorem. It is suitable for variables and equations is equal to the number of linear equations, is a Swiss mathematician Cramer (1704-1752) on 1750, in his" linear algebra analysis introduction" published in..Key words:Cramer＇s rule; linear equations; proof; application引言克拉默法则（Cramer's Rule），也称克莱姆法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
克拉默法则的一个简单证明及其推广
克拉默法则的一个简单证明及其推广陈成钢【摘要】给出了线性代数教科书中克拉默法则的一个简单证明。
对于系数矩阵A 是方阵的线性方程组Ax=b ，当其有唯一解的时候，能利用克拉默法则求解。
但当A不是方阵，克拉默法则则无法求解，其实利用矩阵秩的理论可以将克拉默法则进行推广，使其能求解任意有唯一解的线性方程组。
%It is given a simple proof of Cramer Rule in Linear Algebra textbooks. As we all know, system of linear equations can be solved by means of Cramer Rule when its coefficient matrix is a square matrix and it has a single solution. But it is powerless for Cramer Rule to solve when its coefficient matrix isn’t a square matrix. So, it is promoted Cramer Rule to solve the arbitrary system of linear equations as long as it has a single solution.【期刊名称】《天津农学院学报》【年(卷),期】2013(000)003【总页数】3页(P42-44)【关键词】线性方程组;唯一解;克拉默法则;秩【作者】陈成钢【作者单位】天津城建大学理学院，天津 300384【正文语种】中文【中图分类】O151.21 引理作为行列式的一个重要应用，克拉默法则可以解决方程个数与未知量的个数相等且有唯一解的线性方程组的情形，这是一个重要的情形。
但对于克拉默法则的证明，一般都比较抽象，这使初学者难以理解，其实利用行列式的性质可以得到克拉默法则的一个简单证明。
克拉默法则
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2 ,,bn不全为零, 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 ,,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
1 1 3 2
3 5 21
3 3 21
43 D1 11 6 1
0 1
4 67 , 13
04 D2 1 11 6
0 1
4 0, 1
5 6 1 3 2
1 5 6 3 2
35 3 1
35 2 3
0 D3 1
3 1
4 11 6
4 67 , 12
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 5 6 2
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例2 用克拉默法则解方程组
3 x1 5 x2 2 x3 x4 3,
3x2 4x4 x1 x2 x3
4, x4
11
6,
x1 x2 3 x3 2 x4 5 6.
35 21
解
03 D
0 4 67 0,
11 11
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
一个关于克拉默法则及其逆命题的注记
a11 a1, j −1 b1 a21 a2, j −1 b2 Dj = an1 an , j −1 bn
a1, j +1 a1n a2, j +1 a2 n an , j +1 ann
128
杜志斌
定理 1 (克拉默法则) 若线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0 ，则该线性方程组具有唯一解，且该唯一 解为
D1 x1 = D D x2 = 2 D x = Dn n D
根据线性方程组有唯一解的判别法(见[1] [2])，易知克拉默法则的逆命题也是正确的。 定理 2 (克拉默法则的逆命题)若线性方程组(1)具有唯一解，则其系数行列式 D ≠ 0 。 在高等代数和线性代数的教材中，克拉默法则常常作为行列式的应用出现。学者们一般采用行列式 按行(列)展开的公式来证明克拉默法则，但证明过程中牵涉到多个连和式子，略显繁琐，如[1] [2]，或者 干脆暂且不证明，等到后面讲述完逆矩阵与伴随矩阵的关系之后，再补充证明，如[3] [4] [5] [6]。此外， 教材在讲述克拉默法则时，极少提及到克拉默法则的逆命题也是正确的。 为了教学上的连贯性以及证明的易读性，我们有必要引入一种仅与行列式的定义和性质有关，且简 单明了的方法来证明克拉默法则及其逆命题。本文将以此为主旨，运用行列式的性质来证明克拉默法则 (即定理 1)，以及证明克拉默法则的逆命题(即定理 2)也是正确的。
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2017, 6(2), 127-132 Published Online March 2017 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2017.62014
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｛ ６ 。 ｒ 。 ＋ ６ ２ ｒ ＋ ６ ３ ｒ ３ ＝ ０． 由于 ， ， 不共面， 因
Ｌ ｃ １ ｒ １＋ｃ ２ ｒ ２＋ ｃ ３ Ｆ ３＝ ０
推论 ： 齐次 线性 方程组
ｌ 口 － 。 ２ 口 ， ｛ ［ ａ ｌ ｉ ｂ ｉ ＋ 口 － ｚ ｚ ＋ …＋ 口 － ｎ ｎ ＝ ０ ｊ ＋ 。 ： ＋ …＋ 。 ｚ ｎ ｎ ＝ ０ 的系数行列式 此 有Ｉ ｌ ｂ ｂ ：ｂ Ｉ ≠ ０ ． 由 克 拉 默 法 则 的 推 论 ， 可
切 相 关 的 ． 可 以说 ， 线 性 代 数 为 解 析 几 何 提 供
…
Ｉ Ａ Ｉ ： ｛ ｌ … 。 ２ 二 ｌ ≠ ０ 当 且 仅 当 线 性 方 程
组 只有零 解 ．
研 究方 法 ， 解 析几 何 为线性代 数 提供直 观背景 ．
本文主要探讨克拉默法则在解析几何 中的应
Ｉ Ｌ ． ． ． ０ ｎ １ １ ＋ ０， ｌ ２ ２ ＋ …
ｃ
ｃ：
ｃ。
Ｉ
＋ ０肌戈 ｎ ＝０
得上 述方 程组 只有零 解 （ ｒ ， ｒ ， ｒ ， ） ＝（ ０ ， ０， ０ ） ， 即
［ 基金项 目］ 国家 自然科学基金项 目“ 完备集 、 加法补集及相关数论 问题 的研究 ” （ 项 目编号 ： １ １ ２ ０ １ ２ ３ ７ ） ［ 收稿 日期 ］２ ０ １ ４—１ １ — ２ ９ ［ 作者简 介］方金辉 ， 女， 安徽 宁国人 ， 南京信息工程大学数学与统计学院副教授 ， 博士 ， 硕士生导师．
．
分析 ： 本 例 已知条件 是 向量 与 三个不 共面 的
向量 ， ， 苫的数量积都为零 ， 难 点在 于条件如何 转化． 我们将条件中的向量数量积运算用 坐标形
的三 向量不共 面转 化 为上 述 齐 次 线性 方 程 组 系数
ｊ 【 二 ＋ 。 ｚ ＋ … ＋ 。 ｚ ｎ ｂ ２ 的 几 ’ Ｉ 系 ， Ｔ 数 Ｙ 行 １ ｌ 列 ｙ ｌ ｌ 式 Ⅱ 式 表示 ， 可得 到一 个齐 次 线 性 方程 组 ， 再 将 条 件 中
用， 通过 举 例说 明克 拉 默法 则 的 引入 ， 使得 解 析 几 何 中很 多结 论有 了更 简洁 的证 明．
定理 （ 克拉 默法则） ： 如 果 线 性 方 程 组
ｒ 口ｌ 】 １＋ 口ｌ ２ ２＋ … ＋ 。１ ｎ ＝ ６１
例１ ［ ３ ］ ． 设 向量 ， ， 不共 面， 证明 ： 如 果 向 量 满 足 ・ ＝０， ・ ＝０ ， ・ ＝０ ， 贝 ０ ＝
中很 多结论 有 了更简洁的证 明．
［ 关键词 ］ 解析几何 ； 克拉默 法则 ； 行列式
［ 中图分类号］ Ｏ １ ８ ２ ． ２
［ 文献标识码］ Ａ
【 文章编号 ］ １ ６ ７ １ — １ ６ ９ ６ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ６ — ０ ０ ０ ４ — 向量 为 工 具 ， 用 代 数 方 法 研究 几何 问题 ， 而 线性 代 数 是 以行 列 式 ， 矩 阵等 工 具来 研究 变 量 之 间 的 线 性 关 系 ， 因此 两 者 是 密
营
＝
分析 ： 本题可以应用平面束理论 证明 ， 即证 明
平 面 ｚ＝ｂ ｘ＋ｎ ｙ 属 于 以 ：ｃ ｙ＋６ ｚ和 Ｙ＝０ ＋ｃ
有 唯一 解．
（ ｂ １ ， ｂ ２ ， ｂ ３ ） ， ＝（ ｃ １ ， ｃ ２ ， ｃ ３ ） ．
因为 ・ ＝０ ， ・ ＝０ ， ・ ＝０ ， 所 以
在 实 际应 用 中 ， 很 多 问题 可 以 由下 面 克 拉 默
法 则 的推论 加 以证 明．
ｒ 口 ｌ ｒ ｌ＋ 口 ２ ｒ ２＋口 ３ ｒ ３＝ ０
Ｊ ｕ ｎ ．， ２ ０１ ５
Ｖｏ ｌ ， ３ １ Ｎｏ ． ６
第３ １ 卷
第 ６期
克拉默法则在解析几何中的应用
方 金 辉 王 智 勇
（ 南京信 息工程大 学数 学－ ９统计 学院 ，江苏南京 ２ ｌ Ｏ ０ ４ ４ ）
［ 摘 要］ 克拉默法则在解析几何 中有着广泛的应用．通过具体例题说 明克拉默法则的 引入使得解析几何
解 Ｃ ２ 名＋Ｄ ２ ）：Ａ 仞 ３ （ Ａ ３ ＋Ｂ ３ Ｙ＋Ｃ ３ 十Ｄ ３ ）＋Ａ ４ （ Ａ ４ ＋
例２ ． 三平 面 ＝ｃ ｙ十ｂ ｚ ， Ｙ 口 ＋ ， ｚ： ｂ ＋ａ ｙ 经 过 同一 直线 的充 要 条件 是 ａ ＋ｂ ＋ｃ ＋
２ ａ ｂ ｃ＝ １ ．
－－－— —
４ － － － — —
＝
，
命 题得 证 ．
面７ 『 既属于 ｆ 为轴的平面束又属于 ｆ 为轴的平面 束．因此一定存在不全为 ０的数 Ａ （ ＝１ ， ２ ， ３ ， ４ ） 使得 零 Ａ １ （ Ａ １ ＋Ｂ １ Ｙ＋Ｃ １ ＋Ｄ １ ）＋Ａ ２ （ Ａ ２ 十Ｂ ２ Ｙ＋
＋。 ：＋ … ＋口
ｚ …
： ６
行 列式不 为零 ， 从 而 可 应 用 克 拉 默 法 则 的推 论 来
证 明此结 论 ． 证明： 设 ＝ （ ｒ １ ， ｒ ２ ， ｒ ３ ） ， ＝（ ０ １ ， ａ ２ ， 口 ３ ） ，
：
Ｉ Ａ ｌ ：ｌ 口 ２ ２ … 口 ２ ｌ ≠ ０ ， 则 线 性 方 程 组 只
２ ０ １ ５年 ６月
江 苏第二 师 范学 院学报 （自然科 学）
Ｊ ｏ ｕ ｍ Ｍ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ Ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ￣ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）