克拉默(Cramer)法则

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carmer法则

克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。

克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。

然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。

此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。

总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。

克拉默(Cramer)法则

定理4 如果线性方程组（1）的系数行列式 D 0
则（1）一定有惟一解。
推论如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式一定为零。
定义
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
第七节
克拉默（Cramer)法则
一、克拉默法则二、重要定理
三、小结、思考题
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
(1)
a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n 0 的系数行列式不等于零，即 D a n1 a n 2 a nn
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解可以表为
D1 D2 D3 Dn x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
2
称为齐次线性方程组。定理5 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式 D 0 ，则（2）没有非零解（即只有零解）。推论如果齐次线性方程组（2）有非零解，则它的系数行列式必为零。

crammer法则

Crammer法则，又称Kramer公式，是一种计算多元方程组的方法，它由德国数学家August Crammer于1909年提出，常用于求解2个或更多未知量之间的关系。Crammer 法则的基本思想是通过构造含有所有未知量的行列式来求解方程组的解，而不需要对各个未知量进行求值。

Crammer法则的步骤如下：

（1）给出n个方程，其中n个未知量分别为x1，x2，…，xn；

（2）把这n个方程放入n*n的矩阵中，其中每一行对应一个方程，要求每一行的系数都是未知量的系数，而最右边的一列是各个方程的右端的常数；

（3）将这个矩阵拆分为n个子矩阵，每个子矩阵都是(n-1)*(n-1)的矩阵，其中去掉未知量xi；

（4）对每一个子矩阵求其行列式，然后把这些行列式乘以未知量xi，形成n个新的行列式；

（5）将这n个行列式放入原来的n*n矩阵中，把最右边的一列空出来作为未知量xi的系数；

（6）最后求出这个n*n矩阵的行列式，然后根据每一个未知量的行列式求出未知量的值。

Crammer法则的优点在于只需要一次构造n*n的矩阵就可以求出多元方程组的解，而不需要进行多次求解，省时省力。但是，Crammer法则也有一定的缺点，就是当n较大时，求行列式的过程会非常复杂，容易出错，而且效率也比较低下。因此，我们应该根据具体的情况选择最合适的解决方案。

克拉默法则判断解的情况

克拉默法则（Cramer's Rule）是一种用于解决线性方程组的数学方法。根据克拉默法则，线性方程组有解的条件是系数行列式不为0，当系数行列式为0时，方程组有无数解。

首先，我们需要了解克拉默法则的基本思想。对于一个n个未知数n个方程的线性方程组，克拉默法则主张将每个方程左端乘以1，再相加，得到的结果就是原方程组的系数行列式。这样做的理由是，这个行列式代表了所有方程的公共部分，即所有方程在公共部分上的值都相等。

根据克拉默法则，一个线性方程组有解的条件是其系数行列式不为0。这个条件有实际意义，因为它保证了至少有一个解（因为若系数行列式为0，则解会变得无规律，不能反映问题的实际含义）。当系数行列式为0时，方程组可以有无穷多解或者无解（如果还有其他约束条件）。

举个例子来说明这个问题。假设我们有一个3个未知数4个方程的线性方程组：

x + y = 2

x - y = 1

2x + 3y = 3

这个方程组的系数行列式为：

1 1 2

1 -1 3

该行列式的值为0，所以这个方程组有无数解。在这种情况下，系数行列式为0保证了存在无数满足条件的x、y值。

如果一个线性方程组的系数行列式为负数，那么该方程组无解。这是因为克拉默法则要求所有等式都相等（或者说等价），当一个等式不成立时（即系数行列式为负数），所有其他等式也就不再成立，因此方程组无解。

总结起来，克拉默法则判断解的情况主要基于两个条件：一是系数行列式不为0，保证至少有一个解；二是系数行列式为0或负数时，可能有无穷多解、无解或有一组负数的解。

需要注意的是，克拉默法则虽然是一种经典的线性代数方法，但在实际应用中仍存在一些局限性。例如，克拉默法则只能处理简单线性方程组，对于更复杂的线性系统可能无法得出有效结果。此外，克拉默法则对系数矩阵的要求较高，如果系数矩阵存在奇异、不适定等问题，克拉默法则可能无法得出正确结果。因此，在实际应用中，通常会结合其他方法如高斯消元法、LU分解等来处理线性方程组。

克拉默法则

c j −c1 c1 + ( c2 + c3 )
1 1
1
1
0
0
得
λ = -2 或λ = 1．
[讨论：易见，对 λ = 1，原三个方程，其实只是一个方程；三个变量中，有两个变量是完全“自由”的．]
作业(P.32)：
1.(1)；
2；
143
解：
D = 1 − 5 3 = −8 ， 1 −1 1 2 1 1 D2 = 1 2 3 = 9 ， 1 −1 1
D1 = 2 − 5 3 = 11 ， −1 −1 1 2 −4 1 D3 = 1 − 5 2 = 6 1 −1 −1
，
∴
x=−
11 , 8
y=−
9 3 , z=− 8 4
．
4.[P.31 例 3] 问 λ 为何值时，方程组
Baidu Nhomakorabea
（1）；
若 bi = 0 ， (i = 1,2, L, n) 则称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组．n 阶行列式
a11 D= a 21 M a n1 a12 a 22 M L a1n L a2n O M
a n 2 L a nn
称为方程组（1）的系数行列式．二. Cramer （克拉默）法则 1.法则内容：若 n 元方程组（1）的系数行列式 D ≠ 0 ，则方程组有唯一解

1.4克拉默(Cramer)法则

其中
a11 a1( j 1) Dj
b1 a1( j 1) a1n
an1 an ( j 1) bn an ( j 1) ann
要证明这一定理,需证明两点.一是有解,二是解惟一,为
xj
证明略
Dj D
( j 1,2, , n)
例1
求解线性方程组
（1.4）
与二,三元方程组类似,n元方程组也可用行列式表示.
一、克拉默法则定理1 若方程（1.4）的系数行列式
D
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2

a1n a2n a nn
0
则方程组有惟一解
Dn D1 D2 x1 , x2 ,, xn D D D
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n1 x2 a nn xn bn
若方程组中的常数项 b1 , b2 ,, bn 不全为0时，称方程组为非齐次线性方程组；否则，称为齐次线性方程组。
2a11 1 2a12 2a 22 1 1 2a 21 n 2 2a n1 2a n 2
0
故方程组有惟一零解。
2a nn 1
小结

克拉默法则

(a11A1k+a21A2k+…+an1Ank)x1+…+(a1kA1k+a2kA2k+ …+ankAnk)xk+ …+ (a1nA1k+a2nA2k+…+annAnk)xn=b1A1k+b2A2k+…+bnAnk
由行列式的性质，上式中对j≠k的xj，其系数为 a1jA1k+a2jA2k+…+anjAnk=0
克拉默法则
解下面进行问题分析与模型建立：设x1表示公司A1的日资金，x2表示公司A2的日资金，x3表示公司A3的日资金．公司A1的10个工作日总收入为10x1，公司A1、公司A2和公司A3三家公司在公司A1的工作天数分别为2天、1天、6天，则公司A1的总支出为2x1+x2+6x3（万元）．由于公司A1总支出与总收入要相等，于是公司A1的收支平衡关系为2x1+x2+6x3=10x1．
克拉默法则
推论4-1
若n×n齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它只有零解．
克拉默法则
推论4-2
若n×n齐次线性方程组有非零解，则必有D=0．
克拉默法则
【例4-2】
问λ取何值时，齐次线性方程组
有非零解. 解由推论4-2可知，若齐次方程组有非零解，则其系数行列式D=0．而

克拉美罗下界公式

克拉默法则（Cramer's Rule），又称克拉默下界公式（Cramer's Lower Bound），是线性代数中的一种求解线性方程组的方法。它是由瑞士数学家克拉默于18世纪初提出的，是一种基于行列式的求解方法。

在线性代数中，线性方程组是由一组线性方程构成的方程组。求解线性方程组的目的是找到使得所有方程都成立的未知数的值。通常，线性方程组的个数与未知数的个数相等，这样才能唯一确定一个解。然而，有时候线性方程组的个数大于未知数的个数，这导致了方程组无解或者有无穷多个解的情况。

克拉默下界公式是一种用于判断线性方程组是否有解的方法。给定一个线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，那么方程组有唯一解；如果系数矩阵的行列式为零，那么方程组可能有无穷多个解，也可能无解。

具体地说，对于一个n元线性方程组，可以将其表示为如下形式：

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

...

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

其中aij表示系数矩阵的第i行第j列的元素，bi表示常数向量的第i个分量，xi表示未知数向量的第i个分量。

根据克拉默下界公式，如果系数矩阵的行列式不为零，即|A| ≠ 0，其中A表示系数矩阵，那么方程组有唯一解。此时，可以通过计算系数矩阵的伴随矩阵与常数向量的乘积，再除以系数矩阵的行列式，得到每个未知数的值。

然而，克拉默下界公式的计算复杂度较高，尤其是当线性方程组的规模较大时，计算量会呈指数级增长。因此，在实际应用中，往往使用其他的求解方法，如高斯消元法、LU分解等，来更高效地解决线性方程组的问题。

高数讲义克拉默(Cramer)法则

( 2)( 3)
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
第七节 Cramer 法则
三、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
xn xn1 Dn2 . 如此继续下去，可得
Dn x1 x2 xn１a x1 x2 xn2 a xn x1 x2 a x4 xn xn xn1 x3 D2
习题课
x1 x2 xn１a x1 x2 xn2 a xn x1 x2 a x4 xn
xn xn1 x3(a x1 a x2 x1 x2)
i1 i1
习题课
评注本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．
第七节 Cramer 法则
定理4 如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
即系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0

克拉默法则解析

克拉默法则，又称克莱姆法则，是线性代数中的一项重要定理，可用于解决线性方程组的求解问题。在本篇文章中，我们将对克拉默法则进行详细解析，了解其原理和应用。

克拉默法则的基本原理是：对于一个n元线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不等于零，那么该方程组存在唯一解，并且可以通过克拉默法则来求解。具体而言，设线性方程组为：

a11*x1 + a12*x2 + … + a1n*xn = b1

a21*x1 + a22*x2 + … + a2n*xn = b2

…

an1*x1 + an2*x2 + … + ann*xn = bn

其中，aij为系数矩阵中的元素，bi为常数列中的元素。如果系数矩阵的行列式不等于零，即|A| ≠ 0，其中A为系数矩阵，那么可以通过克拉默法则求解该线性方程组。

具体而言，为了求解第i个未知数xi，可以按照以下步骤进行：

1. 将系数矩阵中第i列的元素替换为常数列中的元素，得到一个新的矩阵Ai；

2. 计算新矩阵Ai的行列式，记为|Ai|；

3. 则第i个未知数xi的解为xi = |Ai| / |A|。

通过以上步骤，可以依次求解出线性方程组的所有未知数，从而得

到方程组的解。

克拉默法则的优点在于其几何直观性，对于小规模的线性方程组来说，可以方便地使用该方法求解。然而，克拉默法则也存在一些缺点，主要体现在计算复杂度上。由于需要多次计算行列式，对于规模较大

的方程组，克拉默法则的计算量会变得非常庞大，导致效率较低。

此外，克拉默法则对于存在系数矩阵中某一列元素全为零的情况也

无法处理，因为此时系数矩阵的行列式为零，无法使用克拉默法则求解。因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决

克拉默法则原理

克拉黫法则原理是一种线性代数中的重要定理，它描述了关于

线性方程组解的存在唯一性的情况。该原理由瑞士数学家克劳

斯·克拉默于18世纪提出，是线性代数中的基本定理之一。

在线性代数中，克拉默法则原理通常用于解决n个未知数的n

个线性方程组的解的问题。假设有n个未知数x1, x2, ..., xn，

以及n个线性方程：

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1。

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2。

...

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn。

其中aij为系数，bi为常数项。若系数矩阵A的行列式不为0，即|A| ≠ 0，那么该线性方程组有唯一解，可以通过克拉默法则原

理来求解。

克拉默法则原理的具体表述如下，对于n个未知数的n个线性

方程组，如果系数矩阵A的行列式不为0，那么该线性方程组有唯

一解，且第i个未知数的解为xi = |Ai| / |A|，其中|Ai|为将系

数矩阵A的第i列替换为常数项所得到的新矩阵的行列式，|A|为系

数矩阵A的行列式。

克拉默法则原理的应用使得求解线性方程组变得更加直观和简单。通过计算各个未知数的解，可以直接得到线性方程组的解，而

无需进行繁琐的消元和代入操作。

然而，克拉默法则原理也存在一定的局限性。当线性方程组的

系数矩阵A的行列式为0时，克拉默法则原理就不再适用，此时线

性方程组可能无解，或者有无穷多个解。因此，在实际应用中，需

要结合具体情况选择合适的方法来求解线性方程组。

总之，克拉默法则原理是线性代数中的重要定理，它为求解n

克拉默法则公式结论

克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它基于矩阵和行列式的概念。克拉默法则公式结论是克拉默法则的核心内容，它可以用来求解n个线性方程组的未知数。在这篇文章中，我们将详细介绍克拉默法则公式结论，并给出一些具体的例子来帮助读者更好地理解这个概念。

克拉默法则是由瑞士数学家克拉默（Gabriel Cramer）在18世

纪中叶提出的。它的基本思想是通过计算方程组的行列式来求解未知数的值。假设有一个包含n个线性方程的方程组：

a1x1 + a2x2 + … + anx_n = b1

a1x1 + a2x2 + … + anx_n = b2

…

a1x1 + a2x2 + … + anx_n = bn

其中，a1，a2，…，an是方程组的系数，x1，x2，…，xn是

未知数，b1，b2，…，bn是方程组的常数项。

克拉默法则的公式结论是：如果方程组的系数行列式D不等

于0，则方程组有唯一解，并且未知数x1，x2，…，xn的值

可以通过计算系数行列式的n个副行列式来得到。

具体地说，未知数x1的值等于方程组的常数项行列式Db1除

以系数行列式D，未知数x2的值等于方程组的常数项行列式Db2除以系数行列式D，依此类推，未知数xn的值等于方程

组的常数项行列式Dbn除以系数行列式D。

这个公式结论可以用以下的数学表达式来表示：

x1 = Db1 / D

x2 = Db2 / D

…

xn = Dbn / D

其中，D是方程组的系数行列式，Db1，Db2，…，Dbn是将方程组的常数项b1，b2，…，bn替换为未知数x1，x2，…，xn所得到的副行列式。

克拉默法则非齐次等于0

（最新版）

一、克拉默法则简介

二、克拉默法则的非齐次等于 0

三、克拉默法则的应用

四、总结

正文

一、克拉默法则简介

克拉默法则（Cramer"s Rule）是线性代数中一种用于求解线性方程组的方法，特别是在高斯消元法无法求解时，克拉默法则可以有效地求解非齐次线性方程组。克拉默法则的表述为：若线性方程组 Ax=B 的系数行列式|A|=0，且增广矩阵 [A|B] 的行列式|A|B|=0，则方程组无解；若|A|B|≠0，则方程组有唯一解。

二、克拉默法则的非齐次等于 0

在克拉默法则中，当方程组 Ax=B 的系数行列式|A|=0 时，方程组无解。这是因为当|A|=0 时，方程组 Ax=B 中的系数矩阵 A 不满足线性无关，也就是说，方程组中的方程不是线性独立的，因此无法求解。

三、克拉默法则的应用

克拉默法则在求解非齐次线性方程组时具有广泛的应用。例如，在求解实际问题时，我们经常会遇到非齐次的线性方程组，此时克拉默法则可以给出方程组是否有解以及解的情况。此外，克拉默法则还可以用于求解线性方程组的参数问题，即在已知方程组的解为参数形式时，可以利用克拉默法则求解参数。

四、总结

克拉默法则是一种求解非齐次线性方程组的有效方法，特别是在高斯消元法无法求解时，克拉默法则可以给出方程组的解的情况。

线性代数-克拉默法则

克拉默法则先复习在前面得出以下结论：

{a11x1+a12x2=b1

a21x1+a22x2=b2当系数行列式

D=|a11a12

a21a22|≠0方程组有解：

x1=|

b1a12

b2a22|

a11a12

a21a22|

x2=

a11b1

a21b2|

a11a12

a21a22|

那么：

{a11x1+a12x2+a13x3=b1

a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3

当系数行列式D=|a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33

|≠0，方程组有解：

x1=

b1a12a13

b2a22a23

b3a32a33

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33

x2=

a11b1a13

a21b2a23

a31b3a33

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33

x3=

a11a12b1

a21a22b2

a31a32b3

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33

本节要将以上结论推广到含有n个未知数的线性方程组。

设有n个未知数工x1，x2，⋯x n，的n个线性方程的方程组：

{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1

a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=

b n

可表示为：Ax=b

其中系数为A，未知数为x，常量为b。

克拉默法则（Cramer’s Rule）

如果线性方程组Ax=b的系数行列式不等于零：

{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1

克拉默法则

• 分析矩的性质
• 计算矩的具体数值
分析随机变量的相关性
• 通过计算行列式和伴随矩阵的值来分析随机变量的相关性
• 判断随机变量的独立性
• 计算相关系数的具体数值
05
克拉默法则的发展前景及其未来挑战
克拉默法则在当前数学研究中的地位
克拉默法则在线性代数中的应用
克拉默法则在数值分析中的应用
• 求解线性方程组
• 从线性方程组的系数矩阵出发
• 计算系数矩阵的行列式和伴随矩阵
• 利用行列式和伴随矩阵的性质求解方程组
克拉默法则的关键要素及其影响因素
克拉默法则的关键要素
影响克拉默法则的因素
• 线性方程组的系数矩阵
• 线性方程组的性质
• 系数矩阵的行列式
• 系数矩阵的行列式的值
• 系数矩阵的伴随矩阵
• 伴随矩阵的计算方法
• 数值求解线性方程组
• 计算矩阵的行列式
• 计算矩阵的特征值和特征向量
• 分析矩阵的性质
• 分析数值方法的稳定性
克拉默法则在未来数学研究中的发展趋势
克拉默法则在高精度计算中的应用
克拉默法则在非线性方程组求解中的应用
• 提高计算精度
• 研究非线性克拉默法则
• 优化计算方法
• 探讨克拉默法则在非线性问题中的适用范围
求解2x2矩阵的特征值
• 通过计算行列式和伴随矩阵的值来求解特征值

克莱姆(cramer)法则的两种证明方法

克莱姆法则是线性代数中的一个定理，用于求解n元线性方程组的解。它有两种证明方法：代数法证明和几何法证明。

1. 代数法证明：

- 首先，假设有一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个

n×n的矩阵，x和b是n维列向量。

- 根据克莱姆法则，如果A是可逆矩阵，即det(A)≠0，那么方程组有唯一解，解为x=A⁻¹b，其中A⁻¹是A的逆矩阵。

- 现在我们使用线性代数的定理，在矩阵A的逆矩阵存在的条件下，通过线性方程组的变换可以得出唯一解的表达式。

- 我们可以通过对Ax=b两边同时左乘A的逆矩阵A⁻¹，得到x=A⁻¹b。

- 这样就证明了克莱姆法则成立。

2. 几何法证明：

- 首先，我们将n元线性方程组转化为矩阵形式Ax=b，并将其视为方程组的几何表示。

- 根据几何直观，如果矩阵A是可逆的，即行向量或列向量的线性组合不为零，那么方程组有唯一解。

- 当A是可逆矩阵时，矩阵A的行向量或列向量构成一个n维的空间，称为列空间或行空间。

- 如果矩阵A是可逆的，那么由于列空间或行空间的维数等于n，所以方程组有唯一解。

- 因此，几何上的直观理解也证明了克莱姆法则的成立。

这些证明方法都是基于线性代数的基本原理和定理，可以通过严谨的推导和数学推理来证明克莱姆法则的正确性。