克拉默法则
第4讲_克拉默法则
第4讲_克拉默法则克拉默法则，又称克拉默法则(Cramer's Rule)，是线性代数中一种求解线性方程组的方法。
它是基于行列式的性质推导而来的，可以通过求解方程组的系数矩阵的行列式和一系列的余子式来求解方程组的解。
设线性方程组为：a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3对应的系数矩阵为：A=，a1b1c1a2b2ca3b3c假设A的行列式，A，≠0，即A可逆。
克拉默法则的步骤如下：1.求出系数矩阵A的行列式，A。
2.将线性方程组中的常数项d替换成对应的常量向量i，并构成矩阵Ai，其中Ai的第i列替换为常量向量。
3.求出Ai的行列式，Ai。
4.解方程组的解向量为：x=，Ai，/，Ay=，Ai，/，Az=，Ai，/，A克拉默法则的优点是求解方便，特别适用于方程组的规模较小的情况。
然而，它的缺点是计算量较大，需要求系数矩阵和每个常量向量的行列式，不适用于大规模的方程组求解。
以下是一个数值例子来说明克拉默法则的应用：假设有方程组：2x+y-z=14x-6y=-2-2x+7y+2z=3我们可以转换为系数矩阵和常数向量的形式：A=，21-14-6-27d=，1-首先，计算系数矩阵A的行列式，A。
A，=2(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(4)(7)=-12+0-28=-40然后，分别计算对应常量向量的行列式。
A1，=1(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(-2)(7)=12+0+14=26A2，=2(0)(2)+1(4)(-2)+(-1)(-2)(7)=0-8+14=6A3，=2(-6)(-2)+1(4)(7)+(-1)(-2)(0)=24+28+0=52最后，根据克拉默法则的公式，我们可以得出解向量：x=，A1，/，A，=26/-40=-0.65y=，A2，/，A，=6/-40=-0.15z=，A3，/，A，=52/-40=-1.3因此，方程组的解为x=-0.65，y=-0.15，z=-1.3总结来说，克拉默法则是一种通过求解行列式的方法来求解线性方程组的解的方法。
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。
carmer法则
carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。
这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。
不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。
克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。
具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。
然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。
实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。
因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。
此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。
即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。
总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。
第七节克拉默法则
第七节克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的运算法则，可以用来解决线性方程组的问题。
它是由17世纪的数学家克拉默提出的，可以用来求解n元线性方程组的解。
设有n个未知数和n个线性方程，可以表示成如下形式的方程组：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann是系数矩阵，x1, x2, ..., xn是未知数向量，b1, b2, ..., bn是常数向量。
使用克拉默法则求解线性方程组的步骤如下：1.计算系数矩阵的行列式D：D = ，a11, a12, ..., ann2.用常数向量替换系数矩阵的第i列，得到新的n阶矩阵Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an3.计算新矩阵的行列式Di：Di = ，a1, a2, ..., ai-1, bi, ai+1, ..., an4. 通过D和Di的比值得到未知数xi的值：xi = Di / D使用克拉默法则求解线性方程组的优点是计算简单明了，但是也存在一些缺点。
首先，使用克拉默法则需要对每个未知数分别求解，计算复杂度较高，尤其当未知数的个数较多时，计算量会很大。
其次，克拉默法则只适用于方程组的系数矩阵的行列式不为0的情况，即只有在系数矩阵满秩时才能使用克拉默法则求解。
克拉默法则的一个典型应用是求解二元线性方程组。
设有二元线性方程组：a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2根据克拉默法则，先计算系数矩阵的行列式D：D=，a11,a12a21,a2再计算常数向量替换第1列和第2列分别得到的行列式D1和D2：D1=，b1,a12b2,a2D2=，a11,b1a21,b最后，根据克拉默法则的公式得到未知数x1和x2的值：x1=D1/Dx2=D2/D克拉默法则的应用并不局限于二元线性方程组，同样适用于多元线性方程组。
【精品】克拉默法则
【精品】克拉默法则
克拉默法则又称为“不抱怨法则”，它是由美国教育家、心理学家和职业咨询师哈罗德·克拉默（Harold Kramar）于1960年提出的一种心理学理论，用来让人们在处理情绪上更加有效率和实用。
根据克拉默法则，人们应该消除不必要的情绪，避免无谓的负面情绪，把注意力集中在解决问题上。
如果一个人把自己的思想集中在解决问题上，而不是抱怨困难，他将更有效率地完成自己的工作。
克拉默法则的基本思想是，有助于提高创造力、解决问题的方法，是消除不必要的情绪、注重客观的面对困难，但是千万不能把情绪藏在心底，否则会损害自己的心理健康。
因此，如果发生挫折、痛苦或抗争时，一定要将情感表达出来，只要不误用，就不会被把自己反馈圈闭，避免无谓的担心发泄。
克拉默法则还表明，要把自己的能量集中在自己的目标上，不要把注意力分散在大量的负面情绪和抱怨上，因为这样只会消耗自己的时间和精力，而不会出现任何收获。
总之，克拉默法则强调了重要性，当人们遇到任何问题或困难时，都应该摆脱无谓的抱怨和负面情绪，而应该专注于如何解决这些问题和困难，避免被情绪消耗而无法取得最佳收获。
克拉默法则
142
线性代数讲稿
⎧λx1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 0 ⎪ x + x + λx = 0 2 3 ⎩ 1
有非零解． 解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ 1 1 0 = 1 λ 1 ====== (λ + 2) 1 λ 1 再c1 ÷( λ + 2 ) 1 1 λ 1 1 λ === (λ + 2) 1 λ − 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , j = 2,3 1 0 λ −1
线性代数讲稿
§1.4
一.基本概念
克拉默（Cramer）法则
关于 n 个待求量 xi 的 n 个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 2 22 2 2n n 2 ⎨ M M ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
xj = Dj D
( j = 1,2, L , n)
（2）
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列换成（1）中右端的 b1,b2,…,bn 所构成的 n 阶行列式，
即
Dj =
a11 L a1 j −1 a 21 L a 2 j −1
b1 b2
a1 j +1 L a1n a 2 j +1 L a 2 n M a n j +1 M M L an n
c j −c1 c1 + ( c2 + c3 )
克拉默法则
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6
例 解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8,
x1 3x2 2x2
6x4 9, x3 2x4 5,
x1 4x2 7x3 6x4 0.
解 2 1 5 1 1 3 0 6
D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2 r2 r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
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13
三、小结
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．
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14
1 1 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D . 0
所以 0、 时2、 齐3次方程组有非零解.
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12
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
我们关心的问题是齐次线性方程组除零解以外是否存齐次线性方程组的相关定理定理5如果齐次线性方程组的系数行列式定理5如果齐次线性方程组有非零解则它的系数行列式必这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件
§7 克拉默法则
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1
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
设 a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn b2
(1)
an1x1 an2x2 annxn bn
克拉默法则
4 1
1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
4.小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2
a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
易知， x1 x2 xn 0 一定是(2)的解，
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
再把 n 方程依次相加，得
n k 1
ak1 Akj
x1
n
k
1
akj
Akj
线性代数课件1-7克拉默法则
克拉默法则也可以用来判断线性方程 组的解的情况，通过计算系数行列式 和常数项的乘积，可以判断方程组是 否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有 唯一解；如果系数行列式为零但常数 项的乘积不为零，则方程组无解；如 果系数行列式为零且常数项的乘积为 零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求 解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法， 用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后 通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设 的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与 限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程 组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克 拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方 程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩 阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于 系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可 以得到线性方程组的解。
克拉默法则推导
克拉默法则推导至此为止我们已经掌握了一些关于线性方程组的解的线性代数内的内容，在开始这一章的博客之前，我先来个小结：①利用系数矩阵的秩来判断解的情况②利用系数矩阵的行列式来判断解的情况③齐次/非齐次线性方程组的通解求解方法④矩阵的逆与方程的解的关系，并给出了矩阵的逆的求法。
1克拉默法则（1）适用条件：只适用于n个方程，n个未知量，且具有唯一解的情况（因为要使用到系数矩阵的行列式，且行列式|A|≠0）（2）克拉默法则的内容：对于一个n个方程，n个未知量，且具有唯一解的线性方程组来说，它的唯一解是：X = ( ∣ B 1 ∣ ∣ A , ∣ B 2 ∣ ∣ A , . . . . . . , ∣ B n ∣ ∣ A , ) TX=(\frac{|B_{1}|}{|A},\frac{|B_{2}|}{|A},......,\frac{|B_{n}|}{| A},)^{T} X=(∣A∣B1∣,∣A∣B2∣,......,∣A∣Bn∣,)T解释：其中的|A|指的是方程Ax=b的系数矩阵的行列式|A|而|B|指的是用常数项替换了系数矩阵的某一列后的矩阵的行列式，例如：对于下面这个方程组来说根据克拉默法则，有以下等式：∣ A ∣ = ∣ 2 − 1 − 1 2 ∣ = 3∣ B 1 ∣ = ∣ 0 − 1 3 2 ∣ = 3∣ B 2 ∣ = ∣ 2 0 − 1 3 ∣ = 6 |A|=\left|\begin{array}{cccc} 2 &-1 \\ -1 &2 \\ \end{array}\right|=3\\ \ \\ |B_{1}|=\left |\begin{array}{cccc} 0 &-1 \\ 3 &2 \\\end{array}\right|=3\\ \ \\ |B_{2}|=\left |\begin{array}{cccc} 2 &0 \\ -1 &3 \\ \end{array}\right|=6 ∣A∣=∣∣∣∣2−1−12∣∣∣∣=3∣B1∣=∣∣∣∣03−12∣∣∣∣=3∣B2∣=∣∣∣∣2−103∣∣∣∣=6可以看到，其实所谓的|B|，就是对应下标所在列被常数项替换后的行列式的结果。
克拉默法则
则 即
A1 ( AX ) A1b
X A1b
故 A 1b 是方程组（9）的唯一解向量． | An | | A1 | | A2 | 1 , , , 最后证明 A b 的n个分量就是： | A| | A| | A| 1 1 1 1 Ab 由逆阵公式 A A ，有 x A b | A| | A| A11 A21 An1 b1 x1 x2 A12 A22 An2 b2 1 即 | A | xn A1n A2 n Ann bn
证明 把方程组（9）写成矩阵方程
Ax b
因 | A | 0 ，故 A 1存在.
1
（ 9）
代入（9）中有 首先证明（9）有解： 将 A b ，
A( A b) ( AA )b bБайду номын сангаас
故 A 1b 是（9）的解. 再证明（9）的解是唯一的： 设 X 是（9）的任意一个解，有
1
1
AX b
| A1 | 1 | A2 | | A| | An |
b1
a12 a1n
b2 a22 a2 n | A1 | bn an2 ann
例16 用克拉默法则解方程组
x1 x2 x3 2 2 x1 x2 3 x3 1 3 x 2 x 5 x 0 1 2 3
即有 x1 5, x2 0, x3 3
二、小结
克拉默法则 注：用克拉默法则求解方程组时要注意两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
三、作业
P.54. 15
| A3 | 9 | A2 | 0 | A1 | 15 3, 0, x3 x1 5, x2 | A| 3 | A| 3 | A| 3
克拉美罗下界公式
克拉美罗下界公式克拉默法则（Cramer's Rule），又称克拉默下界公式（Cramer's Lower Bound），是线性代数中的一种求解线性方程组的方法。
它是由瑞士数学家克拉默于18世纪初提出的，是一种基于行列式的求解方法。
在线性代数中，线性方程组是由一组线性方程构成的方程组。
求解线性方程组的目的是找到使得所有方程都成立的未知数的值。
通常，线性方程组的个数与未知数的个数相等，这样才能唯一确定一个解。
然而，有时候线性方程组的个数大于未知数的个数，这导致了方程组无解或者有无穷多个解的情况。
克拉默下界公式是一种用于判断线性方程组是否有解的方法。
给定一个线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，那么方程组有唯一解；如果系数矩阵的行列式为零，那么方程组可能有无穷多个解，也可能无解。
具体地说，对于一个n元线性方程组，可以将其表示为如下形式：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中aij表示系数矩阵的第i行第j列的元素，bi表示常数向量的第i个分量，xi表示未知数向量的第i个分量。
根据克拉默下界公式，如果系数矩阵的行列式不为零，即|A| ≠ 0，其中A表示系数矩阵，那么方程组有唯一解。
此时，可以通过计算系数矩阵的伴随矩阵与常数向量的乘积，再除以系数矩阵的行列式，得到每个未知数的值。
然而，克拉默下界公式的计算复杂度较高，尤其是当线性方程组的规模较大时，计算量会呈指数级增长。
因此，在实际应用中，往往使用其他的求解方法，如高斯消元法、LU分解等，来更高效地解决线性方程组的问题。
总结起来，克拉默下界公式是一种用于判断线性方程组是否有唯一解的方法。
通过计算系数矩阵的行列式是否为零，可以确定方程组的解的情况。
然而，在实际应用中，由于计算复杂度较高，往往使用其他的求解方法来更高效地解决线性方程组的问题。
克拉默法则解析
克拉默法则解析克拉默法则，又称克莱姆法则，是线性代数中的一项重要定理，可用于解决线性方程组的求解问题。
在本篇文章中，我们将对克拉默法则进行详细解析，了解其原理和应用。
克拉默法则的基本原理是：对于一个n元线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不等于零，那么该方程组存在唯一解，并且可以通过克拉默法则来求解。
具体而言，设线性方程组为：a11*x1 + a12*x2 + … + a1n*xn = b1a21*x1 + a22*x2 + … + a2n*xn = b2…an1*x1 + an2*x2 + … + ann*xn = bn其中，aij为系数矩阵中的元素，bi为常数列中的元素。
如果系数矩阵的行列式不等于零，即|A| ≠ 0，其中A为系数矩阵，那么可以通过克拉默法则求解该线性方程组。
具体而言，为了求解第i个未知数xi，可以按照以下步骤进行：1. 将系数矩阵中第i列的元素替换为常数列中的元素，得到一个新的矩阵Ai；2. 计算新矩阵Ai的行列式，记为|Ai|；3. 则第i个未知数xi的解为xi = |Ai| / |A|。
通过以上步骤，可以依次求解出线性方程组的所有未知数，从而得到方程组的解。
克拉默法则的优点在于其几何直观性，对于小规模的线性方程组来说，可以方便地使用该方法求解。
然而，克拉默法则也存在一些缺点，主要体现在计算复杂度上。
由于需要多次计算行列式，对于规模较大的方程组，克拉默法则的计算量会变得非常庞大，导致效率较低。
此外，克拉默法则对于存在系数矩阵中某一列元素全为零的情况也无法处理，因为此时系数矩阵的行列式为零，无法使用克拉默法则求解。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决线性方程组问题。
总的来说，克拉默法则是一种重要的线性代数工具，可以用于求解小规模线性方程组的解，对于教学和理论研究具有一定的意义。
然而，在实际应用中，需要结合具体情况综合考虑，选择合适的算法来解决线性方程组求解问题。
克拉默法则通俗解释
克拉默法则通俗解释克拉默法则（CramerRule）是一种解决线性方程组的有效方法，也称作“克拉默求解法”或“互补余子式法”。
#### 一、拉默法则的概念克拉默法则（Cramer Rule）是一种解决线性方程组的有效方法，它可以帮助我们快速解决线性方程组，而无需数值计算，从而节省计算时间。
其原理是：在任意一维线性方程组中，若方程系数矩阵的行列式为不零，则方程的解有一个唯一解，而克拉默法则即是根据此原理求出方程组的解。
#### 二、克拉默法则的具体步骤1.先，根据给定的线性方程组，将其表示为一个矩阵形式，即系数矩阵。
2.后，计算原方程组的行列式，若行列式值不等于0，则方程组有唯一解，否则无解。
3.下来，将原方程组中每个变量所在的列都用变量代替，求出每一个替换后方程组的行列式，即可得到该变量的值。
4.后，根据得到的变量值，即可得出当前方程组的解。
#### 三、克拉默法则的应用实例克拉默法则可以解决多维线性方程组，其中实际应用也很广泛，其中就包括了求未知的系数、求矩阵的逆等问题。
例如，有如下一个四元一次方程组：2x + 5y - 3z + 6w = 153x - 7y - 2z - 4w = -125x + 2y + 6z + 8w = 16-4x + 7y - 5z - 6w = -19要解决这个四元一次方程组，首先将其表示为系数矩阵：A = | 2 5 -3 6 || 3 -7 -2 -4 || 5 2 6 8 || -4 7 -5 -6 |此时，系数矩阵A的行列式为-40，为非0，因此该四元一次方程组有解。
接下来，我们可以将A中的每一列都用方程右侧的常数替换，求出每一替换后的方程的行列式，分别为40、40、40、40，即每一变量的值都为1，从而得出结论：x=1、y=1、z=1、w=1是该四元一次方程组的一组解。
通过上面的实例，我们可以看出，克拉默法则可以有效地解决多维线性方程组，并且不需要使用任何数值计算方法，从而节省计算时间。
第七节 克拉默法则
8 9 5 0
1 6 2 6
1 3 2 4
5 0 1 7
8 9 5 0
故
x1 x3
D1 D D3 D
81 27
3
x2 x4
D2 D D4 D
108 27 27 27 1
4
27 27
1
第一章
行列式
（二）重要定理 【定理1】 若线性方程组（1）的系数行 列式 D
D
5 2 2
2 6 0
2 0 4
0
即 ( 5 )( 2 )( 8 ) 0 解得
2, 5, 8
第一章
行列式
内容小结 一、利用克拉默法则解线性方程组的 条件： （1）方程的个数=未知数的个数 （2）系数行列式 D
0
第一章
行列式
0， 且解是唯一的。 则（1）一定有解，
【定理2】 若线性方程组（1）无解或有 两个不同的解， 则（1）的系数行列式 D 定理1与定理2互为逆否命题。
0。
第一章
行列式
1 2 n
方程组（1）右端的常数项 b , b , , b 不全 为零时， 线性方程组（1）称为非齐次线性方程 当 组； b , b , , b 全为零时， 线性方程组（1）称 为齐次线性方程组。
解
D
2 1 0 1
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 r1 2 r2 2 6
r4 r2
0 1 0 0
7 3 2 7
5 0 1 7
13 6 2 12
第一章
7 2 7 5 1 7
8 D1 9 5 0
81
克拉默法则
0
i j.
●定义法
●递推法
●加边法
计
●数学归纳法
算
●公式法
●拆项法
应
●克拉默法则
用
●齐次线性方程组有非零解的充要条件
3
二、主要定理
1、行列式的展开定理.
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
= ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin
定理 如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1D1 D Nhomakorabea,
x2
D2 D
,
x3
n-1
1
2
x n-1 n
例题：请问三阶行列式
a1 x b1 x c1 x
f x a2 x b2 x c2 x
a3 x b3 x c3 x
x 作为 的多项式，是几次多项式？
分析：根据行列式定义，是取自不同行不同列元素乘 积的代数和，所以化简后可知其最高次数是一次。
克拉默法则
克拉默法则的优点及其适用范围
克拉默法则的优点
• 理论严谨，基于行列式和伴随矩阵的概念
• 适用范围广泛，适用于n个方程和n个未知数的线性方程组
• 计算过程简单，只需计算行列式和伴随矩阵的值
克拉默法则的适用范围
• 线性方程组求解
• 矩阵性质分析
• 数值方法分析
克拉默法则的缺点及其局限性
克拉默法则的缺点
• 拓展应用领域
• 开发高效的数值算法
克拉默法则面临的主要挑战及其解决方案
克拉默法则在其他数学问题中的应用挑战
• 拓展克拉默法则的应用领域
• 研究克拉默法则在其他数学问题中的性质和定理
• 开发高效的数值算法
克拉默法则计算复杂度高的挑战
• 研究降低计算复杂度的方法
• 开发高效的数值算法
• 利用并行计算和分布式计算技术提高计算效率
克拉默法则（Cramer's Rule）是一种求解线性方程组的数值方法
• 1750年，瑞士数学家克拉默（Gabriel Cramer）提出
• 适用于求解线性方程组中的未知数
• 基于行列式和伴随矩阵的概念
克拉默法则在数学中的应用领域
线性代数
• 求解线性方程组
• 计算矩阵的行列式
• 分析矩阵的性质
求解2x2矩阵的特征值
• 通过计算行列式和伴随矩阵的值来求解特征值
• 分析特征值的性质
• 计算特征值的具体数值
求解3x3矩阵的特征值
• 通过计算行列式和伴随矩阵的值来求解特征值
• 分析特征值的性质
• 计算特征值的具体数值
克拉默法则在其他数学问题中的应用实例
求解概率分布函数的矩
• 通过计算行列式和伴随矩阵的值来求解概率分布函数的矩
克拉默法则判断解的情况
克拉默法则判断解的情况摘要：I.引言- 介绍克拉默法则II.克拉默法则的原理- 解释克拉默法则的数学原理- 克拉默法则的适用范围III.克拉默法则判断解的情况- 判断齐次线性方程组有唯一解的情况- 判断齐次线性方程组无解或无穷多解的情况- 判断非齐次线性方程组有解的情况IV.结论- 总结克拉默法则在判断解的情况中的应用正文：I.引言克拉默法则（Cramer"s Rule）是一种求解线性方程组的方法，它是一种基于行列式的计算方法。
在线性代数中，克拉默法则被广泛应用于求解线性方程组。
本文将详细介绍克拉默法则判断解的情况。
II.克拉默法则的原理克拉默法则基于线性代数中的行列式。
给定一个线性方程组，我们可以通过计算行列式来判断方程组的解的情况。
克拉默法则的数学原理是，如果线性方程组的系数行列式不为零，那么方程组有唯一解；如果系数行列式为零，那么方程组无解或无穷多解。
克拉默法则适用于变量和方程数目相等的线性方程组。
也就是说，如果线性方程组有n个未知数，那么克拉默法则适用于这种情况。
III.克拉默法则判断解的情况克拉默法则可以用来判断齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的情况。
1.判断齐次线性方程组有唯一解的情况给定齐次线性方程组：```a11 * x1 + a12 * x2 + ...+ a1n * xn = 0a21 * x1 + a22 * x2 + ...+ a2n * xn = 0...an1 * x1 + an2 * x2 + ...+ ann * xn = 0```如果系数行列式D≠0，那么齐次线性方程组有唯一解。
2.判断齐次线性方程组无解或无穷多解的情况如果系数行列式D=0，那么齐次线性方程组无解或无穷多解。
在这种情况下，方程组的解不唯一，可能存在无数个解。
3.判断非齐次线性方程组有解的情况给定非齐次线性方程组：```a11 * x1 + a12 * x2 + ...+ a1n * xn = b1a21 * x1 + a22 * x2 + ...+ a2n * xn = b2...an1 * x1 + an2 * x2 + ...+ ann * xn = bn```如果系数行列式D≠0且b1, b2, ..., bn不全为零，那么非齐次线性方程组有解。
克拉默法则
x y 1 k z 0 4 x (3 k ) y 2z 0 (1 k ) x 2 y 3z 0
因方程组有非零解，所以
.
1 4 1 k
1 3k 2
1 k 2 3 k k 1 k 6 0，
第三节 克拉默法则
一、克拉默法则
二、齐次线性方程组
一、克拉默法则
线性方程组 优点 解二元线性方程组
行列式
规范 简洁 清晰
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
根据消元法，得
当 a11a22 a12a21 0 时
b1 b2 b1a22 b2a12 x1 a11a22 a12a21 a11 a21 a11 a21 b2a22 b1a12 x2 a11a22 a12a21 a11 a21
x1 x2 1 x1 x2 1 2 x1 4 x2 2 (1) , (2) , (3) 。 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 2 x2 1
结论：（1）方程组有唯一解。 （2）方程组无解。 （3）方程组有无穷解。
关于克拉默法则的等价命题
a11 x1 a12 x2 ... a1 n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ... an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
(1)
定理10.3 如果线性方程组(1)的系数行列 式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且 解是唯一的 . 定理10.4 如果线性方程组无解或有两个 不同的解，则它的系数行列式必为零.
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克拉默法则
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
D b1 b2 a12 a22
a11 a21
a12 a22 D2
(方程组的系数行列式)
D1
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn a11 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann 0 (1) 1
4 1 ( 2)( 3) 1
D
2 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D 0 .
2 3 时齐次方程组有非零解. 所以 0、、
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
r1 2r2
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 c1 2c2 2 1 2 7 7 12 c3 2c2
3 5
3
0 1 0 27 0 7 7 2
2 D2 1 1 8 9 0 5 0 7 1 6 2 6
8 D1 9 5 0 81
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6
0 5 1
= 108
2 D3 0 1 27
1 2 4
8 9 5 0
1 6 2 6 D4
2 0 1 27
1 2 4
5 0 7
8 9 0
1 3
1 3
1 5
D1 81 x1 3, D 27
a11 Dj a n1
a1, j 1 a n , j 1
b1 bn
a1, j 1 an , j 1
a1n ann
定理中包含着三个结论：
•方程组有解；（解的存在性） •解是唯一的；（解的唯一性）
•解可以由公式(2)给出.
这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论.
非零解的必要条件.
2. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零
练习题：问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则 称为非齐次线性方程组. 齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个 解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但 不一定有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存 在着非零解.
齐次线性方程组的相关定理
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0 ，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必 为零. 备注 1. 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有
三、小结
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．
例
解线性方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3x 6 x4 9, 1 2 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
解
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
D3 27 x3 1, D 27
D2 108 x2 4, D 27
D4 27 x4 1. D 27
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 线性方程组 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
的系数行列式不等于零，即 D
a21 a n1
那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成
D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
Dn , xn . D
(2)
其中D j是把系数行列式 D中第 j 列的元素用方程组右端的 常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
关于克拉默法则的等价命题
设
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn (1)
定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则 该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零.