克拉默法则
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§7
克拉默法则
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
D b1 b2 a12 a22
a11 a21
a12 a22 D2
(方程组的系数行列式)
wk.baidu.comD1
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
例
解线性方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3x 6 x4 9, 1 2 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
解
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
8 D1 9 5 0 81
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6
0 5 1
= 108
2 D3 0 1 27
1 2 4
8 9 5 0
1 6 2 6 D4
2 0 1 27
1 2 4
5 0 7
8 9 0
1 3
1 3
1 5
D1 81 x1 3, D 27
的系数行列式不等于零，即 D
a21 a n1
那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成
D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
Dn , xn . D
(2)
其中D j是把系数行列式 D中第 j 列的元素用方程组右端的 常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
D3 27 x3 1, D 27
D2 108 x2 4, D 27
D4 27 x4 1. D 27
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 线性方程组 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
r1 2r2
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 c1 2c2 2 1 2 7 7 12 c3 2c2
3 5
3
0 1 0 27 0 7 7 2
2 D2 1 1 8 9 0 5 0 7 1 6 2 6
关于克拉默法则的等价命题
设
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn (1)
定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则 该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零.
非零解的必要条件.
2. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零
练习题：问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？
1
解
2 3 1
4 1 ( 2)( 3) 1
D
2 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D 0 .
2 3 时齐次方程组有非零解. 所以 0、、
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则 称为非齐次线性方程组. 齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个 解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但 不一定有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存 在着非零解.
齐次线性方程组的相关定理
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0 ，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必 为零. 备注 1. 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有
三、小结
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．
a11 Dj a n1
a1, j 1 a n , j 1
b1 bn
a1, j 1 an , j 1
a1n ann
定理中包含着三个结论：
•方程组有解；（解的存在性） •解是唯一的；（解的唯一性）
•解可以由公式(2)给出.
这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论.
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn a11 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann 0 (1)
克拉默法则
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
D b1 b2 a12 a22
a11 a21
a12 a22 D2
(方程组的系数行列式)
wk.baidu.comD1
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
例
解线性方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3x 6 x4 9, 1 2 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
解
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
8 D1 9 5 0 81
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6
0 5 1
= 108
2 D3 0 1 27
1 2 4
8 9 5 0
1 6 2 6 D4
2 0 1 27
1 2 4
5 0 7
8 9 0
1 3
1 3
1 5
D1 81 x1 3, D 27
的系数行列式不等于零，即 D
a21 a n1
那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成
D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
Dn , xn . D
(2)
其中D j是把系数行列式 D中第 j 列的元素用方程组右端的 常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
D3 27 x3 1, D 27
D2 108 x2 4, D 27
D4 27 x4 1. D 27
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 线性方程组 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
r1 2r2
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 c1 2c2 2 1 2 7 7 12 c3 2c2
3 5
3
0 1 0 27 0 7 7 2
2 D2 1 1 8 9 0 5 0 7 1 6 2 6
关于克拉默法则的等价命题
设
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn (1)
定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则 该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零.
非零解的必要条件.
2. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零
练习题：问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？
1
解
2 3 1
4 1 ( 2)( 3) 1
D
2 1
如果齐次方程组有非零解，则必有 D 0 .
2 3 时齐次方程组有非零解. 所以 0、、
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则 称为非齐次线性方程组. 齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个 解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但 不一定有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存 在着非零解.
齐次线性方程组的相关定理
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0 ，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必 为零. 备注 1. 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有
三、小结
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．
a11 Dj a n1
a1, j 1 a n , j 1
b1 bn
a1, j 1 an , j 1
a1n ann
定理中包含着三个结论：
•方程组有解；（解的存在性） •解是唯一的；（解的唯一性）
•解可以由公式(2)给出.
这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论.
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn a11 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann 0 (1)