2020年甘肃省白银市靖远县高考数学第四次联考试卷(理科)(四模)

2020年甘肃省白银市靖远县高考数学第四次联考试卷（理科）（四模）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|0≤x≤4}，B={x|x−2<0}，则A∩B=()
A. {x|0≤x<2}
B. {x|x<2}
C. {x|0≤x≤4}
D. {x|x≤4}
2.在复平面内，表示复数z=1+2i
1−i
的点位于()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.要得到函数y=sin(3x+2)的图象，只需将函数y=sin(3x−1)的图象()
A. 向左平移3个单位长度
B. 向右平移3个单位长度
C. 向左平移1个单位长度
D. 向右平移1个单位长度
4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2n+a，则a=()
A. 0
B. −2
C. −1
D. 1
5.在△ABC中，点D在线段BC上，且CD=2BD，E为AC的中点，则DE
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()
A. −2
3AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +1
6
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ B. −2
3
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ −1
6
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2
3
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ −1
6
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ D. 2
3
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +1
6
AC
⃗⃗⃗⃗⃗
6.用一个平面去截正方体，则截面不可能是()
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形
7.在数列{a n}中，a2=3，a3=5，且a n+2=2a n+1−a n，则a6=()
A. 9
B. 11
C. 13
D. 15
8.(3x+2)(2x−1)5展开式中x3的系数为()
A. 40
B. 80
C. −40
D. −80
9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x=2对称，当0<x<2时，f(x)=2x+2−
x，则f(5)=()
A. 3
B. −3
C. 7
D. −7
10.在四面体ABCD中，BD=AC=2，AB=BC=CD=DA=√3，E，F分别为AD，BC的中点，则异
面直线EF与AC所成的角为()
A. π
6B. π
4
C. π
3
D. π
2
11.设双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点Q(0,b).已知点P在双曲线C的左支上，且P，
Q，F不共线，若△PQF的周长的最小值是8a，则双曲线C的离心率是() A. 3 B. √3 C. 5 D. √5
12. 设函数f(x)是定义在[1,+∞)上的单调函数，且∀x ∈[1,+∞)，f(f(x)+x −lnx)=0.若不等式f(x)−
f′(x)≤a(x −1)对x ∈[1,+∞)恒成立，则a 的取值范围是( )
A. (−∞,−1
4]
B. [−1
4,+∞)
C. (−∞,1]
D. [1,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)=log 2(x +1)+3，若f(a +2)=5，则a =______．
14. 已知实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≥0,
x −y +2≥0,2x −y −5≤0,
则z =x +3y −4的最小值为______．
15. 辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块．农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上
木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种．这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若．若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为______．
16. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，直线l ：y =kx +b(k ≠0)与抛物线C 交于A ，B 两点，
且|AF|+|BF|=6，线段AB 的垂直平分线过点M(0,4)，则抛物线C 的方程是______；若直线l 过点F ，则k =______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知4c =b +4acosB ．
(1)求sin A ；
(2)若a =4，且b +c =6，求△ABC 的面积．
18. 在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E 为AC 的中点，且AC =2BE ．
(1)证明：BC ⊥平面PAB ．
(2)若PA =AB =BE ，求二面角A −PB −E 的余弦值．
19.已知函数f(x)=x+1
e x
−a(a∈R)．
(1)当a=−2时，求f(x)的最值；
(2)讨论f(x)的零点个数．
20.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√3
2
，且椭圆C的右顶点到直线x−y+√2=0的距离为
3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P(2,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值(O为坐标原点)．
21. 某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会．甲、乙两人参加“射击气球”这项比
赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击n 次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束．已知甲、乙每次击中气球的概率均为2
3.记X i ，Y i (i =1,2，3，…，n)分别表示甲、乙第i 次射击的得分．
(1)若n =3，记乙的累计得分为Y ，求Y >3的概率． (2)①求数学期望EX 1，EY 1，EX 2；
②记a 1=EX 1，a 2=EY 1，a 3=EX 2，….证明：数列{a n −3}为等比数列．
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t y =1+3t (t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{
x =m 2−1
y =2m
(m 为参数)．
(1)求曲线C 1，C 2的普通方程；
(2)已知点M(2,1)，若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求||MA|−|MB||的值．
23.已知函数f(x)=|x−2|+|2x−1|．
(1)求不等式f(x)<6的解集；
(2)若函数f(x)的最小值为m，且实数a，b满足a2+b2=2m，求3a+4b的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵A={x|0≤x≤4}，B={x|x<2}，
∴A∩B={x|0≤x<2}．
故选：A．
可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B
【解析】解：由复数除法运算，可得z=1+2i
1−i =(1+2i)(1+i)
(1−i)(1+i)
=−1
2
+3
2
i，
∴z在复平面内对应点的坐标为(−1
2,3
2
)，位于第二象限．
故选：B．
根据复数除法运算，化简即可判断对应的点所在象限．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为y=sin(3x+2)=sin[3(x+1)−1]，所以要得到函数y=sin(3x+2)的图象，只需把函数y=sin(3x−1)的图象上所有的点向左平移1个单位长度．
故选：C．
y=sin(3x+2)=sin[3(x+1)−1]，然后根据函数图象的平移变换法则即可得解．
本题考查三角函数的图象变换，理解图象的变换法则是解题的关键，考查学生的运算求解能力与推理论证能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：a1=21+a=2+a，a2=S2−S1=2，a3=S3−S2=4，
∴(2+a)⋅4=4，求得a=−1
故选：C．
先根据等比数列的前n项的和分别求得a1，a2，a3的值进而利用等比数列的等比中项求得a．
本题主要考查了等比数列的前n 项的和，以及等比数列的等比中项的知识点．注重了对等比数列基础知识的考查．
5.【答案】A
【解析】解：如图，
根据题意得，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
6
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．
根据题意即可得出DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后带入DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 进行向量的数乘运算即可用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出DE
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：画出截面图形如图 显然A 正三角形，B 正方形：D 正六边形 可以画出五边形但不是正五边形； 故选：C ．
画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项． 本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，
是解好本题的关键． 7.【答案】B
【解析】解：因为a n+2=2a n+1−a n ，所以a n+2−a n+1=a n+1−a n ，所以数列{a n }是等差数列． 因为a 2=3，a 3=5，所以a 1=1，d =2，所以a 6=a 1+5d =11．
故选：B．
利用数列的递推关系式推出数列是等差数列，求出公差，然后求解a6即可．
本题考查等差数列，考查运算求解能力，是基本知识的考查．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，(2x−1)5展开式的通项为T r+1=(−1)r⋅C5r⋅(2x)5−r，
当r=2时，T3=C52⋅(2x)3=80x3，此时(3x+2)(2x−1)5的展开式中含x3的项为3x⋅(−40x2)，
当r=3时，T4=−C53⋅(2x)2=−40x2，此时(3x+2)(2x−1)5的展开式中含x3的项为2×80x3，
则(3x+2)(2x−1)5的展开式中含x3的项为3x⋅(−40x2)+2×80x3=40x3，
故(3x+2)(2x−1)5展开式中x3的系数为40；
故选：A．
根据题意，求出(2x−1)5展开式的通项，由多项式乘法的性质分r=2和r=3两种情况讨论，求出(3x+ 2)(2x−1)5展开式中x3的项，即可得答案．
本题考查二项式定理的应用，涉及多项式的乘法，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：由题意可得f(x+2)=f(−x+2)，
所以f(5)=f(3+2)=f(−3+2)=f(−1)=−f(1)=−(23−1)=−7．
故选：D．
由已知结合函数的对称性可得f(x+2)=f(−x+2)，从而可把f(5)转化到已知区间上，代入可求．
本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力．
10.【答案】B
【解析】解：如图，把四面体ABCD补成一个长，宽，高分别为√2，√2，1的长方体，
取AB的中点G，连接GE，GF．
AC=1，
因为G，F分别是AB，BC的中点，所以GF//AC，GF=1
2
BD=1．
同理GE//BD，GE=1
2
因为AC⊥BD，所以GE⊥GF，
，
所以△GEF是等腰直角三角形，则∠EFG=π
4
即异面直线EF与AC所成的角为π
，
4
故选：B．
由于四面体ABCD对棱相等，所以补成一个长方体，取AB的中点G，根据GF//AC，在三角形GEF中计算角的大小即可．
本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力与运算求解能力．
11.【答案】D
【解析】解：双曲线的右焦点为F(c,0)，F′为双曲线的左焦点，
点Q(0,b)，P为双曲线左支上的动点，且△PQF周长的最小值为8a，|QF|=√c2+b2．
因为P在双曲线上，所以|PF|=2a+|PF′|，
则|PQ|+|PF|=|PQ|+|PF′|+2a≥|QF′|+2a=2a+√c2+b2，
因为Q(0,b)，F(c,0)，
△PQF周长的最小值为8a，则2√c2+b2=6a，
c2=5a2，
所以双曲线的离心率为：e=√5．
故选：D．
求出双曲线的右焦点坐标，利用已知条件推出a的表达式，然后求解双曲线的离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：设f(x)+x −lnx =t ，则f(t)=0，
所以f(x)=lnx −x +t ，令x =t 得f(t)=lnt −t +t =0，解得t =1， 所以f(x)=lnx −x +1，f′(x)=1
x −1， 当x ≥1时，f′(x)≤0，可得f(x)在[1,+∞)递减． 若不等式f(x)−f′(x)≤a(x −1)对x ∈[1,+∞)恒成立， 即为lnx −x +2−1
x ≤a(x −1)对x ∈[1,+∞)恒成立， 显然x =1时，不等式即为0≤0，恒成立； 当x >1时，a ≥lnx
x−1−
x−1x
，
可得a +1≥lnx
x−1+1x ， 设g(x)=lnx
x−1，g′(x)=
x−1
x
−lnx (x−1)2
，
由y =1−1x −lnx 的导数为y′=1
x 2−1
x =
1−x x 2
<0，
可得y =1−1
x −lnx 在(1,+∞)递减，即有1−1
x −lnx <0， 则g′(x)<0，可得g(x)在(1,+∞)递减， 又y =1
x 在(1,+∞)递减， 则y =lnx
x−1+1
x 在(1,+∞)递减， 当x >1时，y =lnx
x−1+1
x >0，
由y =lnx −(x −1)，x >1，y =lnx −x +1的导数为y′=1
x −1<0， 可得y =lnx −x +1在(1,+∞)递减， 即有lnx −(x −1)<0，即lnx <x −1， 则y =lnx
x−1+1
x <x−1
x−1+1=2， 可得0<lnx
x−1+1
x <2， 所以a +1≥2，解得a ≥1． 故选：D ．
先利用换元法求出f(x)的解析式，求得导数，讨论x =1时，不等式恒成立，当x >1时，用分离变量法，借助函数的单调性和不等式的性质即可得到所求范围．
本题考查函数恒成立问题解法，主要考查换元法和参数分离法、构造函数法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：由题意可得f(a +2)=log 2(a +3)+3=5，解得a =1． 故答案为：1．
直接把变量代入解析式即可求解．
本题考查函数，考查运算求解能力，属于基础题目．
14.【答案】2
【解析】解：画出实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≥0,
x −y +2≥0,2x −y −5≤0,的可行
域如图：
由{x +y =42x −y −5=0
解得A(3,1)， 当直线z =x +3y −4经过点A(3,1)时，z 取得最小值2． 故答案为：2．
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可． 本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想，是基础题．
15.【答案】2
5
【解析】解：六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若． 甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，
基本事件总数n =C 62C 62，
这两人选的叶齿对应的“度”没有相同包含的基本事件个数为m =C 62C 42，
则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为：
P =C 62C 42
C 62C 6
2=615=2
5．
故答案为：2
5．
基本事件总数n =C 62C 62，这两人选的叶齿对应的“度”没有相同包含的基本事件个数为m =C 62C 42
，由此能
求出这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率．
本题考查概率的求法，考查数学文化与古典概型，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】x 2=4y ±√22
【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
由抛物线的定义|AF|=y 1+p
2，|BF|=y 2+p
2， 则|AF|+|BF|=y 1+y 2+p =6，即y 1+y 2=6−p ． 因为点M(0,4)在线段AB 的垂直平分线上，所以|MA|=|MB|，
则x 12+(y 1−4)2=x 22+(y 2−4)2．
因为x 12=2py 1，x 22=2py 2，所以(y 1−y 2)(y 1+y 2+2p −8)=0，
因为y 1≠y 2，所以y 1+y 2=8−2p ，则8−2p =6−p ，解得p =2， 故抛物线C 的方程是x 2=4y ．
因为直线l 过点F ，所以直线l 的方程是y =kx +1，
联立{x 2=4y y =kx +1，整理得x 2−4kx −4=0，则x 1+x 2=4k ，
从而y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2=4k 2+2，
因为y 1+y 2=6−p =4，所以4k 2+2=4，解得k =±√2
2．
故答案为：x 2=4y ；±√2
2．
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用抛物线的性质结合|MA|=|MB|，转化求解抛物线方程；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，转化求解直线的斜率即可．
本题考查抛物线，考查化归与转化的数学思想与运算求解能力．是中档题．
17.【答案】解：(1)因为4c =b +4acosB ，所以4sinC =sinB +4sinAcosB ，…………………………………(2
分)
所以4sin(A +B)=sinB +4sinAcosB ，所以4cosAsinB =sinB ，……………………………………(4分)
因为sinB ≠0，所以cosA =1
4，所以sinA =√15
4
.…………………………………………………………(6分)
(2)由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−2bc(1+cosA)，………………………………(8分)
因为a =4，b +c =6，所以36−5
2bc =16，所以bc =8.…………………………………………………(10分) 故△ABC 的面积为1
2bcsinA =1
2×8×√15
4=√15.………………………………………………………(12分)
评分细则：
(1)在第一问中，也可以用角转化成边，得到b 2+c 2−a 2=1
2bc ，从而求出cosA =1
4，不予扣分； (2)在第二问中，先由正弦定理求出△ABC 外接圆的半径r ，再由余弦定理求出bc 的值，最后通过三角形的面积公式S =
abc 4r
，求出△ABC 的面积，只要计算正确，不予扣分；
(3)若用其他解法，参照评分标准按步给分．
【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，可求cos A ，再结合同角平方关系即可求解；、 (2)由已知结合余弦定理可求b +c ，进而可求bc ，代入三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
18.【答案】解：(1)证明：因为E 为AC 的中点，且AC =2BE ，所以AE =BE =CE ，
所以∠BAE =∠ABE ，∠BCE =∠CBE ， 所以∠BAE +∠BCE =∠ABE +∠CBE =∠ABC ． 因为∠BAE +∠BCE +∠ABC =180°， 所以∠ABC =90°，即AB ⊥BC ．
因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ． 因为PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，且PA ∩AB =A ， 所以BC ⊥平面PAB ．
(2)解：由(1)可知AB ，BC ，PA 两两垂直，
则可以以B 为原点，BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ，y 轴的正方向，过点P 作平行于PA 的直线为之轴， 建立如图所示的空间直角坐标系B −xyz ． 设PA =2，则B(0,0，0)，E(√3,1,0)，P(0,2，2)， 故BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)．
设平面PBE 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，
不妨设x =1，则n ⃗ =(1,−√3,√3)．
因为BC ⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)， 所以cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗
|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |
=7
=√7
7
． 设二面角A −PB −E 为θ，由图可知θ为锐角， 则二面角A −PB −E 的余弦值为cosθ=√7
7．
【解析】(1)推导出AE =BE =CE ，从而∠BAE =∠ABE ，∠BCE =∠CBE ，进而AB ⊥BC.PA ⊥BC.由此能证明BC ⊥平面PAB ．
(2)以B 为原点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ，y 轴的正方向，过点P 作平行于PA 的直线为之轴，建立空间直角坐标系B −xyz.利用向量法能求出二面角A −PB −E 的余弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)因为a =−2所以f(x)=
x+1e x
+2，所以f′(x)=−x
e ，
令f′(x)>0，得x <0；令f′(x)<0，得x >0， 则f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减， 故f(x)在x =0时取得最大值f(x)=3，没有最小值． (2)令f(x)=x+1e x
−a =0，得a =
x+1e x
，
设g(x)=
x+1
e x
，由(1)可知g(x)≤g(0)=1，
当x >−1时，g(x)>0；当x <−1时，g(x)<0． 当a >1时，方程g(x)=a 无解，即f(x)没有零点；
当a =1时，方程g(x)=a 有且只有一解，即f(x)有唯一的零点． 当0<a <1时，方程g(x)=a 有两解，即f(x)有两个零点． ④当a ≤0时，方程g(x)=a 有且只有一解，即f(x)有唯一的零点； 综上，当a >1时，f(x)没有零点； 当a =1或a ≤0时，f(x)有唯一的零点． 当0<a <1时，f(x)有两个零点．
【解析】(1)化简函数的解析式，求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最值． (2)根据f(x)的单调性，求出f(x)max =1−a ，再通过分类讨论，得出f(x)的零点情况即可．
本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题．
20.【答案】解：(1)由椭圆的方程可得右顶点(a,0)，所以右顶点到直线x −y +√2=0的距离为d =√2|
√2
=3，
a >0可得：a =2√2， 由离心率e =
√32
=
c a
=
2√2，可得c =√6，所以b 2=a 2−c 2=8−6=2， 所以椭圆C 的方程为：
x 28
+
y 22
=1；
(2)由题意显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：x =my +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
联立直线l 与椭圆的方程可得：{x =my +2x 28+y 22
=1，整理可得：(4+m 2)y 2+4my −4=0，y 1+y 2=−4m
4+m 2，y 1y 2=−44+m 2
所以S △OAB =1
2|OP|⋅|y 1−y 2|=1
2⋅2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16m 2
(4+m 2)2+16
4+m 2=4√4+2m 24+m 2
，
设t =√4+2m 2≥2，则m 2=
t 22
−2，
所以S △AOB =4t
4+t 22
−2=42t +t ≤2√t
⋅t =√2，当且仅当2t
=t ，即t =±√2时取等号， 所以△OAB 面积的最大值为√2．
【解析】【试题解析】
(1)由离心率的值及右顶点到直线x −y +√2=0的距离为3和a ，c ，b 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；
(2)设直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出面积的表达式，换元，由均值不等式的可得面积的最大值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合及均值不等式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知Y ≥3，且每次射击得分为(1分)的概率均为1
3，
则P(Y =3)=(1
3)3=1
27，
故P(Y >3)=1−P(Y =3)=1−1
27=26
27．
(2)①由题意可得X 1的可能取值为1，2．P(X 1=1)=1
3，P(X 1=2)=2
3．
故EX 1=1×13+2×23=5
3．
由题意可得Y 1的可能取值为1，2，3．P(Y =1)=1
3；P(Y =2)=1
3×2
3=2
9；P(Y =3)=2
3×2
3=4
9．
故EY 1=1×13+2×29+3×4
9=
199
．
由题意可得X 2的可能取值为1，2，3，4．P(X 2=1)=1
3；P(X 2=2)=1
3×2
3=2
9；P(X 2=3)=2
9×2
3=4
27；P(X 2=4)=4
9
×2
3=
827
．
故EX 2=1×13+2×29+3×4
27+4×8
27=65
27． ②由题意可知a n+1=2
3(a n +1)+1
3×1=2
3a n +1． 则a n+1−3=2
3(a n −3)，即
a n+1−3a n −3
=2
3
． 因为a 1−3=EX 1−3=−4
3，
所以数列{a n −3}是首项为−4
3，公比为2
3的等比数列．
【解析】(1)由题意可知Y ≥3，且每次射击得分为(1分)的概率均为1
3，利用独立重复实验以及对立事件的概率求解即可．
(2)①由题意可得X 1的可能取值为1，2.求出概率得到分布列然后求解期望；Y 1的可能取值为1，2，3.求出概率，得到分布列，求解期望；X 2的可能取值为1，2，3，4.求解概率，得到分布列，然后求解期望； ②由题意推出a n+1=2
3a n +1.然后转化判断数列{a n −3}是首项为−4
3，公比为2
3的等比数列．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，数列的应用，是难题，如果是考试用题，建议评分细则：
(1)在第一问中，将Y >3的所有情况找出，再求出Y >3的概率，只要计算正确，不予扣分；
(2)在第二问中，在①中没有写出分布列，直接求出期望，只要计算正确，不予扣分，在②中没有求出数列{a n −3}的首项a 1−3，得到
a n+1−3a n −3
=2
3
，直接判断数列{a n −3}是等比数列，不予扣分； (3)若用其他解法，参照评分标准按步给分．
22.【答案】解：(1)由曲线C 1的参数方程{x =2+t
y =1+3t (t 为参数)，消去t ，得y =3x −5．
由曲线C 2的参数方程
{x =m 2−1
y =2m (m 为参数)，消去m ，得y 2=4x +4． (2)曲线C 1的标准参数方程为{x =2+√10
10t
y =1+3√10
10t
(t 为参数)，
代入y 2=4x +4，整理得910
t 2+√10
5
t −11=0，
∴t 1+t 2=−
2√10
9
，t 1t 2=−
1109
，
∵t 1+t 2<0，t 1t 2<0， ∴||MA|−|MB||=|t 1+t 2|=2√109
．
【解析】(1)根据曲线C 1和C 2的参数方程，消去参数即可得到其普通方程；
(2)先求出曲线C 1的标准参数方程，然后将方程代入曲线C 2中，由根与系数的关系得到t 1+t 2和t 1t 2，再根据||MA|−|MB||=|t 1+t 2|求出||MA|−|MB||的值．
本题考查了参数方程转化为普通方程和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题．
23.【答案】解：(1)f(x)=|x −2|+|2x −1|={−3x +3,x ⩽1
2x +1,12
<x <23x −3,x ⩾2
，
∵f(x)<6，∴{x ⩽1
2−3x +3<6或{1
2<x <2x +1<6或{x ⩾2
3x −3<6，
∴−1<x ⩽1
2或1
2<x <2或2⩽x <3，∴−1<x <3， ∴不等式的解集为(−1,3)．
(2)由(1)知，f(x)在(−∞,1
2)上单调递减，在(1
2,+∞)上单调递增， ∴f(x)min =f(1
2)=3
2，∴m =32，∴a 2+b 2=2m =3， ∴3a +4b ⩽√(a 2+b 2)(32+42)=5√3，
当且仅当a=4√3
5,b=3√3
5
时取等号，
∴3a+4b的最大值为5√3．
【解析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后由f(x)<6，利用零点分段法解不等式即可；
(2)先求出f(x)的最小值m，然后由3a+4b⩽√(a2+b2)(32+42)，利用柯西不等式求出3a+4b的最大值．本题考查了绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。