丰顺县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

丰顺县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数()x e f x x
=，关于x 的方程2
()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的
取值范围是（ ）
A ．21(,)21e e -+?-
B ．21(,)21e e --?-
C ．21(0,)21e e --
D ．2121e e 禳-镲
睚
-镲铪
【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．
2． 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜1
2x ，x ≥1
若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3． 抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ）
A ．y=
B ．y=2
C ．x=
D ．y=﹣2
4． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
5． 函数f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）=x+1，则函数f （x ）在（1，2）上的解析式为（ ）
A ．f （x ）=3﹣x
B ．f （x ）=x ﹣3
C ．f （x ）=1﹣x
D ．f （x ）=x+1
6． 若f （x ）为定义在区间G 上的任意两点x 1，x 2和任意实数λ（0，1），总有f （λx 1+（1﹣λ）x 2）≤λf （x 1）+（1﹣λ）f （x 2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ）
①f （x ）=
，②f （x ）=
，③f （x ）=
，④f （x ）=
．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 8． 下列命题中正确的是（ ）
A ．复数a+bi 与c+di 相等的充要条件是a=c 且b=d
B ．任何复数都不能比较大小
C ．若
=
，则z 1=z 2
D ．若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2或z 1=
9． 设函数f （x ）=，则f （1）=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 10．已知等差数列{a n }中，a 6+a 8=16，a 4=1，则a 10的值是（ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
11．集合U=R ，A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B={x|y=ln （1﹣x ）}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A ．{x|x ≥1}
B ．{x|1≤x ＜2}
C ．{x|0＜x ≤1}
D ．{x|x ≤1}
12．若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）
A ．
＞
B ．＞
C ．|a|＞|b|
D ．a 2＞b 2
二、填空题
13．定义：[x]（x ∈R ）表示不超过x 的最大整数．例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．给出下列结论： ①函数y=[sinx]是奇函数；
②函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；
④函数y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．
其中正确的是 ．（填上所有正确命题的编号）
14．已知函数()f x 2
3(2)5x =-+，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系 是 ．
15．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且，则= ．
16．满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数是．
17．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为．
18．曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形的面积为．
三、解答题
19．已知函数f（x）=sin2x•sinφ+cos2x•cosφ+sin（π﹣φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，．）（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（Ⅱ）若x0∈（，π），sinx0=，求f（x0）的值．
20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．
（1）求证：BC1∥平面A1CD；
（2）若四边形BCC
B1是正方形，且A1D=，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值．
1
21．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取7080100位，得到数据如表：
70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．
2.072 2.706
3.841 5.024
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
22．已知等差数列{a n}中，其前n项和S n=n2+c（其中c为常数），
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b1=1，{a n+b n}是公比为a2等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．
23．已知函数，（其中常数m＞0）
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．
24．已知奇函数f（x）=（c∈R）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．
丰顺县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】
D
第Ⅱ卷（共90分）
2． 【答案】
【解析】选C.由题意得log 2（a ＋6）＋2log 26＝9. 即log 2（a
＋6）＝3，
∴a ＋6＝23＝8，∴a ＝2，故选C. 3． 【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x 2
=﹣y ，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=，
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
4．【答案】C
解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．
则体积为=，解得x=．
故选：C．
5．【答案】A
【解析】解：∵x∈（0，1）时，f（x）=x+1，f（x）是以2为周期的偶函数，
∴x∈（1，2），（x﹣2）∈（﹣1，0），
f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=2﹣x+1=3﹣x，
故选A．
6．【答案】C
【解析】解：由区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），
总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），
等价为对任意x∈G，有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数），
①f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数；
②f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=﹣•＜0恒成立，故②不为“上进”函数；
③f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=
＜0恒成立，
故③不为“上进”函数；
④f（x）=的导数f′（x）=，f″（x）=，当x∈（2，3）时，f″（x）＞0恒成立．
故④为“上进”函数．
故选C．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．
7．【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；
∴A⊆B∩C={0，2}
∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，
故最多有4个子集．
故选：B．
8．【答案】C
【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R．
B．实数是复数，实数能比较大小．
C．∵=，则z1=z2，正确；
D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．故选：C．
9．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=，
f（1）=f[f（7）]=f（5）=3．
故选：D．
10．【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n}，
∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10，
∴a10=15，
故选：A．
11．【答案】B
【解析】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B）．A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，
则∁U B={x|x≥1}，
则A∩（∁U B）={x|1≤x＜2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．
12．【答案】A 【解析】解：∵a ＜b ＜0，
∴﹣a ＞﹣b ＞0，
∴|a|＞|b|，a 2＞b 2
，
即，
可知：B ，C ，D 都正确， 因此A 不正确． 故选：A ．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】 ②③④
【解析】解：①函数y=[sinx]是非奇非偶函数；
②函数y=[sinx]的周期与y=sinx 的周期相同，故是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；
④函数数y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}． 故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义，正确理解新定义是关键．
14．【答案】12()()f x f x ] 【
解
析
】
考
点：不等式，比较大小．
【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．
15．【答案】 ．
【解析】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，且，
∴S4=5S2，又S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
∴（S4﹣S2）2=S2（S6﹣S4），
∴（5S2﹣S2）2=S2（S6﹣5S2），
解得S6=21S2，
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和等比数列的性质，用S2表示S4和S6是解决问题的关键，属中档题．16．【答案】4．
【解析】解：由题意知，
满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有：
{2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}，
故共有4个，
故答案为：4．
17．【答案】9．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，
所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，
所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．
故答案为：9
18．【答案】．
【解析】解：∵曲线y=x2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）
∴曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形的面积为S=（）dx+dx=（x
﹣x3）+（x3﹣x）=．
故答案为：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本小题满分12分）φ
解：（Ⅰ）f（x）=+﹣
=+
=）
由f（x）图象过点（）知：
所以：φ=
所以f（x）=
令（k∈Z）
即：
所以：函数f（x）在[0，π]上的单调区间为：
（Ⅱ）因为x0∈（π，2π），
则：
2x0∈（π，2π）
则：=
sin
所以=）=
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调区间的确定，三角函数的求值问题，属于基础题型．
20．【答案】
【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点，
∵D为AB的中点，
∴DO∥BC1，
∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD．
解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点，
四边形BCC
B1是正方形，且A1D=，
1
∴CD⊥AB，CD==，AD=1，
∴AD2+AA12=A1D2，∴AA1⊥AB，
∵，∴，
∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，
∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC，
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC，
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．
以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），A（1，0，），D（，0，），A1（1，2，），
=（，﹣2，﹣），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），
设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ，
则sinθ===．
∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且X～B（3，），
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴E（X）=3×=2．
（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，
K2==≈3.030＞2.706，
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．
22．【答案】
【解析】解：（1）a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=3，a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
因为等差数列{a n}，所以2a2=a1+a3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
∴a1=1，d=2，a n=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）a2=3，a1+b1=2∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12
分）
【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．23．【答案】
【解析】解：（1）当m=2时，
（x＞0）
令f′（x）＜0，可得或x＞2；
令f′（x）＞0，可得，
∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增
故
（2）（x＞0，m＞0）
①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；
x∈（m，1）时，f′（x）＞0
此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；
②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，
此时f（x）在（0，1）上单调递减；
③当m＞1时，则，
故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0
此时f（x）在上单调递减，在单调递增
（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）
即⇒
∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，
又x1，x2，m＞0
∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立
令，则
对m∈[3，+∞）恒成立
∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，
∴
故
从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”
∴x1+x2的取值范围为
【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴=﹣=，
比较系数得：c=﹣c，∴c=0，
∴f（x）==x+；
（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，
当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，
∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴f（x）min=f（2）=．
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．。