(全国通用版)高考数学大一轮复习第八章解析几何课时达标48曲线与方程

课时达标 第48讲 曲线与方程
[解密考纲]求曲线的轨迹方程，要注意定义法或直接法，这类题型一般在解答题的第(1)问中出现．
一、选择题
1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( D ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线
D ．抛物线
解析 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．
2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
解析 设P (x ，y )，则x ＋2
2
＋y 2
＝2
x －1
2
＋y 2
，
整理得x 2
＋y 2
－4x ＝0，
又D 2
＋E 2－4F ＝16>0，所以动点P 的轨迹是圆．
3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，点Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是( D )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
解析 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得点Q 的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.
4．设圆(x ＋1)2
＋y 2
＝25的圆心为C ，点A (1,0)是圆内一定点，点Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为( D )
A.4x 2
21－4y
2
25＝1 B ．4x 221＋4y
2
25＝1
C.4x 2
25－4y
2
21
＝1 D ．4x 2
25＋4y
2
21
＝1
解析 ∵M 为AQ 的垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |， ∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5， 故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2
＝214，
∴椭圆的标准方程为4x 2
25＋4y
2
21
＝1.
5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →
＝1，则点P 的轨迹方程是( A )
A.32x 2＋3y 2
＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2
＝1(x >0，y >0) C ．3x 2
－32
y 2＝1(x >0，y >0)
D ．3x 2
＋32
y 2＝1(x >0，y >0)
解析 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2PA →
，
得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →
＝1，
得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x
2
＋3y 2
＝1(x >0，y >0)．
6．已知圆锥曲线mx 2
＋4y 2
＝4m 的离心率e 为方程2x 2
－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( B )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，∴e ＝2或e ＝12，mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 2
4＋y
2
m ＝1，
当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有
4－m 2＝1
2
，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m
＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m ＝1，有4－m
2＝
2，∴m ＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个．故选B.
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足O C →＝O A →＋t (O B →
－O A →
)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是__2x －y －2＝0__.
解析 设 C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →
)＝(1＋t,2t )，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝2t ，消
去参数t ，得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.
8．(2017·天津卷)设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆
心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为＝1 __.
解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )，又F (1,0)，所以AC →＝(－1,0)，AF →＝(1，－a )，由题意得AC →与A F →
的夹角为120°，得cos 120°＝
－1
1×1＋a
2
＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2
＝1. 9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点
Q 满足O Q →＝PF 1→＋PF 2→
，则动点Q 的轨迹方程是__ x 24a 2＋y 24b
2＝1 __.
解析 作P 关于O 的对称点M ，连结F 1M ，F 2M ， 则四边形F 1PF 2M 为平行四边形， 所以PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →. 又OQ →＝PF 1→＋PF 2→，所以OP →
＝－12
OQ →.
设Q (x ，y )，则OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x
2
，－y 2，
即点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2
，－y
2， 又P 在椭圆上，
则有
⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2
＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－y 22
b 2
＝1，即x 24a 2＋y 2
4b
2＝1.
三、解答题
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)，点B 在直线l 1：y ＝－1上，点M 满足 MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →
，求点M 的轨迹方程．
解析 设M (x ，y )，由MB →∥OA →得B (x ，－1)．又A (0,1)，则MA →＝(－x ，1－y )，MB →
＝(0，－1－y )，AB →＝(x ，－2)．由MA →·AB →＝MB →·BA →，得(MA →＋MB →)·AB →
＝0，代入坐标即(－x ，－2y )·(x ，－2)＝0⇒x 2
＝4y ，所以点M 的轨迹方程为x 2
＝4y .
11．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2
的外角平分线的垂线，求垂足Q 的轨迹方程．
解析 从焦点F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线段，延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，则|PF 1|＝|AP |，在椭圆中，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即|AP |＋|PF 2|＝|AF 2|＝2a ，则|OQ |＝1
2|AF 2|
＝a .因为|OQ |＝a ，满足圆的定义，所以Q 的轨迹方程为x 2
＋y 2
＝a 2
.
12．从双曲线x 2
－y 2
＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点
P 的轨迹方程．
解析 设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，由线段QN 的中点为P ，得点
N 的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．
又点N 在直线x ＋y ＝2上，则2x －x 1＋2y －y 1＝2. ①
又因为PQ 垂直于直线x ＋y ＝2，所以y －y 1
x －x 1
＝1， 即x －y ＋y 1－x 1＝0.
②
由①②两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝32x ＋1
2
y －1，y 1
＝12x ＋3
2y －1.
③
又点Q 在双曲线x 2
－y 2
＝1上，所以x 2
1－y 21＝1.
④
将③式代入④式得动点P 的轨迹方程是2x 2
－2y 2
－2x ＋2y －1＝0.。