铜梁区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

铜梁区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数⎩⎨
⎧≤>=)0(|
|)
0(log )(2x x x x x f ，函数)(x g 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有
1
()(2)2
g x g x =+；③当]1,1[-∈x 时，()g x 则函数)()(x g x f y -=在区间]4,4[-上零
点的个数为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.
2． 由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A ．45
B ．90
C ．120
D ．360
3． 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4=5S 2，则
的值为（ ）
A ．﹣2或﹣1
B ．1或2
C ．±2或﹣1
D ．±1或2
4． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（ ）
A ．y=x+2
B ．y=
C ．y=3x
D ．y=3x 3
5． 已知函数f （x ）=Asin （ωx ﹣
）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2 的等边三角
形，为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C ．向左平移个长度单位
D ．向右平移
个长度单位
6． 已知表示数列
的前项和，若对任意的
满足
，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A ．
B ．（4+π）
C ．
D ．
9． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）
A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4
10．实数x，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是（）
A．（1，1） B．（0，3） C．（，2） D．（，0）
11．设a，b为实数，若复数，则a﹣b=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
12．已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．在△ABC中，若角A为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是．
14．若全集，集合，则
15．下列命题：
①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数；
②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点；
③数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的前n项和为S n，S10＞0，S11＜0，S n最大值为S5；
④在△ABC中，A＞B的充要条件是cos2A＜cos2B；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强．
其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）．
16．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点
②经过空间任意三点有且只有一个平面
③过两平行直线有且只有一个平面
④在空间两两相交的三条直线必共面
其中正确命题的序号是．
17．经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为．
18．如果椭圆+=1弦被点A（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是．
三、解答题
19．已知y=f（x）是R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2﹣2x
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．
20．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；
（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
21．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且
AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．
22．（本小题满分12分）
已知直三棱柱111C B A ABC -中，上底面是斜边为AC 的直角三角形，F E 、分别是11AC B A 、的中点.
（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面 AEF 平面B B AA 11.
23．已知函数f （x ）=ax 2+lnx （a ∈R ）．
（1）当a=时，求f （x ）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g （x ），f 1（x ），f 2（x ），在公共定义域D 上，满足f 1（x ）＜g （x ）＜f 2（x ），那么就称g
（x ）为f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”．已知函数
+2ax ．若在区间（1，+∞）上，函数f （x ）
是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，求a 的取值范围．
24．已知椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，且a 2
=2b ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l ：x ﹣y+m=0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2+y 2
=5上，若存
在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
铜梁区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
第
Ⅱ卷（共100分）[．Com]
2．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，
所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
3．【答案】C
【解析】解：由题设知a1≠0，当q=1时，S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立．
当q≠1时，S n=，
由S4=5S2得1﹣q4=5（1﹣q2），（q2﹣4）（q2﹣1）=0，（q﹣2）（q+2）（q﹣1）（q+1）=0，
解得q=﹣1或q=﹣2，或q=2．
==q，
∴=﹣1或=±2．
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．
4．【答案】C
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；
该程序运行后输出的是实数对
（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；
这组数对对应的点在函数y=3x的图象上．
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．
5．【答案】A
【解析】解：∵△EFG是边长为2的正三角形，
∴三角形的高为，即A=，
函数的周期T=2FG=4，即T==4，
解得ω==，
即f（x）=Asinωx=sin（x﹣），g（x）=sin x，
由于f（x）=sin（x﹣）=sin[（x﹣）]，
故为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象向左平移个长度单位．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
6．【答案】C
【解析】
令得，所以，即，所以是以1为公差的等差数列，首项为，
所以，故选C
答案：C
7．【答案】C
【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，
故外接球半径为，外接球的体积为，
故选C．
【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．
8．【答案】D
【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，
是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，
圆柱的底面直径和母线长都是2，
四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，
四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，
∴几何体的体积是=，
故选D．
【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．
9．【答案】C
【解析】
考点：茎叶图，频率分布直方图．
10．【答案】D
【解析】解：由题意作出其平面区域，
将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距，
故由图象可知，
使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内，
故（1，1），（0，3），（，2）成立，
而点（，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，
故不成立；
故选D．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．11．【答案】C
【解析】解：，因此．a﹣b=1．
故选：C．
12．【答案】B
【解析】解：∵函数的周期为T==，
∴ω=
又∵函数的最大值是2，相应的x值为
∴=，其中k∈Z
取k=1，得φ=
因此，f（x）的表达式为，
故选B
【点评】本题以一个特殊函数求解析式为例，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、三角函数的图象与性质，周期与相位等概念，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
14．【答案】{|0＜＜1｝
【解析】∵，∴{|0＜＜1｝。

15．【答案】②③④⑤
【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=，，但是
，，因此不是单调递增函数；
②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确；
③数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的前n项和为S n，S10＞0，S11＜0，∴=5（a6+a5）＞0，
=11a6＜0，
∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此S n最大值为S5，正确；
④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确．
其中正确命题的序号是②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
16．【答案】③．
【解析】解：①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；
②经过空间不共线三点有且只有一个平面，故错误；
③过两平行直线有且只有一个平面，正确；
④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面，三线共点时，三线可能不共面，故错误，
故正确命题的序号是③，
故答案为：③
17．【答案】x=﹣3．
【解析】解：经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为：x=﹣3．
故答案为：x=﹣3．
18．【答案】x+4y﹣5=0．
【解析】解：设这条弦与椭圆+=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），
由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，
把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x2+4y2=36，
得，
①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，
∴k==﹣，
∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1），
即为x+4y﹣5=0，
由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0．
故答案为：x+4y﹣5=0．
【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，
∵x＞0时，f（x）=x2﹣2x．
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x
∵y=f（x）是R上的偶函数
∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x
（2）单增区间（﹣1，0）和（1，+∞）；
单减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式，然后作出分段函数的图象，进而研究相关性质，本题看似简单，但考查全面，具体，检测性很强．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：
10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，
解得a=0.03．
（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：
=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．
（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，
数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，
若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生，
则所有的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），
（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个，
如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，
则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，
所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=．
【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和列举法的合理运用．
21．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明． 22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【
解
析
】
试
题解析：证明：（1）连接C A 1，∵直三棱柱111C B A ABC 中，四边形C C AA 11是矩形，
故点F 在C A 1上，且F 为C A 1的中点，
在BC A 1∆中，∵F E 、分别是11AC B A 、的中点，∴BC EF //. 又⊄EF 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴//EF 平面ABC .
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理. 23．【答案】
【解析】解：（1）当
时，
，
；
对于x ∈[1，e]，有f'（x ）＞0，∴f （x ）在区间[1，e]上为增函数，
∴
，
．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，则f 1（x ）＜f （x ）＜f 2（x ）
令
＜0，对x ∈（1，+∞）恒成立，
且h （x ）=f 1（x ）﹣f （x ）=＜0对x ∈（1，+∞）恒成立，
∵
1）若
，令p ′（x ）=0，得极值点x 1=1，
，
当x 2＞x 1=1，即
时，在（x 2，+∞）上有p ′（x ）＞0，
此时p （x ）在区间（x 2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p （x ）∈（p （x 2），+∞），不合题意；
当x 2＜x 1=1，即a ≥1时，同理可知，p （x ）在区间（1，+∞）上，有p （x ）∈（p （1），+∞），也不合题意；
2）若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
所以≤a≤．
又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤
综合可知a的范围是[，]．
【点评】本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意得e==，a2=2b，a2﹣b2=c2，
解得a=，b=c=1
故椭圆的方程为x2+=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
线段AB的中点为M（x0，y0）．
联立直线y=x+m与椭圆的方程得，
即3x2+2mx+m2﹣2=0，
△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即m2＜3，
x1+x2=﹣，
所以x0==﹣，y0=x0+m=，
即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，
可得（﹣）2+（）2=5，
解得m=±3与m2＜3矛盾．
故实数m不存在．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．。