2024届西藏林芝第二高级中学高一数学第二学期期末考试试题含解析

2024届西藏林芝第二高级中学高一数学第二学期期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知向量(2,tan ),
(1,1)a b θ==-，且//a b ，则tan()4
π
θ-=（ ）
A ．2
B ．3-
C ．1-
D ．13
-
2．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )
A ．
160
3
B ．160
C ．
256
3
D ．64
3．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指（ ）
A ．明天该地区有
的地方降水，有
的地方不降水
B ．明天该地区降水的可能性为
C ．气象台的专家中有的人认为会降水，另外有的专家认为不降水
D ．明天该地区有
的时间降水，其他时间不降水
4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2
A
B C +=，且2a =，则ABC 的面积的最大值为( )
A ．
33
B ．
32
C ．3
D ．23
5．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a +==，则10S =（ ） A ．55
B ．81
C ．90
D ．100
6．如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3:2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块.在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（ ）
A ．
23π
B ．
29
C ．
8
π D ．
12
7．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递减的函数是（ ） A ．1y x
=
B ．21y x =+
C ．21y x =-+
D ．lg y x =
8．已知在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222222b a ac c -=+，则
sin B 等于()
A 15
B ．
14
C 3
D ．
12
9．根据频数分布表，可以估计在这堆苹果中，质量大于130克的苹果数约占苹果总数的（ ）
分组
[100,110]
(110,120]
(120,130] (130,140] (140,150]
(150,160]
频数 1
3
4
6 4
2
A ．10%
B ．30%
C ．60%
D ．80%
10．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为（ ） A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11()3sin cos 2sin x x x θ-=+，其中02θπ<<，则θ的值为________.
12．计算：3lim
1
n n
n →∞=-________.
13．已知向量()3,1a =，b =()21,k k -，//a b ，则=k _________. 14．已知过两点()4,A y ，()2,3B -的直线的倾斜角是45，则y =______． 15．一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是 .
16．已知函数4
(1)1
y x x x =+
>-，则函数的最小值是___． 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()4cos cos 23f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=---
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）求()f x 在区间,43ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域．
18．已知等比数列{}n a 是递增数列，且满足：238a a ⋅=，149a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式：
（2）设()21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19．已知函数2
1()1()f x x a x x R a ⎛⎫
=-++∈ ⎪⎝⎭
. （I ）当1
2
a =
时，求不等式()0f x <的解集； （II ）若关于x 的不等式()0f x <有且仅有一个整数解，求正实数．．．a 的取值范围.
20．已知关于x 的一元二次函数2
()1f x ax bx =++，从集合P 中随机取一个数作为此
函数的二次项系数a ，从集合Q 中随机取一个数作为此函数的一次项系数b . （1）若{|13,}P x x x Z =≤≤∈，{|42,}Q x x x Z =-≤≤-∈，求函数()y f x =有零点的概率；
（2）若{|13,},{|42,}P x x x R Q x x x R =≤≤∈=-≤≤-∈，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.
21．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
根据向量平行得到tan 2θ=-，再利用和差公式计算得到答案. 【题目详解】 向量(2,tan ),
(1,1)a b θ==-，且//a b ，则tan 2θ=-.
tan
tan 4
tan()341tan tan 4
π
θ
π
θπθ--==-+⋅.
故选：B . 【题目点拨】
本题考查了向量平行求参数，和差公式，意在考查学生的综合应用能力. 2、A 【解题分析】
分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.
详解：
由三视图可知该刍甍是一个组合体，
它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，
根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，
11
444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33
，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 3、B 【解题分析】
降水概率指的是降水的可能性，根据概率的意义作出判断即可. 【题目详解】 “明天降水的概率为”指的是“明天该地区降水的可能性是
”，且明天下雨的可能
性比较大，故选：B. 【题目点拨】
本题主要考查了概率的意义，掌握概率是反映出现的可能性大小的量是解题的关键，属于基础题. 4、A 【解题分析】
由()tan tan B C A +=-以及()tan tan
2
A
B C +=，结合二倍角的正切公式，可得tan
32
A =，根据三角形的内角的范围可得2π
3A =，由余弦定理以及基本不等式可得
4
3
bc ≤
，再根据面积公式可得答案. 【题目详解】
因为()tan tan
2
A
B C +=，且B C A +=π-， 所以()22tan
2tan tan 1tan 2
A B C A A +=-=-
-tan 02A =>，
所以tan 32
A =2π
3A =.
由于2a =为定值，由余弦定理得22
2π
42cos
3
b c bc =+-，即224b c bc =++. 根据基本不等式得22423b c bc bc bc bc =++≥+=，即43
bc ≤， 当且仅当b c =时，等号成立. 所以11433
sin 22323
ABC
S
bc A =≤⨯⨯=
. 故选：A 【题目点拨】
本题考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面积公式，属于中档题. 5、D 【解题分析】
试题分析：设等差数列的公差为d ，由题意得
，解得11
2a d =⎧⎨=⎩
，所以
101109
101014521002
S a d ⨯=+
=⨯+⨯=，故答案为D ． 考点：1、数列的通项公式；2、数列的前n 项和． 6、B 【解题分析】
设大圆半径为3r ，小圆半径为2r ，求出白色部分面积和大圆面积，由几何概型概率公式可得． 【题目详解】
设大圆半径为3r ，小圆半径为2r ，则整个图形的面积为29S r π=，白色部分的面积为221422S r r ππ=
⨯=白，所以所求概率2
9
S P S ==白. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查几何概型，考查面积型的几何概型，属于基础题． 7、C 【解题分析】
依次分析选项的奇偶性和在区间()0,∞+上的单调性即可得到答案. 【题目详解】
因为1
y x
=
是奇函数，故A 选项错误， 因为lg y x =是非奇非偶函数，故D 选项错误， 因为2
1y x =+是偶函数，由函数图像知， 在区间()0,∞+上单调递增，故B 选项错误， 因为2
1y x =-+是偶函数，由函数图像知， 在区间()0,∞+上单调递减，故C 选项正确. 故选：C. 【题目点拨】
本题主要考查了函数的奇偶性的判断，二次函数单调性的判断，属于基础题. 8、A 【解题分析】
由题意变形，运用余弦定理，可得cos B ，再由同角的平方关系，可得所求值． 【题目详解】 2b 2﹣2a 2＝ac +2c 2， 可得a 2+c 2﹣b 21
2
=-
ac ， 则cos B 2221
24
a c
b a
c +-==-，
可得
2
π
＜B ＜π，
即有sin B =
==
． 故选A ． 【题目点拨】
本题考查余弦定理的运用，考查同角的平方关系，以及运算能力，属于中档题． 9、C 【解题分析】
根据频数分布表计算出质量大于130克的苹果的频率，由此得出正确选项. 【题目详解】
根据频数分布表可知
642123
0.6134642205
++===+++++，所以质量大于130克的苹果
数约占苹果总数的60%. 故选：C 【题目点拨】
本小题主要考查频数分析表的阅读与应用，属于基础题. 10、B 【解题分析】
利用分层抽样的定义和方法求解即可. 【题目详解】
设应抽取的女生人数为x ，则25360540360
x =+，解得10x =． 故选B 【题目点拨】
本题主要考查分层抽样的定义及方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
116
π
【解题分析】
由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出θ的值． 【题目详解】
1
cos 2cos 2sin cos cos sin 2sin()2666x x x x x x x πππ⎫⎛
⎫-=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以sin()sin()6
x x π
θ-
=+，因为02θπ<<，故1126
6
π
π
θπ=-
=
． 【题目点拨】
本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用． 12、3 【解题分析】
直接利用数列的极限的运算法则求解即可． 【题目详解】
3lim 1n n n →∞=-33
lim 31101n n
→∞==--
. 故答案为：3 【题目点拨】
本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题． 13、1- 【解题分析】
根据向量平行交叉相乘相减等于0即可． 【题目详解】
因为两个向量平行，所以()32101k k k ⨯--=⇒=- 【题目点拨】
本题主要考查了向量的平行，即()()1122,,,a x y b x y ==，若a b 则12120x y y x -=，属于基础题． 14、1- 【解题分析】
由两点求斜率公式及斜率等于倾斜角的正切值列式求解． 【题目详解】
解：由已知可得：3
tan45142
AB y k +=
==-， 即32y +=，则1y =-． 故答案为1-． 【题目点拨】
本题考查直线的斜率，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题． 15、5 【解题分析】
设一部门抽取的员工人数为x,则60,520240
x x ==. 16、5 【解题分析】
因为1x > ，所以10x ->
，函数
44(1)+11511y x x x x =+
=-+≥=-- ，当且仅当
411
x x -=
- ，即3x = 时等号成立．
点睛：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．在用基本不等式时，注意＂一正二定三相等＂这三个条件，关键是找定值，在本题中，将4
1
x x +- 拆成4
(1)11
x x -+
+- ，凑成定值，再用基本不等式求出最小值．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1) ()5,12
12k k k π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z ；(2) ⎡⎣ 【解题分析】
（1）利用两角差的余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由26
3
3
x π
π
π
≤-
≤
结合三角函数性质求值域即可 【题目详解】
（1）()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππ⎛
⎫=⋅+ ⎪⎝
⎭
1
4sin cos 2x x x ⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
22sin cos x x x =+()
sin 21cos 2x x =-
sin 22x x =
2sin 23x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，得1212
k x k π5π
π-
≤≤π+， ()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ；
（2）由
4
3
x π
π
≤≤
得
26
3
3
x π
π
π
≤-
≤
，
故而2sin 23x π⎛
⎫⎡
-∈ ⎪⎣⎝
⎭
． 【题目点拨】
本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基
础题
18、（1）12n n a ；（2）2n S n =
【解题分析】
（1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式； （2）由（1）得()21log 21n n n b a a n +=⋅=-，再利用等差数列的求和公式进行解答即可．
【题目详解】
（1）由题意，得12348a a a a ⋅=⋅=，又149a a +=，所以11a =，48a =，或18a = ，41a =， 由{}n a 是递增的等比数列，得1q > ，所以11a =，48a =，且2q
， ∴1111122n n n n a a q ---==⨯=，即12n n a ；
（2）由（1）得()()111212log log 2
221n n n n n b a a n -+-+=⋅=⋅=-，
得()1211212n n b b n n +-=+--+=， 所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以()
122n n n b b n S +==.
【题目点拨】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n 项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19、（I ）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（II ）12a <≤，或112a ≤< 【解题分析】
（I ）直接解不等式25102
x x -+<得解集；（II ）对a 分类讨论解不等式分析找到a 满足的不等式，解不等式即得解.
【题目详解】
（I ）当12a =时，不等式为25102
x x -+<， 不等式的解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
所以不等式()0f x <的解集为1
,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
； （II ）原不等式可化为1()0x a x a ⎛⎫--
< ⎪⎝⎭， ①当1a a =
，即1a =时，原不等式的解集为∅，不满足题意； ②当1a a >，即1a >时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时101a <<，所以12a <≤； ③当1a a <，即01<a <时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以只需112a <≤，解得112a ≤<； 综上所述，12a <≤，或
112a ≤<. 【题目点拨】
本题主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20、（1）23；（2）34
【解题分析】
（1）依次列出所有可能的情况，求出满足240b a -≥的情况总数，即可得到概率； （2）列出不等关系，表示出平面区域，求出满足12b a
-
≤表示的区域的面积，即可得到概率.
【题目详解】
（1）由题可得{}{|13,}1,2,3P x x x Z =≤≤∈=， {}{|42,}4,3,2Q x x x Z =-≤≤-∈=---，
从集合P 中随机取一个数作为此函数的二次项系数a ，从集合Q 中随机取一个数作为此函数的一次项系数b ，记为(),a b ，
这样的有序数对共有
()()()()()()()()()1,4,1,3,1,2,2,4,2,3,2,2,3,4,3,3,3,2---------，9种情况； 函数()y f x =有零点，即满足240b a -≥，满足条件的有：
()()()()()()1,4,1,3,1,2,2,4,2,3,3,4------，6种情况，
所以其概率为23； （2）{|13,},{|42,}P x x x R Q x x x R =≤≤∈=-≤≤-∈，满足条件的有序数对(),a b ，
1342a b ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩
，即平面直角坐标系内区域：矩形ABCD 及内部区域，面积为4， 函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，即满足12b a -≤，2b a
-≤，13a ≤≤， 即20a b +≥，平面直角坐标系内区域：直角梯形ABCE 及内部区域，面积为3，
所以其概率为
34
. 【题目点拨】 此题考查古典概型与几何概型，关键在于准确得出二次函数有零点和在区间[1,)+∞上是增函数，分别所对应的基本事件个数以及对应区域的面积.
21、（Ⅰ）12
n n a -=（Ⅱ）112221
n n ++-- 【解题分析】
试题分析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，，根据已知由等比数列的性质可得32
3
11(1)9,8a q a q +==，联立解方程再由数列{}n a 为递增数列可得11{2a q ==则通项公式可得
（2）根据等比数列的求和公式，有122112
n
n n s -==--所以1112(21)(21)
n
n n n n n n a b s s +++==--，裂项求和即可
试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以有
323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===
联立两式可得11{2a q ==或者18{12
a q ==又因为数列{}n a 为递增数列，所以q>1，所以11{2a q == 数列{}n a 的通项公式为12n n a -=
（2）根据等比数列的求和公式，有122112
n
n n s -==-- 所以1111211(21)(21)2121
n n n n n n n n n a b s s ++++===----- 所以1111111111221 (133721212121)
n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=---- 考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和。