(好题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(包含答案解析)(3)

一、选择题
1．函数()sin()(0||)2
，f x x π
ωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图
象先向右平移3
π
个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（ ）
A ．()sin 21g x x =-
B ．()sin 21g x x =+
C ．()sin(2)13
g x x π
=-
- D ．()sin(2)13
g x x π
=-
+
2．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2
π
ϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-
φ）的图象（ ） A ．关于点(
,0)12
π
对称 B ．关于轴512
x π
=-
对称 C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6
π
个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平
移
3
π
个单位得到 3．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]32
ππ
上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()(
)2
3
f f π
π
=，则ω=（ ） A ．6 B ．3 C ．2
D ．1
4．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（ ） A ．4149,66⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ B ．4953,66⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ C ．3741,66⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ D ．[8,9)
5．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，下列说
法正确的是（ ）
①函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 ②函数()y f x =的图象关于直线512
x π
=-对称 ③函数()y f x =在2,3
6ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦单调递减 ④该图象向右平移3
π
个单位可得2sin 2y x =的图象 A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①②④
6．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则（ ）
A ．1ω=，6π=
ϕ B ．1ω=，6
π
ϕ=-
C ．2ω=，6
π=ϕ D ．2ω=，6
π
ϕ=-
7．函数2()cos sin (R)f x x x x =+∈的最小值为（ ） A ．
54
B ．1
C ．1-
D ．2-
8．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+≠< ⎪⎝
⎭
，点2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
和7,06π⎛⎫
⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减，则ϕ=（ ） A ．
6
π B ．6
π-
C ．
3
π D ．3
π-
9．函数()13cos313
x
x
f x x -=+的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
10．已知函数2()[sin()]3sin()cos()f x x x x ωωω=+(0)>ω在[0,]π上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是（ ）
A ．5[,2]3
B ．5(,2)3
C ．5[,2)3
D ．5(,2]3
11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示，
则()f x 的解析式是（ ）
A ．()2sin 6f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．()2sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
D ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
12．已知定义在R 上的函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+>≤ ⎪⎝
⎭
在[]1,2上有且仅有3个零点，其图象关于点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
和直线1
4x =-对称，给出下列结论：①
1222
f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭；②函数()f x 在[]0,1上有且仅有3个最值点；③函数()f x 在35,24⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
上单调递增；④函
数()f x 的最小正周期是2.其中所有正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________．
14．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式sin ()0x f x ⋅>，[,]x ππ∈-的解集为_________.
15．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．
16．函数()3sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112
π
=x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C . 17．函数y ＝
的定义域为________．
18．已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
，将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到的图象为偶函数，则ϕ的最小值是_______ 19．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移
6
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________．
20．如图是函数()2sin(),(0,)2
f x x π
ωφωφ=+><
的图象上的一段，则ω=_________
φ =____
三、解答题
21．如图，正方形ABCD 边长为5，其中AEF 是一个半径为4的扇形，在弧EF 上有一个动点Q ，过Q 作正方形边长BC ，CD 的垂线分别交BC ，CD 于G ，H ，设EAQ θ∠=，长方形QGCH 的面积为S .
（1）求S 关于θ的函数解析式； （2）求S 的最大值.
22．如图，在扇形OMN 中，半径10OM =，圆心角6
MON π
∠=
，D 是扇形弧上的动
点，矩形ABCD 内接于扇形，记DON θ∠=，矩形ABCD 的面积为S .
（1）用含θ的式子表示线段DC ，OB 的长； （2）求S 的最大值.
23．已知函数2
1()sin 3cos 2
f x x x x =+
.
（1）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域； （2）若关于x 的方程()
2
()1()0f x m f x m -++=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恰有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.
24．已知函数()sin()0,0,||2f x A wx A w πϕϕ⎫
⎛=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图像如图所示.
（1）求出函数()f x 的函数解析式； （2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求函数()f x 在,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最值. 25．已知函数21()3sin
cos cos 2222
x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）将函数()y f x =的图象上的各点向左平移
32
π
个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.
26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，31,2A ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆
时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f
θ=.
（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （2）若1()3f θ=
，求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛
⎫
--+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．
【详解】
根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<
的部分函数图象，
1274123
πππ
ω⋅=-，2ω∴=． 再根据五点法作图，23
π
ϕπ⨯
+=，3
π
ϕ∴=
，()sin(2)3f x x π
=+．
将函数()f x 的图象先向右平移
3
π个单位长度，可得sin(2)3y x π
=-的图象．
然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为()sin(2)13
g x x π
=-+，
故选：D 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A 的值，根据最值点求出ϕ的值.
2．B
解析：B 【分析】
利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】
函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,
2πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6
π
，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣
6
π
）． 当12
x π
=
时，206x π
-
=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，选项A 错误； 当512x π=-
时，26x π
π-=-，则函数关于直线512
x π=-对称，选项B 正确；
函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫
=+== ⎪⎝
⎭
， 其图像向右平移6π
个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项C 错误； 其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦， 选项D 错误； 故选B. 【点睛】
本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2
k π
ϕπ+
,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函
数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2π
ω；（3）单调
性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,2
2
k x k k Z π
π
πωϕπ-≤+≤
+∈得
单调增区间；由
3+22,2
2
k x k k Z π
π
πωϕπ≤+≤
+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2
x k k Z π
π=+
∈求解，令()+2
x k k π
ωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.
3．B
解析：B 【分析】 由2()(
)2
3f f π
π=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32
ππ
上具有单调性，且()()23
f f ππ
=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．
【详解】
解：由2()(
)23
f f π
π=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212
x ππ
π+
==， 则2
x π=
离最近对称轴距离为
712212
πππ
-=． 又()()23
f f ππ
=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上具有单调性， 则
12
3
2T π
π
-
，所以3T π≥，从而7512124T
ππ-=，所以23
T π=，因为2T πω=，所以3ω=．
故选：B 【点睛】
本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．
4．A
解析：A 【分析】
根据题意问题转化为方程1
sin()2
x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=
在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω
=，则4149
166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】
根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程
1
sin()2
x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26
x k π
ωππ=
+或52,6
x k k Z π
ωππ=
+∈， 当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=； 当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=； 当3k =时，1sin()2x ωπ=
在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω
=；
当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解49
6x ω
=
. 则
4149166ωω≤<，解得4149
66ω≤<. 故选：A
5．A
解析：A 【分析】
根据()f x 的图象及三角函数图像和性质，解得函数()f x 的解析式，得到
()2sin(2)3
f x x π
=+，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.
【详解】
由函数的图象可得2A =，周期4312T πππ⎛⎫
=⨯-= ⎪⎝⎭
所以222T ππωπ
===， 当12x π
=
时函数取得最大值，即2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以22()12
2
k k π
π
ϕπ⨯+=+
∈Z ，则23
k π
ϕπ=+
，
又||2
ϕπ<
，得 3π
ϕ=，
故函数()2sin(2)3
f x x π
=+，
对于①，当6
x π
=-时，()2sin(2())0663
f π
ππ
-
=⨯-+=，正确；
对于②，当512x π
=-
时，()2sin 551212(2())23
f πππ=⨯+-=--
，正确； 对于③，令3222()2
3
2k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈得7()1212
k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦，27,,()3
61212k k k Z ππππππ⎡⎤⎡
⎤--⊄++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以不正确； 对于④，向右平移3π个单位，()2sin(2())2sin(2)3333
f x x x ππππ
-=-+=-，所以不正确； 故选：A. 【点睛】
求三角函数单调区间的2种方法:
（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；
（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.
6．D
解析：D 【分析】
根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出ω，通过函数经过的最大值点求出ϕ值，即可得到结果. 【详解】
由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫
=-⨯= ⎪⎝⎭
，22T πω∴==. 当3
x π
=
，函数取得最大值1，所以sin 213π
ϕ⎛
⎫
⨯
+= ⎪⎝
⎭
，2232k k Z ππϕπ+=+∈，， ||,02
k π
ϕ<
∴=，6
π
ϕ∴=-，
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求ω的值，通过最值点求ϕ的值是解题的关键，属于基础题.
7．C
解析：C 【分析】
由平方关系化为sin x 的函数，换元后利用二次函数性质得最小值． 【详解】
由已知2
()1sin sin f x x x =-+，令sin t x =，则[1,1]t ∈-，
2()()1f x g t t t ==-++215
()24
t =--+，
∵[1,1]t ∈-，∴1t =-时，min ()1g t =-． 故选：C ． 【点睛】
本题考查与三角函数有关的复合函数的最值．求三角函数的最值有两种类型：
（1）利用三角恒等变换公式化函数为()sin()f x A x k ωϕ=++形式，然后由正弦函数性质得最值或值域．
（2）转化为关于sin x （或cos x ）的函数，用换元法，设sin t x =（或cos t x =）变成关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求得最值或值域．
8．A
解析：A 【分析】
由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T π
ω
=
求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】
由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
. 则由1T π
ω
==得1ω=，即得1ω=±. 由2π
ϕ<
，且在区间54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减，则可得1ω=-， ∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由
2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32
k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π
=ϕ或3π-，
当3
π
ϕ=-时，()tan +
3f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
， 由+
,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
<<+
∈，得5,66
k x k k Z ππ
ππ-
<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛
⎫
-+∈ ⎪⎝
⎭
， 令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上不是单调递减， 所以3
π
ϕ=-不满足题意；
当6π=
ϕ时，()tan 6f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，
由,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
<-
<+
∈，得2,3
3
k x k k Z π
π
ππ-
<<+
∈， 则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫
-+∈
⎪⎝
⎭
， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪
⎝ ⎪⎝⎭
⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减， 所以6
π
=
ϕ满足题意；
综上可得：6
π
=ϕ满足题意. 故选：A.
【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意
正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，. 9．A
解析：A 【分析】
先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()f π，可排除B ，即可得到答案.
【详解】
因为()()()1331
cos 3cos31331x x x
x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013
f π
π
ππ-=>+，排除B ， 故选：A. 【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
10．C
解析：C 【分析】
先化简函数的解析式，然后利用x 的范围求出26x πω⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的范围，根据题意列不等式求解ω.
【详解】
2
2
1cos 21
()[sin()])cos()2sin(2)2262
ωπωωωωω-=+=+=-+
x f x x x x x x ，因为[0,]x π∈，得2,2666πππωωπ⎛
⎫⎡⎤-∈-- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦x ，因为函数在[0,]π有且只有四个零
点，则
19232666πππωπ≤-<，解得5
23
ω≤<. 故选：C. 【点睛】
关于三角函数中求解ω的取值范围问题，一般要先求解出整体的范围，即x ωϕ+的范
围，然后根据题意，分析x ωϕ+范围所在的区间，列不等式求解，即可求出ω.
11．D
解析：D 【分析】
结合图象，依次求得,,A ωϕ的值. 【详解】 由图象可知2A =，
2,,22362T T πππππωω
⎛⎫=--==== ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，
依题意0ϕπ≤≤，则23
3
3
π
π
π
ϕ-
≤-
≤
， 2sin 0,0,6333f ππππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
-=-+=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭.
故选：D. 【点睛】
方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min
:2
f x f x b A -=
，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2T
π
ω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.
12．B
解析：B 【分析】
由三角函数的图象与性质可得()sin 34f x x ππ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，代入即可判断①；令03,4
2
()x k k Z π
π
ππ+∈+=
，化简即可判断②；令
232,2
4
2
k k x k Z π
π
π
πππ-
≤+
≤
+∈+，化简即可判断③；由最小正周期的公式即可判
断④. 【详解】
∵函数()f x 的图象关于点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，∴111,4k k Z ωϕπ+=∈，
又函数()f x 的图象关于直线1
4x =-对称，∴221,42
k k Z ππωϕ-+=+∈，
∴()1221k k ωπ=--⎡⎤⎣⎦，即(21),n n Z ωπ=∈-， ∵函数()sin()f x x ωϕ=+在[]1,2上有且仅有3个零点，
∴
24,)201(π
π
ω
ω
ω<
>≤-，即24πωπ≤<，
所以3ωπ=，()()sin 3f x x πϕ=+， ∵104f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，∴3,4k k Z πϕπ+=∈， 又||2π
ϕ≤，∴4π
ϕ=，∴()sin 34f x x ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
对于①，3sin 24122f ππ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎛⎫==-
⎪⎭
⎝⎭，故①错误； 对于②，令03,4
2
()x k k Z π
π
ππ+∈+=
，则01
,31(2
)Z k x k =
+∈， 令1
01312
k ≤
+≤，则可取0,1,2k =， ∴0112x =
，5
12，34
，即函数()f x 在[]0,1上有且仅有3个最值点，故②正确； 对于③，令232,2
4
2
k k x k Z π
π
π
πππ-≤+
≤
+∈+，
则1212,43123k x k Z k -
+≤≤∈+，当2k =-时，195,124⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
为()f x 的一个递增区间， 而35195,,24124⎛⎫⎡⎤--⊆-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()f x 在35,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭
上单调递增，故③正确； 对于④，∵()sin 34f x x ππ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，∴函数的最小正周期22
33
T ππ=
=，故④错误. 综上所述，其中正确的结论的个数为2个. 故选：B. 【点睛】
本题考查了三角函数解析式的确定及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
二、填空题
13．2【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为可得根据函数的图象可知解得即可得解【详解】因为函数为偶函数且有且仅有3个零点所以必有一个零点为所以得所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点因为函数的
解析：2 【分析】
根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为0x =，可得1a =-，根据函数
cos y x ω=(0)>ω的图象可知222πππωω
≤<⨯，解得24ω≤<即可得解.
【详解】
因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-为偶函数，且有且仅有3个零点，
所以必有一个零点为0x =， 所以cos00a +=，得1a =-，
所以函数cos y x ω=(0)>ω的图象与直线1y =在[,]-ππ上有且仅有3个交点， 因为函数cos y x ω=(0)>ω的最小正周期2T π
ω
=，所以2T T π≤<，
即
222π
π
πωω≤<⨯
，得24ω≤<，
所以ω的最小值是2.
故答案为：2 【点睛】
关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出a 是解题关键.
14．【分析】设先分析出的奇偶性然后分类讨论在上的取值情况最后根据的奇偶性求解出在上的解集【详解】设因为为奇函数为偶函数所以且定义域为关于原点对称所以为奇函数因为在上单调递增且当时所以当时所以当时所以当时 解析：()
()2,02,π-
【分析】
设()()sin g x x f x =⋅，先分析出()g x 的奇偶性，然后分类讨论()g x 在[]0,π上的取值情况，最后根据()g x 的奇偶性求解出()0g x >在[],ππ-上的解集. 【详解】
设()()sin g x x f x =⋅，因为sin y x =为奇函数，()f x 为偶函数，
所以()()()()()sin sin g x x f x x f x g x -=-⋅-=-⋅=-，且定义域为R 关于原点对称，所以()g x 为奇函数，
因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =， 当0x =时，sin 0x =，所以sin ()0x f x ⋅=，
当()0,2x ∈时，()sin 0,0x f x ><，所以sin ()0x f x ⋅<， 当2x =时，()20f =，所以sin ()0x f x ⋅=，
当()2,x π∈时，()sin 0,0x f x >>，所以sin ()0x f x ⋅>， 所以当[]0,x π∈时，若()0g x >，则()2,x π∈，
又因为()g x 为奇函数，且[],x ππ∈-，根据对称性可知：若()0g x >，则
()
()2,02,x π∈-，
故答案为：()()2,02,π-.
【点睛】
方法点睛：已知()f x 的单调性和奇偶性，求解不等式()()00f x ><在指定区间上的解集的常用方法：
（1）分类讨论法：根据临界值采用分类讨论的方法将区间分成几段，分别考虑每一段上
()f x 的正负，由此求解出不等式的解集；
（2）数形结合法：根据题意作出()f x 的草图，根据图象直接写出不等式()()00f x ><的解集.
15．【分析】由图象知三角函数的周期结合函数图象及写出单调递增区间【详解】由图象知：∴的单调递增区间为故答案为：【点睛】思路点睛：1看图定周期特殊函数值：2结合图象由周期对称轴写出增区间
解析：37
[2,2],44
k k k Z ++∈
【分析】
由图象知，三角函数的周期2T =，结合函数图象及1
5()()044
f f ==，写出单调递增区间. 【详解】 由图象知：22||T πω=
=， 15
()()044
f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37
[2,2],44
k k k Z ++∈， 故答案为：37
[2,2],44
k k k Z ++∈ 【点睛】 思路点睛：
1、看图定周期、特殊函数值：2T =，1
5()()04
4
f f ==.
2、结合图象，由周期、对称轴写出增区间.
16．①②③【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴分析单调区间利用函数的平移方式检验平移后的图象【详解】由题：令当时即函数的一条对称轴所以①正确；令当时所以是函数的一个对称中心所以②正确；当在区间
解析：①②③ 【分析】
利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】
由题：()3sin 23x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，令2,3
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，5,122
k x k Z ππ=
+∈， 当1k =时，1112
π
=x 即函数的一条对称轴，所以①正确； 令2,3
x k k Z π
π-=∈，,6
2k x k Z π
π
=
+
∈，当1k =时，23
x π=， 所以2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数的一个对称中心，所以②正确； 当5,1212x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
内是增函数，所以③正确；
3sin 2y x =的图象向右平移
3π
个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
不相等，所以④错误. 故答案为：①②③ 【点睛】
此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.
17．(k ∈Z)【分析】解不等式2cosx －1≥0即得函数的定义域【详解】∵2cosx －1≥0∴cosx≥由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)∴x ∈(k ∈Z)故答案为(k ∈Z)【点睛】（
解析： (k ∈Z)
【分析】
解不等式2cos x －1≥0即得函数的定义域. 【详解】
∵2cos x －1≥0，∴cos x≥.
由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．
∴x ∈ (k ∈Z)． 故答案为 (k ∈Z)
【点睛】
（1）本题主要考查三角函数线和解三角不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)三角函数线是解三角不等式较好的工具，要理解掌握并灵活运用.
18．【分析】先利用两角和的正弦公式化简的解析式然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式最后由奇偶性可得的最小值【详解】将其图象向左平移个单位长度后得的图象由图象为偶函数图象可得所以令得故答案为：【点 解析：6
π
【分析】
先利用两角和的正弦公式化简()f x 的解析式，然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得ϕ的最小值. 【详解】
13()sin 2sin 2sin 2sin 2232f x x x x x x π⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭
33sin 2cos 23sin 2226x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭ ， 将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得
()3232266y x x ππϕϕ⎡⎤⎛
⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的图象，
由图象为偶函数图象可得26
2
k π
π
ϕπ+=
+()k Z ∈
所以62
k ϕππ
=
+ ()k Z ∈ 令0k =，得6
π=ϕ. 故答案为：
6
π
【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性，属于中档题.
19．3【分析】求出的解析式再利用函数为偶函数则从而得到的表达式进而得到其最小值【详解】由题意得因为是偶函数所以解得因为所以的最小值为3故答案为：【点睛】本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质考查函数与
解析：3 【分析】
求出()y g x =的解析式，再利用函数为偶函数，则(0)1g =±从而得到ω的表达式，进而得到其最小值. 【详解】
由题意得()sin 6g x x πω⎡⎤
⎛⎫=-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
， 因为()y g x =是偶函数，所以(0)sin 16g πω⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，
∴()6
2
k k Z π
π
ωπ-
=+
∈，解得63()k k Z ω=--∈．
因为0>ω，所以ω的最小值为3．
故答案为：3. 【点睛】
本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
20．=2=【分析】由图像可得其周期；由特值再结合可得【详解】由图可得：周期所以：由可得：因为所以故答案为：2【点睛】本题考查了利用三角函数的图像求三角函数的参数值考查了三角函数的周期公式考查了数形结合属
解析：ω=2 φ=6
π 【分析】
由图像可得其周期11()1212T πππ=
--=，2=2T πω=；由特值()26
f π=，再结合2
π
φ<
，可得=
6
πφ. 【详解】 由图可得：周期11()1212
T π
ππ=--=， 所以：22==2T ππωπ
=
， 由()26
f π=，可得：2sin(2)=26
π
φ⋅
+，
因为2
π
φ<
，所以=
6
πφ. 故答案为： 2 ，6
π. 【点睛】
本题考查了利用三角函数的图像求三角函数的参数值，考查了三角函数的周期公式，考查了数形结合，属于中档题.
三、解答题
21．（1）2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦
；（2）5.
【分析】
（1）先根据题意计算AQ 在竖直方向上和水平方向上的投影的长度，即可计算,HQ QG 的长度，计算长方形QGCH 的面积再化简即得结果；
（2）先换元sin cos t θθ+=，确定新元的范围和函数，再根据二次函数求最值即得结果. 【详解】
解：⑴EAQ θ∠=，则AQ 在竖直方向上的投影的长度为4cos θ，在水平方向上的投影长度为4sin θ，
故54cos ,54sin HQ QG θθ=-=-，θ0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
(54cos )(54sin )S θθ=--，θ0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
整理得：2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
； （2）2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，θ0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，
令sin cos t θθ+=2)4
t π
θ+
=，平方可得22sin cos 1t θθ=-，
当θ0,2π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，可求得2t ⎡∈⎣. 2
22525208(1)820178492S t t t t t ⎛⎫∴=-+-=-+=-⎪⎭
+ ⎝，2t ⎡∈⎣，
根据二次函数对称性可知，当1t =时，max 820175S =-+=. 【点睛】 方法点睛：
求含有正余弦函数的和（或差）及乘积的函数求最值（范围）时，常进行三角换元，令和（或差）为新变量，形成二次函数，求二次函数最值（范围）即可.
22．（1）10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；OB θ=，0,6πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
；（2）
max 100S =-
【分析】
（1）在Rt DCO 和Rt ABO 中利用三角函数的定义可表示出,DC OB ；
（2）求出BC 后可得矩形面积S ，利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最大值． 【详解】
解：（1）在Rt DCO 中，10OD =，∴10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
又Rt ABO 中，6
AOB π
∠=
，10sin AB DC θ==，
∴
OB θ==，0,6πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
；
（2）在Rt DOC 中，10cos OC θ=，∴10(cos )BC OC OB θθ=-=，
∴100sin (cos )S AB BC θθθ=⋅=-
1
1cos 2
100sin 2100sin 22
23θπθθ-⎛⎫⎛
⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
∵06
π
θ<<，∴
223
3
3
π
π
π
θ<+
<
，
∴当23
2
π
π
θ+=
即12
π
θ=
时，max 100S =-
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是用角表示出矩形面积，然后可利用三角函数的恒等变换公式如二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式、诱导公式等化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x k ωϕ=++形式，最后利用正弦函数性质求得结论．
23．（1）1,22
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
；（2）3
22m ≤<.
【分析】
（1）先化简函数得()sin 216f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
，再利用三角函数的图象和性质求解；
（2）转化得到sin 216x m π⎛⎫
-=- ⎪⎝
⎭在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有两个不同的实数根，再利用数形结合分析求解. 【详解】 （1）解：1cos 231()sin 2sin 21226x f x x x π-⎛⎫=++=-+ ⎪⎝
⎭. ∵0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴52666x πππ-≤-≤， ∴
1sin 21226x π⎛
⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，∴()f x 的值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （2）∵2
()(1)()0f x m f x m -++=，
∴(()1)(())0f x f x m --=， ∴()1f x =或()f x m =， 即sin 206x π⎛⎫-= ⎪
⎝⎭或sin 216x m π⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
， 当sin 206x π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭时，因为52666
x πππ
-≤-≤，所以20,612x x ππ-=∴=. 所以sin 216x m π⎛⎫-=- ⎪
⎝⎭在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有两个不同的实数根，
由图像可知1112
m ≤-<得3
22m ≤<.
【点睛】
方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法；（2）图象法（直接画出函数()f x 的图象分析求解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得到()()g x h x =，再分析
(),()g x h x 的图象得解）.
24．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
；（2）(),,36k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
；（3）最小值为
1-，最大值为2. 【分析】
(1)根据图像观察计算A 、ω、φ的值，求出()f x 的函数解析式；（2）利用同增异减求()f x 的单增区间；（3）用换元法求函数()f x 的最值.
【详解】
解：（1）由图可知：2A =，44
T π
=，即T π=， 根据2T π
ω
=
得：2ω=，
由26f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
得：2262k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈
6
π
ϕ∴=
，||2πϕ⎛
⎫
<
⎪⎝
⎭
， 故：函数()f x 的解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭. （2）由（1）知函数()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 222262k x k π
π
π
ππ∴-
+≤+
≤
+，k Z ∈，
36
k x k ππ
ππ∴-+≤≤+，k Z ∈，
故：函数()f x 的单调递增区间为(),,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
，
（3）由（2）知()f x 在,66ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上为增函数，()f x 在,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数， ()f x ∴在6
x π
=-
时，取得最小值16f π⎛⎫
-
=- ⎪⎝⎭
， ()f x ∴在6
x π
=
时，取得最大值26f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 综上所述：()f x 在,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值为1-，最大值为2. 【点睛】
（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③)求φ通常利用函数上的点代入即可求解. （2）利用同增异减求()f x 的单增区间；
（3）利用换元法就可以得到()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值.
25．（1）2π；（2）2，5,12x x k k Z π
π⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩⎭
. 【分析】
（1）先利用二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()f x sin 16x π⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，即可求出
()f x 的最小正周期；
（2）利用图像变换得到()y g x =的解析式，利用换元法就可以得到()y g x =的最大值及取得最大值时 x 的取值 【详解】
（1）∵函数1cos 1()222
x f x x +=
++ sin 16x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
∴函数的周期为2π
（2）依题意：函数()f x sin 16x π⎛
⎫=++ ⎪
⎝
⎭
的图象上的各点向左平移32
π
个单位，得到y 3sin +
1= -cos 16
26x x π
ππ⎛
⎫⎛
⎫=+
+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
；再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一
半，得到y = -cos 216x π⎛⎫
+
+ ⎪⎝
⎭
； 所以()cos 216g x x π⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭
令226
t x k π
ππ=+
=+，即5()12
x k k Z π
π=+
∈ 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x = 使函数()g x 取得最大值的集合为5,12x x k k Z π
π⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩⎭
． 【注意】
取得最大值的集合为7,12x x k k Z π
π⎧⎫=-
∈⎨⎬⎩⎭
也可以． 【点睛】 ：
(1)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a ；
(2)求y =Asin (ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；
26．（1）()sin 6f πθθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭，223f f ππ⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
；（2）23. 【分析】
（1）由三角函数的定义得到()sin 6f πθθ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，进而代入计算； （2）由已知得1sin 63
πθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭，将所求利用诱导公式转化即得. 【详解】
解：（1）因为12A ⎫
⎪⎪⎝⎭
，
所以6
xOA π
∠=
，
由三角函数定义，得()sin 6f πθθ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
.
所以22511sin sin 2336222f f ππ
ππ⎛⎫
⎛⎫
+=+=+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
. （2）因为1()3f θ=，所以1sin 63πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
所以7cos sin cos sin 36626πππππθθθθπ⎛
⎫
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-
-+=+--++ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
22sin 63πθ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭.
【点睛】
本题考査三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想. 已知1sin 63πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭时要将已知中的角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.。