2023-2024学年甘肃省兰州市高一上册线上期末考试数学试题(含解析)

2023-2024学年甘肃省兰州市高一上册线上期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}2
|6730A x x x =+-≤，Z B =，则A B = （
）
A ．{}1,0,1-
B ．{}1,0-
C ．{}
0,1D ．{}
0,1,2【正确答案】B
【分析】求出集合A 中x 的范围，然后直接求A B ⋂即可.【详解】由26730x x +-≤得()()31230x x -+≤，解得3123x -
≤≤，即31,23A ⎡⎤
=-⎢⎣⎦
，所以{}1,0A B ⋂=-.
故选：B.
2．若函数2,0
()ln ,0x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩
，则()()01f f +=（
）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1
-【正确答案】C
【分析】根据分段函数的解析式直接求解即可.
【详解】由2,0()ln ,0
x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()0
0121ln12f f +=+-=，
故选：C
3．在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P
位于第（
）象限
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
【正确答案】D
【分析】运用诱导公式计算出P 点坐标的符号就可判断出P 点所在的象限.
【详解】()tan 2022tan 5360222tan 2220︒︒︒︒
=⨯+=>，
()
sin 2022sin 5360222sin 2220︒︒︒︒=⨯+=<，()tan 2022,sin 2022P ︒︒∴在第四象限；
故选：D.
4．命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题的充要条件是（）
A ．1m <
B ．2
m <C ．2
m ≤D ．3
m <【正确答案】C
【分析】将问题转化为21x m >-在(1,)+∞上恒成立，可求出结果.【详解】因为命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题，所以21x m >-在(1,)+∞上恒成立，所以11m -≤，即2m ≤，
所以命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题的充要条件是2m ≤.故选：C
5．若指数函数x y a =在区间[]1,2上的最大值与最小值的差为2，则=a （）
A ．1
-B ．1C ．1-或2D ．2
【正确答案】D
【分析】分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性求出最值，即可得出答案.【详解】解：当1a >时，函数x y a =为增函数，
则2
min max ,y a y a ==，
故22a a -=，解得2a =或（1a =-舍去），当01a <<时，函数x y a =为减函数，
则2
min max ,y a y a ==，
故22a a -=，无解，综上，2a =.故选：D.
6．下列函数在()0,∞+上为增函数的是（）
A ．()1
2f x x =-B ．()2
x
f x -=C ．()2
1f x x =
D ．()f x x
=【正确答案】D
【分析】根据幂函数、指数函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可.【详解】因为函数1
2y x =在()0,∞+上为增函数，所以函数()1
2f x x =-在上为减函数，
因此选项A 不正确；
因为()12(2
x
x f x -==在()0,∞+上为减函数，
所以选项B 不正确；因为()2
1
f x x =
在()0,∞+上为减函数，所以选项C 不正确；
当()0,x ∈+∞时，()f x x x ==，显然函数在()0,∞+上为增函数，所以选项D 正确，故选：D
7．已知π3cos 35
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛
⎫+= ⎪⎝⎭（）
A ．4
5±B ．45C ．45
-
D ．
3
5
【正确答案】D 【分析】根据πππ626αα⎛⎫
+
=-+ ⎪⎝⎭
及诱导公式即可求解.【详解】∵π3
cos 35
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，
∴ππππ3
sin cos cos 62635ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦.
故选:D ．
8．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（）
A ．()()0.30.4
310.40.3log 4f f f ⎛⎫<< ⎪
⎝
⎭B ．()()0.40.3
31log 0.30.44f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()0.30.431log 0.40.34f f f ⎛⎫<< ⎪⎝
⎭D ．()()0.40.3
310.30.4log 4f f f ⎛⎫<< ⎪
⎝
⎭【正确答案】D
【分析】利用指数函数、对数函数以及幂函数的单调性结合中间值法比较0.40.3、0.30.4、
3log 4的大小，再利用函数()f x 的奇偶性及其在()0,∞+的单调性可得出合适的选项.
【详解】因为3331
log log 4log 314
=>=，0.40.40.3000.30.40.40.41<<<<=，所以，0.3
0.43log 40.4
0.30>>>，
因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，
所以，()()
()0.40.3
33
3110.30.4log log log 444f f f f f ⎛⎫
⎛⎫<<== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，故选：D.
9．已知函数()()
2
2log 23f x x x =-++，下列结论正确的是（
）
A ．单调增区间为(],1-∞，值域为(]0,2
B ．单调减区间是[)1,+∞，值域为(],2-∞
C ．单调增区间为(]1,1-，值域为(],2-∞
D ．单调减区间是[)1,3，值域为(]0,2【正确答案】C
【分析】由题意可知，函数()()
2
2log 23f x x x =-++是复合函数，根据复合函数同增异减的
单调性原则可求其单调区间和值域.
【详解】要使函数()()
2
2log 23f x x x =-++有意义，则有2230x x -++>，解得13x -<<，
所以函数的定义域为()1,3-.
因为(]22
23(1)40,4x x x -++=--+∈，所以()(],2f x ∈-∞，即函数的值域(],2-∞.
因为当13x -<<时，223y x x =-++在(]1,1-内单调递增，在[)1,3内单调递减，且2log y x =在定义域内单调递增，
所以根据复合函数的单调性可得()f x 的单调减区间是[)1,3，增区间为(]1,1-.故选：C.
10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20mg 一一79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液上升到了1mg /ml .如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至
少经过几个小时才能驾驶汽车？（参考数据：lg0.20.7≈-，lg0.30.5,lg0.70.15,lg0.80.1≈-≈-≈-）（
）A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
【正确答案】C
【分析】由条件可推知()3002%1.x
-<，再结合对数公式即可求解.
【详解】解：由题意得：100ml 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车故()3002%1.x
-<，即0.70.2
x <两边取对数即可得lg 0.7lg 0.2x <，即lg 0.2
4.67lg 0.7
x >≈那么他至少经过5个小时才能驾驶汽车故选：C
二、多选题
11．已知函数()πtan 26f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，则（
）
A ．()0f =
B ．()f x 的最小正周期为π2
C ．把()f x 向左平移
π
6
可以得到函数()tan 2g x x =D ．()f x 在π,06⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增
【正确答案】BD
【分析】由正切函数的性质及图象变换规律逐一判断即可得结论．
【详解】()ππ0tan tan 66f ⎛⎫
=-=-=- ⎪⎝⎭
A 错误；
函数()πtan 26f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的最小正周期为π2T =，故B 正确；
把()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移π6可以得到函数πππtan 2tan 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，故C
错误；
π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，2,π626ππx ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，故()f x 在π,06⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．
故选：BD ．
12．以下命题正确的是（
）
A ．函数()2f x x =-
与函数()g x =表示同一个函数B ．(0,)∀∈+∞x ，使43x x
>C ．若不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则2a c +=D ．若0x >，0y >且41x y +=，则216x y +
的最小值为【正确答案】BCD
【分析】对A ，通过化简知()|2|g x x =-，即可判断，对B ，根据在同一坐标系内不同底数的指数函数图像特点即可判断，对C 利用韦达定理即可，对D 利用基本不等式即可求出最值，注意取等条件.
【详解】对于A ，()2f x x =-
，()|2|g x x =
=-,
故()f x 与()g x 不是同一个函数，故A 错误，
对于B ，根据指数函数图像与性质可知，当,()0x ∈+∞，14x
y =的图像在23x y =的图像的上
方，故对(0,)∀∈+∞x ,使43x x >，故B 正确，
对C ，由题意知1,2-为方程220ax x c ++=的两根，且0a ≠，
由韦达定理得21242a a
c c a
⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩，故2a c +=，故C 正确，对D
，42162222x y x y +=+当且仅当42241
x y x y ⎧=⎨+=⎩,即11
,28x y ==时,等号成立，
故216x y +
的最小值为D 正确.故选：BCD.
三、填空题
13
．计算：12
lg 41--=____________.
【正确答案】0
【分析】根据对数运算法则运算即可.
【详解】()
112
22
2
lg 41lg
lg 2lg 5lg 21lg 11010-
---=--=+-=-=.
故0.
14．命题“[1,2]x ∃∈，20x x a +-≤”为假命题，则a 的取值范围为__________.【正确答案】(,2)-∞.
【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出a 的取值范围.【详解】因为命题“[1,2]x ∃∈，20x x a +-≤”为假命题，所以命题“[1,2]x ∀∈，20x x a +->”为真命题，即[1,2]x ∀∈时，2x x a +>恒成立，令2
2
11()24f x x x x ⎛
⎫=+=+- ⎪⎝
⎭，[1,2]x ∈，
所以当()f x 的最小值为(1)2f =，所以2a <，
即a 的取值范围为(,2)-∞，故答案为.(,2)
-∞15．已知方程2cos 4sin 0x x a +-=在[0,]x π∈时有解，求实数a 的取值范围___________.【正确答案】[1,4]
【分析】将方程2cos 4sin 0 x x a +-=在[0,]x π∈时有解，转化为2cos 4sin y x x =+，[0,]x π∈与y a =有交点求解.
【详解】因为方程2cos 4sin 0x x a +-=在[0,]x π∈时有解，所以2cos 4sin y x x =+，[0,]x π∈与y a =有交点，因为22sin 4sin 1(sin 2)5y x x x =-++=--+，(0sin 1)x 所以[1,4]y ∈.
所以实数a 的取值范围是[1,4].故答案为.[1,4]
四、解答题
16．集合{}{}3621A x x B x m x m =<≤=≤≤+，．
(1)若2m =，求,A B A B ；
(2)若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){}35A B x x ⋂=<≤，{|26}x x A B ≤≤= ；(2)5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）将m 的值代入集合B ，然后根据交集与并集的定义即可求解；（2）由题意，可得A B ⊆，根据集合的包含关系列不等式组求解即可得答案.【详解】（1）解：当2m =时，{|25}B x x =≤≤，又{}36A x x =<≤，所以{}35A B x x ⋂=<≤，{|26}x x A B ≤≤= ；
（2）解：因为x B ∈是x A ∈的必要条件，所以A B ⊆，即(3,6][,21]m m ⊆+，
所以有3216
m m ≤⎧⎨+≥⎩，解得532≤≤m ，
所以实数m 的取值范围为5,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
17．已知π0,2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且2tan tan 20αα--=.
(1)求()tan πα-的值；
(2)求πsin sin(π)2cos()
ααα⎛⎫
++- ⎪⎝⎭
-的值.【正确答案】(1)2-(2)3
【分析】（1）解一元二次方程，结合角的范围求解tan 2α=，再根据诱导公式化简求解即可；（2）利用诱导公式化简后，弦化切即可求解.【详解】（1）由题意可得：(tan 2)(tan 1)0αα-+=，tan 2α∴=或tan 1α=-，又π0,2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，tan 0α∴>，
tan 2α∴=.
故()tan πtan 2αα-=-=-.
（2）()
()πsin sin πcos sin 21tan 123cos cos ααααααα
⎛⎫
++- ⎪+⎝⎭==+=+=-.
18．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（其中A >0，0ω>，0ϕπ<<
）的部分图象如图所示．
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)将()f x 的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的1
2（纵坐标不
变），得到函数()g x 的图象．求函数()([2,1])y g x x =∈-的值域．【正确答案】(1)(
)38
4f x x ππ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
；
(2)⎡⎣.
【分析】（1）由最大值和最小值确定A ，由周期确定ω，由最小值点确定ϕ值得函数解析式；（2）由图象变换得出()g x 的表达式，由整体思想结合正弦函数性质得值域．【详解】（1
）由图知，A =()2262π
ω
=⨯+，解得8
π
ω=
，即(
)8f x x πϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
．
由图知，函数()f x
的图象过点(2,-，∴()24
k k π
ϕππ+=+∈Z ，
∵0ϕπ<<，∴34πϕ=
，∴(
)38
4f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．
（2）由题意得，(
)424x x g x πππ⎛⎫
=+=- ⎪⎝⎭
．
∵[]2,1x ∈-，∴,424x πππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，∴(
)g x ⎡∈⎣，即函数()[]()2,1y g x x =∈-
的值域为⎡⎣．
19．已知函数()()2R 21
x
x a f x a -=∈+是奇函数．
(1)求实数a 的值；
(2)判断函数()f x 的单调性并加以证明；
(3)若对于任意实数t ，不等式()
2
(1)0f t kt f t -+-≤恒成立，求实数k 的取值范围．
【正确答案】(1)1；(2)减函数，证明见解析；(3)31k -≤≤.
【分析】（1）根据函数是奇函数，由(0)0f =，可得a 的值；（2）用定义法进行证明，可得函数()f x 在R 上是减函数；
（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式()
2
(1)0f t kt f t -+-≤进行化简求值，
可得k 的范围.
【详解】（1）由函数()()2R 21
x
x a f x a -=∈+是奇函数，可得：(0)0f =，
即：1
(0)02
a f -==，1a =，当1a =时，12()12x
x
f x -=+，此时1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，
即()f x 是奇函数，综上，1a =.
（2）函数()f x 为单调递减函数，证明如下，由(1)得：12()21
x
x f x -=+，任取12R x x ∈,且12x x ＜，
则122112*********(22)
()()=2121(21)(21)
x
x x x x x x x f x f x -----=++++， 12x x ＜，∴2
1
220x x -＞，即：2112122(22)
()()=(21)(201)
x x x x f x f x --++，
12()()f x f x ∴＞，即()f x 在R 上是减函数；
（3） ()f x 是奇函数，
∴不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立等价为()2(1)(1)f t kt f t f t -≤--=-恒成立，
()f x 在R 上是减函数，
∴21t kt t -≥-，即2(1)10t k t -++≥恒成立，
设2()(1)1g t t k t =-++，可得当0∆≤时，()0g t ≥恒成立，可得()2140k +-≤，解得31k -≤≤，
故k 的取值范围为.31k -≤≤。