2020届艺术生高考数学二轮复习课件：第七章 立体几何 第4节

2．[教材改编]下列命题中不正确的是(
)
A．如果平面 α⊥平面 β，且直线 l∥平面 α，则直线 l⊥平面 β
B．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平
面β
C．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线
垂直 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那么 l⊥γ 解析：A [根据面面垂直的性质，A 不正确，直线 l∥平面 β 或
[解析] (1)证明由已知可得，∠BAC＝90°，即 BA⊥AC. 又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB⊂平面 ABC， 所以平面 ACD⊥平面 ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2. 又 BP＝DQ＝23DA，所以 BP＝2 2.
由已知及(1)可得，DC⊥平面 ABC，所以 QE⊥平面 ABC，QE＝ 1.因此，三棱锥 Q－ABP 的体积为
2．设 m，n 表示两条不同的直线，α，β 表示两个不同的平面， 下列命题为真命题的是( )
A．若 m⊥α，α⊥β，则 m∥β B．若 m∥α，m⊥β，则 α⊥β C．若 m⊥n，m⊥α，则 n∥α D．若 m∥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n 解析：B [对于 A，m 可以在 β 内，故 A 错；对于 C，n 可以在 α 内，故 C 错误；对于 D，m 与 n 可以平行，故 D 错．]
求证：(1)DE∥平面 AA1C1C； (2)BC1⊥AB1.
证明：(1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1 的中点， 因此 DE∥AC. 又因为 DE⊄平面 AA1C1C，AC⊂平面 AA1C1C， 所以 DE∥平面 AA1C1C.
(2)因为棱柱 ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC⊂平面 ABC，所以 AC⊥CC1. 又因为 AC⊥BC，CC1⊂平面 BCC1B1， BC⊂平面 BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以 AC⊥平面 BCC1B1. 又因为 BC1⊂平面 BCC1B1，所以 BC1⊥AC. 因为 BC＝CC1，所以矩形 BCC1B1 是正方形， 因此 BC1⊥B1C. 因为 AC，B1C⊂平面 B1AC，AC∩B1C＝C， 所以 BC1⊥平面 B1AC. 又因为 AB1⊂平面 B1AC，所以 BC1⊥AB1.
l⊂β 或直线 l 与 β 相交．]
3．(2019·合肥模拟)若 l，m 为两条不同的直线，α 为平面，且 l
⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A [由 l⊥α 且 m∥α 能推出 m⊥l，充分性成立；若 l⊥α 且 m⊥l，则 m∥α 或者 m⊂α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m ⊥l”的充分不必要条件，故选 A.]
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
[小题查验] 1．下列结论错误的是( ) A．直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直，则 l⊥α B．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于 这个平面 C．垂直于同一条直线的两个平面平行 D．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
解析：A [若 α 内无数条直线是平行的，则 l 与 α 不一定垂直．故 A 错．]
(1)证明：BE⊥平面 EB1C1； (2)若 AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥 E－BB1C1C 的体积．
解：(1)证明：由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE⊂平面 ABB1A1， 故 B1C1⊥BE.
又 BE⊥EC1，所以 BE⊥平面 EB1C1. (2)由(1)知∠BEB1＝90°，由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以 ∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故 AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6. 作 EF⊥BB1，垂足为 F，则 EF⊥平面 BB1C1C，且 EF＝AB＝3. 所以，四棱锥 E－BB1C1C 的体积 V＝13×3×6×3＝18.
确，故选 C.]
5．(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30°，若△SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积 为 ________ .
解析：在 Rt△SAB 中，SA＝SB，S△SAB＝12·SA2＝8， 解得 SA＝4. 设圆锥的底面圆心为 O，底面半径为 r，高为 h， 在 Rt△SAO 中，∠SAO＝30°， 所以 r＝2 3，h＝2， 所以圆锥的体积为13πr2·h＝13π×(2 3)2×2＝8π. 答案：8π
考点三 面面垂直的判定与性质(师生共研) [典例] (2018·全国Ⅰ卷)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB＝ AC＝3，∠ACM＝90°.以 AC 为折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ＝23DA， 求三棱锥 Q－ABP 的体积． [思维导引] (1)欲证平面 ACD⊥平面 ABC，只需证 AB⊥平面 ACD，即在平面 ACD 内寻找两条相交直线与 AB 垂直． (2)过点 Q 作 QE⊥AC 于点 E，易证得 QE⊥平面 ABC，利用公 式 VQ－ABP＝13×S△ABP×QE 可求得三棱锥 Q－ABP 的体积．
高考总复习 第七章 立体几何
第4节 直线、平面垂直的判定与性质
艺考生数学
1．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线 l 与平面 α 内的 任意一条 直线都垂直，则直线 l 与 平面 α 互相垂直，记作 l⊥α，直线 l 叫做平面 α 的垂线，平面 α 叫做 直线 l 的垂面．
(2)判定定理与性质定理 文字语言
考点一 有关垂直关系的判断(自主练透) [题组集训]
1．若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 α，则“l⊥m”是 “l∥α”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：B [由“m⊥α 且 l⊥m”推出“l⊂α 或 l∥α”，但由“m ⊥α 且 l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不 充分条件，故选 B.]
3．已知 m 和 n 是两条不同的直线，α 和 β 是两个不重合的平面，
那么下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是( )
A．α⊥β，且 m⊂α
B．m∥n，且 n⊥β
C．α⊥β，且 m∥α
D．m⊥n，且 n∥β
解析：B [因为 α⊥β，m⊂α，则 m，β 的位置关系不确定，可 能平行、相交、m 在 β 面内，故 A 错误；由线面垂直的性质定理可 知 B 正确；若 α⊥β，m∥α，则 m，β 的位置关系也不确定，故 C 错 误；若 m⊥n，n∥β，则 m，β 的位置关系也不确定，故 D 错误．故 选 B.]
判定线面垂直的四种方法 (1)利用线面垂直的判定定理． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平 面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也 垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理．
[跟踪训练] 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已知 AC⊥BC，BC＝CC1. 设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1＝E.
[命题角度 2] 利用线面垂直证明线线垂直 [典例 2] (2019·青岛模拟)如图，在三棱锥 A－BCD 中，AB⊥
AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合) 分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC.
VQ－ABP＝13×QE×S△ABP＝13×1×12×3×2 2sin 45°＝1.
面面垂直的证明方法 (1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角 为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题． (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经 过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决． 提醒：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另 一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注意 “平面内的直线”．
4．PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于 A，B
两点的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC
B．BC⊥平面 PAC
C．AC⊥PB
D．PC⊥BC
解析：C [由 PA⊥平面 ACB⇒PA⊥BC，A 正确；由 BC⊥PA，
BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得 BC⊥平面 PAC，BC⊥PC，即 B，D 正
2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于 这个平面．
3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错 误的打“×”． (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( ) (2)若直线 a⊥平面 α，直线 b∥α，则直线 a 与 b 垂直．( ) (3)直线 a⊥α，b⊥α，则 a∥b.( ) (4)若 α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( )
一条直线与一个平面 判定 内的两条 相交 直 定理 线都垂直，则该直线
与此平面垂直
图形语言
性质 垂直于同一个平面的 定理 两条直线 平行
符号语言
a，b⊂α
a∩b＝O
l⊥a
l⊥b
⇒l⊥α
a⊥α b⊥α
⇒a∥b
2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和 它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这条 直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是 直角 ，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0° 的角． (2)范围：0，π2.
[跟踪训练] (2019·全国Ⅲ卷)图 1 是由矩形 ADEB，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组 成的一个平面图形，其中 AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2. (1)证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE； (2)求图 2 中的四边形 ACGD 的面积．
判断垂直关系需注意的问题 (1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、 准． (2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了． (3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定 或性质定理进行简单说明．
考点二 直线与平面垂直的判定与性质(多维探究) [命题角度 1] 利用线线垂直证明线面垂直 [典例 1] (2019·全国Ⅱ卷)如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 的底 面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1.
3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫做 二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足， 在两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所构成 的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这 两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一个平面 判定
的 垂线 ，则这两个 定理
平面垂直
两个平面垂直，则一个 性质 平面内垂直于 交线 定理 的直线与另一个平面垂
直
符号语言
l⊥α l⊂β
⇒α⊥β
α⊥β
l⊂β
α∩β＝a
l⊥a
⇒l⊥α
1.若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的 任意直线．
[证明] (1)在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD，EF⊥AD， 所以 EF∥AB. 又因为 EF⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC.
(2)因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD， BC⊂平面 BCD，BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD. 因为 AD⊂平面 ABD，所以 BC⊥AD. 又 AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥平面 ABC. 又因为 AC⊂平面 ABC，所以 AD⊥AC.