2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第2章第1节函数及其表示含答案

第2章函数、导数及其应用
第一节函数及其表示
[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
1．函数的概念
函数
两集合
A，B
设A，B是两个非空的数集
对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法函数y＝f(x)，x∈A
2.
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
[常用结论]
求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为R ； (2)分式的分母不为零；
(3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零； (5)正切函数y ＝t a n x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π＋π
2，k ∈Z
； (6)x 0中x ≠0；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数． ( )
(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点． ( ) (3)分段函数是两个或多个函数． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)×
2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1
x －3的定义域为( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)
C [由题意知⎩⎨⎧
2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥3
2且x ≠3.]
3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋1，x ≤1，2
x ，x ＞1，则f (f (3))等于( ) A.1
5 B ．3
C.23
D.139
D [f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
232
＋1＝139，故选D.]
4．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3
x 3＋1 C ．y ＝x 2
x ＋1
D ．y ＝x 2＋1
B [y ＝3
x 3＋1＝x ＋1，且函数定义域为R ，故选B.]
5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________． 12 [由f (a )＝5得2a ＋1＝5，解得a ＝12.]
求函数的定义
域
【例1】 (1)(2019·黄山模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2
的定义域为( )
A ．(－2,1)
B ．[－2,1]
C ．(0,1)
D ．(0,1]
(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝
f (2x )
x －1
的定义域是________． (3)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．
(1)C (2)[0,1) (3)[－1,2]
[(1)由题意得⎩⎨⎧
－x 2－x ＋2≥0
ln x ≠0
x ＞0
，解得0＜x ＜1，故选
C.
(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)． (3)由函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]得 －1≤x 2－1≤2，即函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]
(1)函数f (x )＝3x 1－x
＋lg(3x ＋1)的定义域是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________． (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2 [(1)由题意可知⎩⎨⎧
1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＜1，x ＞－13，∴－1
3＜x ＜1，故
选A.
(2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2.]
求函数的解析
式
【例2】 (1)已知1，则f (x )＝________. (2)已知f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________. (3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝x (x ≠0)，则f (x )＝________.
(1)12x 2－32x ＋2 (2)x 2－5x ＋9 (3)23x －x
3 [(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，
∴⎩⎨
⎧
2a ＝1，a ＋b ＝－1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝－3
2，
∴f (x )＝12x 2－3
2x ＋2.
(2)法一(配凑法)
f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4 ＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， ∴f (x )＝x 2－5x ＋9. 法二(换元法)
令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －1
2
，
所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6×t －12＋5＝t 2
－5t ＋9，
所以f (x )＝x 2－5x ＋9. (3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝x ，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋2f (x )＝1x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋2f (x )＝1x ，
解得f (x )＝23x －x
3(x ≠0)．]
外一个等式，通过解方程组求出f (x )；
(2)已知f (x )是一次函数，且2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，则f (x )＝________.
(3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x
，则f (x )＝________. (1)x 2
－1(x ≥1) (2)2x ＋2
3 (3)
2x ＋1
－2－
x
3
[(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．
(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 由2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，得
2[k (x －1)＋b ]＋k (x ＋1)＋b ＝6x ，即3kx －k ＋3b ＝6x ， ∴⎩⎨⎧
3k ＝6，－k ＋3b ＝0，
∴k ＝2，b ＝23，即f (x )＝2x ＋2
3. (3)由f (－x )＋2f (x )＝2x ①， 得f (x )＋2f (－x )＝2－x
②，
①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋
1－2－
x
3
.
∴f (x )的解析式为f (x )＝2x ＋1－2－x
3
.]
分段函数
►考法1 【例3】
(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0log 3x ，x ＞0
，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )
A ．－2
B ．－3
C ．9
D ．－9
(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2cos πx ，x ＜0f (x －1)＋1，x ＞0，则f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫43的值为( )
A ．－1
B ．1
C.3
2
D.52
(1)C (2)B [(1)f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
19＝log 319＝－2，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13-2＝9.
(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23＋1＋1 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋2＝1，故选B.]
►考法2 求参数或自变量的值
【例4】 (1)已知f (x )＝⎩⎨⎧
2x
－2，x ≥0
－x 2＋3，x ＜0，
若f (a )＝2，则实数a 的值为( )
A ．2
B ．－1或2
C ．±1或2
D ．1或2
(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
3x －b ，x ＜12x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )
A ．1 B.7
8
C.34
D.12
(1)B (2)D [(1)由f (a )＝2得⎩⎨⎧
a ≥0，
2a －2＝2，
或⎩⎨⎧
a ＜0，－a 2＋3＝2，
解得a ＝2或a ＝－1，故选B. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52－b . 当52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝ ⎛⎭⎪⎫
52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．当52－b ≥1，即b ≤32
时，252－b ＝4，解得b ＝1
2.故选D.]
►考法3 解与分段函数有关的方程或不等式
【例5】 (1)(2019·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧
x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝
( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12＞1的x 的取
值范围是________．
(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－14，＋∞ [(1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，
∴f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a. 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ，∴a ＝1
4. 此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.
当a ≥1时，a ＋1＞1，
∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a. 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＝6，故选C.
法二：∵当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数， 又f (a )＝f (a ＋1)， ∴a ＝2(a ＋1－1)， ∴a ＝14. ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＝f (4)＝6. (2)当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－1
4， ∴－1
4<x ≤0.
当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋1
2>1，显然成立． 当x >12时，原不等式为2x ＋2x －1
2>1，显然成立． 综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－14，＋∞.]
(1)设函数f (x )＝⎩
⎨⎧
1＋log 2(2－x )，x <1，
2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2x ，x ≥1，
x 2＋m 2
，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．1或－1 C. 3 D.3或－ 3
(3)设函数f (x )＝
则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．
(1)C (2)D (3)(－∞，8] [(1)∵－2<1， ∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝12
2＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.
(2)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D. (3)当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2， ∴当x <1时满足f (x )≤2.
当x ≥1时，x 1
3≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．]
(对应学生用书第10页)
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x －1
－2，x ≤1，
－log 2(x ＋1)，x ＞1，
且f (a )＝－3，则f (6－
a )＝( )
A ．－74
B ．－54
C ．－34
D ．－1
4
A [分类讨论处理条件f (a )＝－3，解得a ，然后代入函数解析式计算f (6－a )． 由于f (a )＝－3，
①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解；
②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2
－1－1
－2＝－7
4.
综上所述，f (6－a )＝－7
4.故选A.]
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. －2 [将已知点代入函数解析式即可求得a 的值． ∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.]
自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。